左維老師群論講義 1

1、群 論 參考書：參考書： 群論，韓其智、孫洪州，北京大學(xué)出版社 物理學(xué)中的群論，馬中騏，科學(xué)出版社 典型群及其在物理學(xué)中的應(yīng)用，懷邦，馮承天 等譯，科學(xué)出版社第一章 群的基本知識(shí)1 群群 群的定義：假設(shè)G是由一些元素組成的集合，即G=, g, . 在G中各元素間定義了一種合成規(guī)則 ( 操作，運(yùn)算，群的乘法 ). 如果G對(duì)這種合成規(guī)則滿足以下四個(gè)條件： a）封閉性. G中任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G. b) 結(jié)合律. c) 單位元素. 集合G中存在一個(gè)單位元素e, 對(duì)任意元素 , 有 d) 可逆性. 對(duì)任意元素 , 存在逆元素 , 使 則稱集合G為一個(gè)群. GhfgGgf ,effff11)()

2、(,ghfhfgGhgfGf Gf1ffeefGf 有限群有限群: : 由有限個(gè)元素構(gòu)成的群. 群元的個(gè)數(shù)定義為群的階. 例子: 1) 由 1,0,1 三個(gè)數(shù)組成的集合, 定義數(shù)的加法為群的乘法運(yùn)算, 構(gòu)成一個(gè)三階有限群, 單位元素為0. 2) 空間反演群: 三維實(shí)空間中的恒等變換 E ( )和反演變換 I ( ). 如果定義群的乘法為從左向右依次施行變換, 則E 和I 構(gòu)成一個(gè)二階有限群, 稱為空間反演群. 3) n階循環(huán)群 . 由一個(gè)元素 a 的冪構(gòu)成的有限群. 設(shè) , 則 構(gòu)成一個(gè)群, 稱為n階循環(huán)群. 空間反演群是一個(gè)2階循環(huán)群. 4) 平面正三角形對(duì)稱群 . 保持平面正三角形空間 位

3、置不變的所有轉(zhuǎn)動(dòng)變換 e : 不轉(zhuǎn) d : 繞 z 軸轉(zhuǎn)2/3 f : 繞 z 軸轉(zhuǎn)4/3 a : 繞 1 軸轉(zhuǎn) b : 繞 2 軸轉(zhuǎn) c : 繞 3 軸轉(zhuǎn) 定義群的乘法為從左向右依次施行變換, 構(gòu)成一個(gè)群.rrE rrI3DnCean,12nnaaaeC123ABCO 有限群的乘法表有限群的乘法表: 將有限中所有元素的乘積列為一個(gè)表, 稱為乘法表. 例: 1) n階循環(huán)群的乘法表ea2a3a1naea2a3a1naeee2a2a2a2a2aaaaa3a3a3a3a1na1na4a4a4a5a5a6a2na例: 2) 平面正三角形對(duì)稱群的乘法表 e, d, f 構(gòu)成三階循環(huán)群 e, a , e

4、, b 和 e, c 均構(gòu)成二階循環(huán)群.edfabc eedfabc ddfecab ffedbca aabcedf bbcafed ccabdfe2g1g21gg 無(wú)限群無(wú)限群: : 由無(wú)限個(gè)元素構(gòu)成的群. 例子: 1) 由所有整數(shù)組成的集合, 定義數(shù)的加法為群的乘法運(yùn)算, 構(gòu)成一個(gè)分立無(wú)限群, 單位元素為0. 分立無(wú)限群分立無(wú)限群: : 群元無(wú)限可數(shù). 2) 空間平移群: 三維實(shí)空間中的所有平移變換 對(duì)于變換乘法構(gòu)成一個(gè)連續(xù)無(wú)限群. 變換乘法變換乘法: : 從左向右依次施行變換. 連續(xù)無(wú)限群連續(xù)無(wú)限群: : 群元無(wú)限不可數(shù), 可用一組連續(xù)變化的參數(shù)來(lái)描述. 3) 三維轉(zhuǎn)動(dòng)群SO(3). 三

5、維空間保持原點(diǎn)不變的所有轉(zhuǎn)動(dòng)變換構(gòu)成一個(gè)連續(xù)無(wú)限群. SO(3)群元可用繞通過(guò)原點(diǎn)的任何一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸 k k 轉(zhuǎn) 的轉(zhuǎn)動(dòng)示 ，由三個(gè)連續(xù)變化的有界參數(shù) （，）標(biāo)記. 滿秩滿秩( (正則正則, ,非奇異非奇異) )矩陣構(gòu)成的群矩陣構(gòu)成的群: 以矩陣的乘法作為群的乘法 1) 一般復(fù)線性群GL(n,C): 所有n階正則復(fù)矩陣構(gòu)成一個(gè)2 維連續(xù)群, 群元可用2 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記. 一般實(shí)線性群GL(n,R): 所有n階正則實(shí)矩陣構(gòu)成一個(gè) 維連續(xù)群, 群元可用 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記.arraT)()(kC2n2n2n2n2) 特殊復(fù)線性群SL(n,C): 所有行列式為 +1 的n階正則復(fù)矩陣構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由

6、 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記. 特殊實(shí)線性群SL(n,R): 所有行列式為 +1 的n階正則實(shí)矩陣構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記.3) 酉群U(n): 所有n階酉矩陣 構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記. 特殊酉群SU(n): 所有行列式為 +1 的n階酉矩陣構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記.4) 正交群O(n,C): 所有n階復(fù)正交矩陣 構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記. 實(shí)特殊正交群SO(n,R): 所有行列式為 +1 的n階實(shí)正交矩陣構(gòu)成的 維連續(xù)群, 群元由 個(gè)實(shí)參數(shù)標(biāo)記.2n) 1(22n2n) 1(22n) 1(2n) 1(2n)(Euuuuu) 1(2n) 1(

7、2n)(EoooooTT)(2nn ) 1(2n2/ )(2nn 2/ )(2nn 2 子子群和陪集群和陪集 子群的定義：子群的定義：假設(shè) H 是群 G 的一個(gè)非空子集，若 子集 H 中的元素按照群G 的乘法構(gòu)成一個(gè)群, 則稱 H 為 G 的子群. 記為 . 單位元和群 G 本身都是群 G 的子群, 稱為平庸子群. 如果G1 為 G 的子群, G2 為 G1 的子群, 則G2 為 G 的子群.例: 1）平面正三角形對(duì)稱群D3 . e,d,f , e,a , e,b , e,c 均為D3的子群. 2) 奇n階循環(huán)群沒有非平庸子群. 3) 從有限群中的任一元素 a 出發(fā), 都能生成該群的一個(gè)循環(huán)子

8、群. 4) 一般復(fù)線性群GL(n,C)特殊復(fù)線性群SL(n,C) 特殊實(shí)線性SL(n,R) 一般復(fù)線性群GL(n,C)酉群U(n) 特殊酉群SU(n) 一般復(fù)線性群GL(n,C)復(fù)正交群O(n,C) 實(shí)正交群O(n,R) 特殊實(shí) 正交群SO(n,R) GH 陪集的定義：陪集的定義：假設(shè) H 是群 G 的一個(gè)子群， H = h . 對(duì)于群 G 中任意一個(gè)不屬于子群 H 的元素 g , 可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg gH = gh | h H , Hg = h g| h H 根據(jù)群的定義, 有 gh H , h g H . 陪集元素的個(gè)數(shù)等與相應(yīng)子群的階. 陪集定理陪集定理: :

9、設(shè)H 是群 G 的一個(gè)子群， 則H 的兩個(gè)左陪集 gH 和 fH 要么完全相等, 要么沒有任何公共元素. 證明: 假設(shè)gH 和 fH 中有一個(gè)公共元素gh = fh , 則有 f 1g =h h-1 H. 根據(jù)重排定理, 有f 1g H = H , 即g H = fH 拉格朗日定理拉格朗日定理: : 有限群的階是其子群的階的整數(shù)倍. 證明: 設(shè)G 的一個(gè) n 階有限群, H 是群 G 的一個(gè)m 階子群. 根據(jù)拉格朗日 定理, 可以構(gòu)造一個(gè)包括H 在內(nèi)的左陪集串, 其中每個(gè)陪集沒有公共 元素且整個(gè)陪集串充滿群G ,即 G=Hg1Hg2Hg3HgL-1H 則有 n = Lm. 根據(jù)拉格朗日定理,

10、可以得到有限群的一種分割方式, 即有限群可以分割其子群的陪集串. 推論: 階為素?cái)?shù)的群沒有非平庸子群. 例:平面正三角形對(duì)稱群D3 可以按子群H1=e,a分為陪集串H1=e,a, bH1=b,f, cH1=c,d. 也可按子群H4=e,d,f分為陪集串H4=e,d,f, aH4=bH4=cH4=a,b,c.3 類和不變子群類和不變子群 共軛元素的定義：共軛元素的定義：對(duì)于群G中的任意元素s, 元素g 和 f =sgs-1定義為互共軛元素. 記為 gf . 自軛性: 任何元素與其本身共軛, 即gg 對(duì)稱性: 若gf , 則f g. 傳遞性: 若gf1, gf2 , 則f1f2 類的定義：類的定義

11、：群G中所有相互共軛的元素構(gòu)成的集合稱為群G的一個(gè)類. 根據(jù)共軛關(guān)系的性質(zhì), 群G的一個(gè)類中的元素可由該類中任一元素生成, 即 f類= f|f = sfs-1, s G, s取遍群G所有元素, 重復(fù)元素sfs-1只取一次. 根據(jù)共軛的傳遞性可證: 兩個(gè)不同的類沒有公共元素. 定理定理: : 有限群的階是每一個(gè)類的元素個(gè)數(shù)的整數(shù)倍. 證明: 設(shè)G是n階有限群, 對(duì) G中的任一元素g, 作子 Hg= hG|hgh1=g 根據(jù)陪集定理, 可將群G分割成Hg的陪集串. 考察陪集串中任一陪集g1Hg . 有 g1Hg g (g1Hg )1= g1Hg g Hg 1 g11= g1g g11. 對(duì)于任何g

12、2g g21=g1g g11，都有g(shù)21g1g（ g2 1 g1）1 =g，即g21g1Hg ， 從而g2g1Hg 。 綜上， Hg的陪集串中每一個(gè)陪集對(duì)應(yīng)于g類的一個(gè)元素，即g類中的元素的個(gè)數(shù)等于Hg的陪集串中陪集的個(gè)數(shù)。例：1）群G中的單位元素自成一類。 2） 阿貝爾群的每個(gè)元素自成一類。 3）平面正三角形對(duì)稱群D3 可以分割為三個(gè)類： e , d,f , a,b,c. 不變子群不變子群: 設(shè)H是群G的子群，h是H中任意元素, 若H包含所有與h同類的元素， 即對(duì)于群G中任意一個(gè)元素g，有g(shù)Hg1=H. 則稱H是群G的不變子群. 等價(jià)定義等價(jià)定義: : 設(shè)H是群G的子群, 如果H的任意一個(gè)左

13、陪集與相應(yīng)的右陪集相等, 即gH=Hg, 則H是群G的不變子群. 定理定理: : 設(shè)H是G的不變子群, 對(duì)于G中的任意一個(gè)固定元素f, 當(dāng)H中的元素h取變整個(gè)H時(shí), fhf1一次并僅僅一次給出H的所有元素. 例: 1) 阿貝爾群的任意一個(gè)子群都是不變子群. 2)平面正三角形對(duì)稱群D3 中繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的元素構(gòu)成的子群 e , d,f 是一個(gè)不變子群. 它的任意一個(gè)左陪集與相應(yīng)的右陪集重合, ae,d,f = e,d,fa = a,b,c. 商群商群: 設(shè)群G的不變子群H生成的陪集串為H, g1H, g2H, . , giH, ., 將其中每一個(gè)陪集作為一個(gè)元素 Fi 可構(gòu)成一個(gè)集合. 定義兩個(gè)陪集

14、的乘法運(yùn)算為: 由這兩個(gè)陪集中的所有元素相乘得到另一個(gè)陪集. 即 giH Fi , gjH Fj , gkH Fk giHgjH=gigjHgj1gjH=gigjH=gkH Fi Fj =Fk 這樣得到的群, Fi 稱為G的不變子群H的商群, 記作G/H. 例:平面正三角形對(duì)稱群D3 的不變子群 H= e,d,f 的商群為二階群e,d,f , a,b,c 4 群的同構(gòu)與同態(tài)群的同構(gòu)與同態(tài) A. 同構(gòu)同構(gòu) 定義定義: 設(shè)由群G到群F, 如果存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的滿映射, 且映射保持群的基本運(yùn)算規(guī)律不變, 即群G中任意兩個(gè)元素乘積的映射等于F中這兩個(gè)元素映射的乘積. 則稱群G和群F同構(gòu), 記作

15、GF, 映射稱為同構(gòu)映射. 同構(gòu)映射將G中的單位元素映射為群F中的單位元素, 將群G中的互逆元映射為F中的相應(yīng)的互逆元. 對(duì)于同構(gòu)映射, 存在一個(gè)逆映射1, 逆映射1將F中的元素一一映射到G的元素. 例: 1) 所有的二階群同構(gòu). 2) 繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)2n/N角度的所有轉(zhuǎn)動(dòng)變換與N階級(jí)教育循環(huán)群同構(gòu).kkjikjikjjiifgfffgggfgfg,kkjikjikjjiifgfffggggfgf)(,)()()()()()()()()(0000gggggggggiiiii)()()()()()()(11011iiiiiiiigggggggggB. 同態(tài)同態(tài) 定義定義: 設(shè)由群G到群F, 如果存在

16、一個(gè)滿映射, 且映射保持群的基本運(yùn)算規(guī)律不變, 即群G中任意兩個(gè)元素乘積的映射等于F中這兩個(gè)元素映射的乘積. 則稱群G和群F同態(tài), 記作GF, 映射稱為由群G到群F的同態(tài)映射. 同態(tài)映射將G中的單位元素映射為群F中的單位元素, 將群G中的互逆元映射為F中的相應(yīng)的互逆元. 同態(tài)核同態(tài)核: 設(shè)群G與群F同態(tài), G中與F的單位元素f0 對(duì)應(yīng)的所有元素構(gòu)成的集合, 稱為同態(tài)核. 記為H. 同態(tài)核定理同態(tài)核定理:設(shè)群G與群F同態(tài), 則有 1) 同態(tài)核H是G的不變子群. 2) 商群G/H與F同構(gòu). 證明: 1) 對(duì)于同態(tài)核H中任意兩個(gè)元素hi 和hj, 根據(jù)同態(tài)的定義, 有 (hi hj )= (hi )

17、 (hj )=f0f0=f0. 再由同態(tài)核定義知 hi hj屬于H. 對(duì)于同態(tài)核H中任意一個(gè)元素h,根據(jù)同態(tài)及同態(tài)核的定義, 有 (h h1 )= (h ) (h1 )=f0 (h1 )= (h1 )= f0, 于是h1 屬于H. 故 H是G的子群. kkjikjikjjiifgfffgggfgfg,kkjikjikjjiifgfffggggfgf)(,)()( 對(duì)于同態(tài)核H中任意元素h 和群G中的任意元素g, 有 (g hg1 )= (g ) (h ) (g1 )= (g ) f0 (g1 )= f0, 即g hg1屬于H, 故 H是G的不變子群. 2) 設(shè)H的陪集串為H, g1H, giH

18、, , 考慮其中的任意一個(gè)陪集gH. 首先, 對(duì)于gH中任意元素gh, 根據(jù)同態(tài)定義, 有 (g h) = (g ) (h ) = (g ), 即陪集gH對(duì)應(yīng)于F中的一個(gè)元素. 其次, 設(shè) giH 和 gjH 是陪集串中兩個(gè)不同的陪集，根據(jù)同態(tài)定義, 有 (gi 1gj h) = (gi 1 ) (gj ) (h ) = (g i1 ) (gj) = (g i) 1 (gj), 若(g i) =(gj)， (g i) 1 (gj)=f0，由同態(tài)核定義， 有g(shù)i 1gj h屬于H， 即giH 和 gjH重合。 故陪集串中不同的陪集對(duì)應(yīng)F中不同元素。 綜上， 商群G/H中的元素與F中元素一一對(duì)應(yīng)。G/H與F同態(tài)。 例： 1）任意群與單位元素構(gòu)成的一階群同態(tài)。 2）平面正三角形對(duì)稱群D3 與二階循環(huán)群同態(tài)。 同構(gòu)：兩個(gè)群中元素一一對(duì)應(yīng)。兩個(gè)同構(gòu)的群具有完全相同的乘法表和 群結(jié)構(gòu)。 同態(tài)：G中的多個(gè)元素對(duì)應(yīng)于F中一個(gè)元素。 群的直積群的直積 定義定義: 考慮兩個(gè)群G1到G2。設(shè)g1G1，g2G2，定義G1到G2的直積群G的元素g為： g= g1g2= g2 g1 定義直積群的乘法運(yùn)算為： g g= (g1g2)(g1g2)=(g1 g1)( g2 g2 )= ( g2 g2 ) (g1 g1) 滿足群的四個(gè)條