隨機(jī)過程考試真題

1、1、設(shè)隨機(jī)過程X")=R-t + c re(O,。), C為常數(shù)，服從0,1區(qū)間上的均勻分布。(1)求X(/)的一維概率密度和一維分布函數(shù)：(2)求X(/)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設(shè)何(1),一svrvs是參數(shù)為R的維納過程，/?N( 1,4)是正態(tài)分布隨機(jī)變量：且對任意的-sczvs, W(r)與/?均獨(dú)立。令-W(t) + ，求隨機(jī)過程乂6，55的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。3、設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每小時(shí)有18。人，即幾=180：且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為$的指數(shù)分布。求一天內(nèi)8個(gè)小時(shí))商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移

2、概率矩陣為：0.3 0.70、P=00.2 0.8、0.7 00.3 J(1)求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P及當(dāng)初始分布為PX0=1 =1, PXO=2) = PXO=3) = O時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。(2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。3 0.4 0.3 00.6 0.4 000000.705設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間/二1,2,3,4,5,轉(zhuǎn)移概率矩陣為：P = 0100000S3<000I求狀態(tài)的分類、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。6、設(shè)M/),r>0是參數(shù)為幾的泊松過程，計(jì)算E ：/V(rW+5).7、考慮一個(gè)從底層啟動上升的電梯。以R記在r第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假妃“

3、相互獨(dú)立， 且N,是均值為人的泊松變量。任第i層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率幾在第層離開電梯， 工” 二1。令在第)層離開電梯的人數(shù)。 J>1(1)計(jì)算 £(q)(2) O,的分布是什么(3) 與q的聯(lián)合分布是什么8、 一質(zhì)點(diǎn)在1, 2,3點(diǎn)上作隨機(jī)游動。若在時(shí)刻/質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在tj +力)內(nèi)， 它都以概率/? + «(/?)分別轉(zhuǎn)移到苴它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動的柯爾莫哥洛夫微分方 程，轉(zhuǎn)移概率"/7匕吸平穩(wěn)分布。1 有隨機(jī)過程，-<tv 和 (t), - <t<，設(shè)=Jsin( t+ ),sin( t+ + ),其中兒氏，

4、為實(shí)常數(shù)，均勻分布于0,2 ,試求斤(s,亡)2 (15分)隨機(jī)過程O)*cos( t+), - vtv+，其中凡，是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，E店2,D店 4,是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在一上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析的平穩(wěn) 性和各態(tài)歷經(jīng)性。3某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9： 00開門，試求： (1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率：（2）若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。4設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月汁）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（用1表示）、正常（用2 表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，

5、其銷售狀態(tài)的變化（從這月到下 月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為'表示從銷售狀態(tài),經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀 態(tài)J的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：P %2 25,9r6 1，92,3 1.31.6試對經(jīng)過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。5設(shè)a （t） ,Ao）是獨(dú)立增疑過程，且MO） =O，證明a （t），八o是一個(gè)馬爾科夫過程。6設(shè)N （t） ,t>0是強(qiáng)度為幾的泊松過程，Yk,k=l,2,.-是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且N （1）與N”0獨(dú)立，令X吃YJRO,證明：若E （Yvs），則E ：X （t） =/tE Y1 k=i7 .設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)

6、。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為而今天無雨明天有雨的概率為0；規(guī)泄有雨天氣為狀態(tài)。，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)a = 0.7,0 = 0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8 設(shè)§ （）-sv/vp是平穩(wěn)過程令（/）二歹（"cos （5/ + O） s vf '其中。是常數(shù)，為均勻分布在。,2 上的隨機(jī)變量，且享B） ,-sv/vwc與相互獨(dú)立,（）和3 （）分別是$ （J,SV/VP的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：（1） （ /一svfv*。是平穩(wěn)過程，且相關(guān)函數(shù)：A （r =ia （r） cos6?nr(2) (/) SVfv+oo)的功率譜密度為:為(0) 二&#

7、163;瓦(少一 5) +5+5)9已知隨機(jī)過程(t )的相關(guān)函數(shù)為：哄)二嚴(yán)，問該隨機(jī)過程(上)是否均方連續(xù)?是否均方可微？1>設(shè)隨機(jī)過程X (r) =/?r + C,居(0,s) , C為常數(shù)，R服從0,1 區(qū)間上的均勻分布。(1)求X (/)的一維概率密度和一維分布函數(shù)：(2)求X (f)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【理論基礎(chǔ)】(1)F (x)= £/(Ddr,則/ (f)為密度函數(shù);(2) X (r)為(匕)上的均勻分布，概率密度函數(shù)f x) = I助.分布函數(shù) 。淇他皿 a + b D(x)EM 二 T0, x< a12F(x) =、u <x<

8、bb-a .x>b參數(shù)為兄的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)/心f;:。，分布函數(shù)1 .嚴(yán)淪0F(x) =, E (X) =T, o (x) - -yy0,x <0I d)c(4) E(x) = p、D(x)二 cF 的正態(tài)分布,概率密度函數(shù) f(x)二一丁 /虧“，一 s <x<s, bj2/ri和一上牢分布函數(shù)F(x)=fe "流、一 s<¥ <s ,若=0,b = 1時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。bj厲【解答】本題可參加課本習(xí)題21及22題。(D因/?為0,1上的均勻分布，C為常數(shù)，故X(r)亦為均勻分布。由/?的取值范圍可知，X為C,C+r上的均勻

9、分布，因此其一維概率密度=7' Jx_c + r。淇他0,x<C函數(shù)"X)=£yC<X<C+t.,x>C + t(2)根據(jù)相關(guān)左義，均值函數(shù)而=EXt) = - + Cti r相關(guān)函數(shù) R(sJ) = EX(s)X(t)=st + (s + t) + C325/協(xié)方差函數(shù) A/s." rn.(s)X(t)(t)=(當(dāng) s=7 時(shí)為方差函數(shù))12【注】D(X) -E(X2)-E2(X)； B、(s,t) = Rx (s J)皿(s)m. (/)求概率密度的通解公式 /； (A)= f(y) I y(x) 1= f(yy x(y)2、設(shè)

10、(VV(r),-oo <r<s是參數(shù)為b，的維納過程，RN(14)是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對任意的一 8WS, W與R均獨(dú)立。令X(t) = W(t) + R，求隨機(jī)過程x (nsv/vs的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【解答】此題解法同1題。依題意，WN(0,b2l/l), A( 1,4),因此X(r) = W(/) + R服從于正態(tài)分布。故:均值函數(shù)精品mx (r) = EX(r) = 1；相關(guān)函數(shù)籟(sj)= EX(s)X(t) =5 :協(xié)方差函數(shù)A(5,二eMs)-(5)%(/)-(/) =4 (當(dāng)s"時(shí)為方差函數(shù))3、設(shè)到達(dá)某商場的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過程，平均每

11、小時(shí)有180人，即2 = 180：且每個(gè)顧客的 消費(fèi)額是服從參數(shù)為$的指數(shù)分布。求一天內(nèi)(8個(gè)小時(shí))商場營業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差?！窘獯稹看祟}可參見課本習(xí)題3. 10題。由題意可知，每個(gè)顧客的消費(fèi)額y是服從參數(shù)為$的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：112E(Y) = -=D(Y)= "，故E(X) = r，則由復(fù)合泊松過程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場營s廠廠業(yè)額的數(shù)學(xué)期望8)=8xl80x*力:一天內(nèi)商場營業(yè)額的方差b : (8H80 x E (r2) o4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：0.3 0.70、P= 00.2 0.8,0.700.3,(1)求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P及當(dāng)初始分布為PX0

12、=1 = 1, PXo=2 = PX()=3=0時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。(2)求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。【解答】可參考教材例4. 3題及4. 16題(1)兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣03p，2、= pp = o<0.70.70、0.2 0.80 0.3,0.3 0.700.2、0.7 0O'0.80.30.09 0.35 0.5610.56 0.04 0.4,0,42 0.49 009當(dāng)初始分布為 P X()= 1) = .PX2 =/7乂。=3=0 時(shí),(0.090.35 0.56、(1 001 0.56 0.04 0.4= (0.09 0.35 0.56)1,0.42 0.49

13、0.09>故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率為0. 35。(2)因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組nx = 0.3/Fj +0 花 +0.7 龍 3兀2=07勿+0 2龍2+0龍3兀3 = 0龍+08龍2+03龍3龍+兀2 +龍3 = 1解上述方程組得平穩(wěn)分布為878兀 1 =一，心=一* g - 一23- 23 - 235、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間/ =12345),轉(zhuǎn)移概率矩陣為:030.4 0.3 00.6 0.4 00P = 01000oo0.3<00010000.7o,求狀態(tài)的分類、0常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。【解答】此題比較

14、綜合，可參加例4.13題和4. 16題畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：（1）由上圖可知，狀態(tài)分類為6=1,2,342=4,5（2）由上圖及常返閉集泄義可知，常返閉集有兩個(gè)，下而分別求英平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均 返回時(shí)間。A、對q常返閉集而言，解方程組龍=0 環(huán) +0.6© +0©心=0.4 歹IJ+0 4 龍 2+1©© = 0.3 坷 + 0a2 + O/r?、西+©+©zzl解上述方程組得平穩(wěn)分布為37259371 15 - 903 50則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為115190150t y 9 匚= ="-,L =，叭 37 心 25

15、9兀 3 37B、對G?常返閉集而言，解方程組勿=0.3藥+1龍2兀2=07碼+0龍2解上述方程組得平穩(wěn)分布為107=，/17 - 17則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為1 171176、設(shè)八(/),/>()是參數(shù)為幾的泊松過程，計(jì)算EN(/)N(/+$)?！窘獯稹縀fN (1) N (t + s)=EN(t)(N(t + s 入N+ N)=ENa) (N(F + $) N(f) + EN(f)2=EN(/)EW(/ + s)_N(D + EA(O2=Atn As + At + (At )2/(1 + 川 + 2$)7、考慮一個(gè)從底層啟動上升的電梯。以M記在/第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假左M相互獨(dú)立

16、，且 他是均值為人的泊松變呈：。任第i層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率幾在第J 層離開電梯， 工幾二1。令在第j層離開電梯的人數(shù)。 1>1(1)計(jì)算 E(0)(2) O,的分布是什么(3) O)與q的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方而信息，此次考試此題不考。以叫記在第i層乘上電梯，在第J層離去的人數(shù)，則他是均值為人必的泊松變量,且全部相互獨(dú)立。因此：1正0二EW二工人內(nèi)II由泊松變星的性質(zhì)知，。廣工筠是均值為Z人均的泊松變量精品 因q與q獨(dú)立，則P(oq)= P (ojp(OJ =-幺"一不久二,A為期i! k! ilk!望。8、一質(zhì)點(diǎn)在1, 2, 3點(diǎn)上作隨機(jī)

17、游動。若在時(shí)刻/質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在+田內(nèi)， 它都以概率/?+«(/?)分別轉(zhuǎn)移到苴它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動的柯爾莫哥洛夫微分方 程，轉(zhuǎn)移概率產(chǎn)億及平穩(wěn)分布?！窘獯稹繀⒁娊滩牧?xí)題5. 2題依題意，由血】空巴-%。工J )得/=人柯爾莫哥洛夫向前方程為4- A/Pij = - 2 屬(/) + HJT (1) + S (/),由于狀態(tài)空間/=123,故Pn(/)+AH (/)+» (0=1,所以Pij = 一 2 Pij (0 +1 Pjj (f) = -3 (0+ 1»解上述一階線性微分方程得：p/J=ce由初始條件確泄常數(shù)c,得故其平穩(wěn)分布©

18、 = lim/切(/)二，)二 1231、有隨機(jī)過程，-<tv 和 (»-<t< ，設(shè)Rsin( t+ ), 3二B sin(汗+ ),其中兒 乙，為實(shí)常數(shù)，均勻分布于0,2,試求斤(s)/、 I,0<0<2。淇它/?,?(£)=Eg(s) 二j Asin(血 + O)Bsin(&+ & + p ) ± d02尸AB Jcos(o(f -,) + 9) ocos(“(f+ s) + 2e + °) dd精品2-00 < r<+8=A COS (°(f-£) + 0), -00

19、<S,t V+S2、隨機(jī)過程(D»cos( t+ ),-<+，其中凡，是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，E月二2, D月二4,是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量，是在-，上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析69的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2、解:叫(/)二)二 EAcos(6X + <!>)= E*cos(0f+)可 cos(" + 姆/8-5 -/T/?+ r)= £A(r)f(r+ r)= £ACoAa)t + <1) Acos(ey(r + r)+ A)=EIA - fcos(ef + )cos (6y(f + r)+ )5XJ dcoAc

20、QAcot + 0)cos(0(/ + x)-(pl(p 一5x5/TJ 田丁cosqt + COS(2q/ + COT +40 龍 2(pffl (p 58 r4 sin5r 如(、20i5 T-所以具有平穩(wěn)性o(點(diǎn)(俳lim A cos(HB + 故均值具有各態(tài)歷黎性 k = limsin coTcos二0 = z ' r->A 2T Jr怒(/ + r» = 7Jiin 一 J A cos(曲 + (A co(f + r) + 皿cos (6?r + C>)cos (6Xr + r)+ )dt旦COS電)2故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、某商店顧客的到來服從

21、強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過程，已知商店9： 00開門，試求:(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率：(2)若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。3、解：設(shè)顧客到來過程為(N (t) ,t>=0,依題意N (t)是參數(shù)為 的Poisson 11程。(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為：Iz在開門半小時(shí)中無顧客到來可表示為叫牛。，在未來半小時(shí)仍無顧客到來可表示為N（1） = 0 »從而所求概率為：=OIN 1 =0(2 J1= 0IN-N(0) = 0<2>=P=4、設(shè)某廠的商品的銷售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)-）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷（

22、用1表示）、正常（用 2表示）、暢銷（用3表示）。若經(jīng)過對歷史資料的整理分析，其銷售狀態(tài)的變化（從這月到 下月）與初始時(shí)刻無關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為物5表示從銷售狀態(tài)，經(jīng)過一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷售狀 態(tài)/的概率），一步轉(zhuǎn)移開率矩陣為：2小992 ±3 6試對經(jīng)過長時(shí)間后的銷售狀況進(jìn)行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pQO,從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為二 “,，求解方程組：=+3=1即：嚴(yán)+嚴(yán)輔平F121 9233251一九'+一九'二"X96''7T|+ 龍？ + 龍 3=1W：一、心'二一,g =23r23623即極限分布為：”怯，方,623由計(jì)算結(jié)果可以看出：經(jīng)過相當(dāng)長時(shí)間后，正常銷售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷狀態(tài)的可能性 最小。5、試對以下列矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。0.700.300(D0.10.80.100。400.6000000-50.50000.50.5341，20 07 4130 05.6、一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，顧客按強(qiáng)度為的Poisson過程到達(dá)，系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)服務(wù)員，并且服務(wù)時(shí) 間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，如果服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)沒有顧客，