九年級數(shù)學上冊 第22章 第10課時 二次函數(shù)與一元二次方程導學案2 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年級上冊數(shù)學學案

1、二次函數(shù)與一元二次方程（2）一、學習目標1了解圖像法確定一元二次方程近似解的方法；2了解圖像法解一元二次不等式的方法；3體驗函數(shù)y=ax2與y=bx+c的交點的橫坐標是方程ax2=bx+c的解的探索過程，掌握用函數(shù)y=ax2和y=bx+c圖像交點的方法求方程ax2=bx+c的解二、知識回顧二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程的關系二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式（b2-4ac）有兩個交點有兩個相異的實數(shù)根b2-4a

2、c0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac0三、新知講解1利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：（1）畫出函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象；（2）確定拋物線與x軸的交點的個數(shù)，看交點在哪兩個數(shù)之間；（3）列表，根據(jù)題目實際情況在兩個數(shù)之間合理等分，并用計算器估算每個等分點所對應的函數(shù)值y當x由x1取到x2，對應的y值出現(xiàn)y10，y20（或 y10，y20）且符合題目近似值要求時，x1或x2可以看做方程的近似根2二次函數(shù)與一元二次不等式的關系設拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點a（x1

3、，0），b（x2，0）（x1x2），則當a0時，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2四.典例探究掃一掃，有驚喜哦！1圖象法求一元二次方程的近似根【例1】利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程5x2+4x2=0的近似根總結：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根的一般步驟：（1）畫出函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象；（2）確定拋物線與x軸的交點的個數(shù)，看交點在哪兩個數(shù)之間；（3）列表，根據(jù)題目實際情況在兩個數(shù)之間合理等分，并用計算器估算每個等分點所對應的函數(shù)值y當x由x1取到x2，對應的y值出現(xiàn)y10，y20（或 y10，y20）且符合題目近

4、似值要求時，x1或x2可以看做方程的近似根練1 利用函數(shù)y=x2x3的圖象，借助計算器探索方程x2x3=0介于3與2之間的根（精確到0.1）2圖像法解一元二次不等式【例2】（2010淮北模擬）閱讀材料，解答問題例：用圖象法解一元二次不等式：x22x30解：設y=x22x3，則y是x的二次函數(shù)a=10，拋物線開口向上又當y=0時，x22x3=0，解得x1=1，x2=3由此得拋物線y=x22x3的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當x1或x3時，y0x22x30的解集是：x1或x3（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x22x30的解集是_；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x210總結

5、：設拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點a（x1，0），b（x2，0）（x1x2），則當a0時，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2練2 畫出函數(shù)y=2x2+8x6的圖象，根據(jù)圖象回答：（1）方程2x2+8x6=0的解是什么？（2）當x取何值時，y0？（3）當x取何值時，y0？3用一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像交點的方法求一元二次方程的解【例3】已知二次函數(shù)y=2x22和一次函數(shù)y=5x+1（1）你能用圖象法求出方程2x22=5x+1的解嗎？試試看；（2）請通過解方程的方法驗證（1）問的解總結：1. 畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，觀察

6、兩圖象交點坐標，即可求相應一元二次方程的解2. 反過來，令二次函數(shù)和一次函數(shù)的值相等，列出關于x的一元二次方程，該一元二次方程的解即為二次函數(shù)與一次函數(shù)交點的橫坐標.練3 利用函數(shù)圖象求出一元二次方程x2+2=4x的近似根，或在同一平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=x2+2和一次函數(shù)y=4x的圖象，根據(jù)兩個圖象交點的橫坐標找出一元二次方程x2+2=4x的近似根，請試一試五、課后小測一、選擇題1根據(jù)拋物線y=x2+3x1與x軸的交點的坐標，可以求出下列方程中哪個方程的近似解（ ）ax21=3x bx2+3x+1=0 c3x2+x1=0 dx23x+1=02（2014秋安次區(qū)校級期中）已知：二次函數(shù)

7、y=x22x+m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x22x+m=0的解為（ ）a1 b3 c2 d03（2015瀘州）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點（2，0），且其對稱軸為x=1，則使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍是（ ）ax4或x2 b4x2 cx4或x2 d4x24（2015成都模擬）已知二次函數(shù)y=x22x1的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求使得y2成立的x的取值范圍是（ ）ax1或x3 b2x2 cx2 d1x35（2014尤溪縣質(zhì)檢）直線y1=x+1與拋物線y2=x2+3的圖象如圖，當y1y2時，x的取值范圍為（ ）ax2 bx1 c2x1 dx2或x1

8、二、填空題6（2015大連模擬）如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點a（1，0）和b（3，2），不等式x2+bx+cx+m 的解集為_7（2010奉化市模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是_8（2014錦州一模）已知二次函數(shù)y=（xm）2+b的圖象如圖，則關于x的一元二次方程（xm）2+b=0的解為_9（2014武漢模擬）直線y=mx+n和拋物線y=ax2+bx+c在同一坐標系中的位置如圖所示，那么不等式mx+nax2+bx+c0的解集是_三、解答題10（2014佛山）利用二次函數(shù)的圖象估計一

9、元二次方程x22x1=0的近似根（精確到0.1）11（2011杭州模擬）小明在復習數(shù)學知識時，針對“求一元二次方程的解”整理了以下幾種方法，請你將有關內(nèi)容補充完整：例題：求一元二次方程x2x1=0的兩個解（1）解法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法、分解因式法）（2）解法二：利用二次函數(shù)圖象與兩坐標軸的交點求解如圖，把方程x2x1=0的解看成是二次函數(shù)y=的圖象與x軸交點的橫坐標即x1，x2就是方程的解（3）解法三：利用兩個函數(shù)圖象的交點求解把方程x2x1=0的解看成是二次函數(shù)y=的圖象與一個一次函數(shù)y=的圖象交點的橫坐標畫出這兩個函數(shù)的圖象，用x1，x2在x軸上標出方程的解12（2014

10、東西湖區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線y1=2x2+2與直線y2=2x+2交于a、b兩點（1）求a、b兩點的坐標（2）若y1y2，請直接寫出x的取值范圍13一元二次方程x2+7x+9=1的根與二次函數(shù)y=x2+7x+9的圖象有什么關系？試把方程的根在圖象上表示出來典例探究答案：【例1】【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是相應的方程的解解：方程5x2+4x2=0根是函數(shù)y=5x2+4x2與x軸交點的橫坐標作出二次函數(shù)y=5x2+4x2的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個根，一個在2和1之間，另一個在0和1之間先求2和1之間的根，當x=1.1時，y=0.35；當x=1.

11、2時，y=0.4；因此，x=1.15是方程的一個近似根，同理，x=0.35是方程的另一個近似根故一元二次方程5x2+4x2=0的近似根為x=1.15或0.35點評：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標是相應的一元二次方程的解練1【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是相應的方程的解解：方程x2x3=0的根是函數(shù)y=x2x3與x軸交點的橫坐標作出二次函數(shù)y=x2x3的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個根，一個在3與2之間，另一個在2和3之間求3與2之間的根，當x=2.2時，y=0.14；當x=2.3時，y=0.105；因此，x=2.3

12、是方程介于3與2之間的一個近似根點評：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答此題的關鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學生數(shù)形結合的思想方法【例2】【解析】（1）由x22x3=0得x1=1，x2=3，拋物線y=x22x3開口向上，y0時，圖象在x軸的上方，此時x1或x3；（2）仿照（1）的方法，畫出函數(shù)y=x21的圖象，找出圖象與x軸的交點坐標，根據(jù)圖象的開口方向及函數(shù)值的符號，確定x的范圍解：（1）x1或x3；（2）設y=x21，則y是x的二次函數(shù)，a=10，拋物線開口向上又當y=0時，x21=0，解得x1=1，x2=1由此得拋物線y=x21的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當x

13、1或x1時，y0x210的解集是：x1或x1點評：本題考查了學生的閱讀理解能力，知識的遷移能力及二次函數(shù)與不等式的關系，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，然后由圖象找出當y0時，自變量x的范圍練2【解析】利用描點連線的方法畫出函數(shù)y=2x2+8x6的圖象再根據(jù)圖象判斷函數(shù)的增減性解：函數(shù)y=2x2+8x6的圖象如圖由圖象可知：（1）方程2x2+8x6=0的解x1=1，x2=3（2）當1x3時，y0（3）當x1或x3時，y0點評：本題重點考查了函數(shù)圖象的畫法及解讀【例3】【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的交點坐標是相應方程的解，可得答案；（2）根據(jù)因式分解，可得方程的解解：（1）如圖在平面直角坐標

14、系內(nèi)畫出y=2x22和函數(shù)y=5x+1的圖象，圖象交點的橫坐標是，32x22=5x+1的解是x1=，x2=3；（2）化簡得2x25x3=0，因式分解，得（2x+1）（x3）=0解得x1=，x2=3點評：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，圖象交點的橫坐標是方程的解練3【解析】建立平面直角坐標系，根據(jù)網(wǎng)格結構作出函數(shù)y=x2+2和y=4x的圖象，然后找出兩函數(shù)圖象的交點坐標，從而得解解：在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y=x2+2和y=4x的圖象，如圖所示：由圖可知，交點坐標為（0.6，2.4），（3.4，13.6），所以一元二次方程x2+2=4x的近似根為x10.6，x23.4點評：本題考查

15、了圖象法求一元二次方程的近似根，主要是利用函數(shù)圖象的交點坐標求方程的解，讀懂題目信息是解題的關鍵課后小測答案：一、選擇題1【解析】根據(jù)拋物線y=x2+3x1與x軸的交點的橫坐標就是方程x2+3x1=0的根來解決此題解：拋物線y=x2+3x1與x軸的交點的橫坐標就是方程x2+3x1=0的根，可以求出方程x2+3x1=0的根，方程x21=3x與方程x2+3x1=0等價，可以求出方程x21=3x的根故選a點評：據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根2【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象得出拋物線與x軸的交點，進而可得出結論解：由圖可知，拋物線的對稱軸為x=1，拋物

16、線與x軸的一個交點為3，另一個交點=2×（1）+3=1，關于x的一元二次方程x22x+m=0的解為x1=3，x2=1故選a點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，熟知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系是解答此題的關鍵3【解析】由拋物線與x軸的交點及對稱軸求出另一個交點坐標，根據(jù)拋物線開口向下，根據(jù)圖象求出使函數(shù)值y0成立的x的取值范圍即可解：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過點（2，0），且其對稱軸為x=1，二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為（4，0），a0，拋物線開口向下，則使函數(shù)值y0成立的x的取

17、值范圍是4x2故選d點評：此題考查了二次函數(shù)與不等式（組），求出拋物線與x軸另一個交點坐標是解本題的關鍵4【解析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出y=2對應的自變量x的值之間的取值即可解：由圖可知，使得y2成立的x的取值范圍是1x3故選d點評：本題考查了二次函數(shù)與不等式，準確識圖是解題的關鍵5【解析】根據(jù)函數(shù)圖象，寫出直線在拋物線上方部分的x的取值范圍即可解：由圖可知，x2或x1時，y1y2故選d點評：本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵二、填空題6【解析】根據(jù)已知條件和圖象找出直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c的交點，即可求出不等式x2+bx+cx+m 的解集解：直

18、線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點a（1，0）和b（3，2），根據(jù)圖象可知，不等式x2+bx+cx+m 的解集為x1或x3；故答案為：x1或x3點評：主要考查了二次函數(shù)與不等式組，解題的關鍵是根據(jù)圖象找出直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c的交點，要具備讀圖的能力7【解析】本題是一道估算題，先測估計出對稱軸左側圖象與x軸交點的橫坐標，再利用對稱軸x=3，可以算出右側交點橫坐標解：依題意得二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象的對稱軸為x=3，而對稱軸左側圖象與x軸交點與原點的距離，約為1.6，x1=1.6；又對稱軸為x=3，則=3，x2=2×31.6=4.4點評：解答

19、本題首先需要估計圖象估計出一個解，再根據(jù)對稱性計算出另一個解，估計值的精確程度，直接關系到計算的準確性，必須估計盡量準確8【解析】二次函數(shù)y=（xm）2+b的頂點坐標為（m，b），由圖象得，m=2，b=2，可得二次函數(shù)的解析式為y=（x2）22再解一元二次方程即可解：由圖象得，m=2，b=2，所以二次函數(shù)的解析式為y=（x2）22關于x的一元二次方程（x2）22=0（x2）2=2解得：，故答案為：，點評：本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，本題的關鍵是得出二次函數(shù)的解析式為y=（x2）229【解析】從圖上可知，mx+nax2+bx+c，則有x1或x；根據(jù)ax2+bx+c0，可知1x2；綜上，

20、不等式mx+nax2+bx+c0的解集是1x2解：因為mx+nax2+bx+c0，由圖可知，1x2點評：此題將圖形與不等式相結合，考查了同學們對不等式組的解集的理解和讀圖能力，有一定的難度，讀圖時要仔細三、解答題10【解析】根據(jù)函數(shù)與方程的關系，可得函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是相應的方程的解解：方程x22x1=0根是函數(shù)y=x22x1與x軸交點的橫坐標作出二次函數(shù)y=x22x1的圖象，如圖所示，由圖象可知方程有兩個根，一個在1和0之間，另一個在2和3之間先求1和0之間的根，當x=0.4時，y=0.04；當x=0.5時，y=0.25；因此，x=0.4（或x=0.5）是方程的一個近似根，同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一個近似根點評：本題考查了圖象法求一元二次方程的近似值，解答此題的關鍵是求出對稱軸，然后由圖象解答，鍛煉了學生數(shù)形結合的思想方法11【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；（2）二次函數(shù)方程為y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是方程x2x1=0的解，所以，只要求出方程x2x1=0的根，就可以求出二次函數(shù)方程為y=ax2+bx+c與x軸交點；（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根據(jù)題意畫