旋轉模型專題

1、旋轉模型專題一、等線段共點二、按圖形分類1、等腰三角形， 2、等邊三角形， 3、等腰直角三角形， 4、正方形三、按模型分類1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、對角互補模型 4、與勾股定理結合 5、費馬點問題例題精講1、 手拉手模型1、已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形常見結論：（1）（2）（3）平分（4）是等邊三角形（5）AFM=60°且保持不變2、如圖，在凸四邊形中，,求證：3、已知，以為邊在外作等腰，其中。如圖，若，四邊形是平行四邊形，則如圖，若，是等邊三角形，求的長；如圖，若為銳角，作于，當時，是否成立？若不成立，請說明你的理由；若成立，證明你的結論。2、 角含半角模

2、型4、已知：如圖1在中，點、分別為線段上兩動點，若探究線段、三條線段之間的數(shù)量關系小明的思路是：把繞點順時針旋轉，得到，連結，使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明； 當動點在線段上，動點運動在線段延長線上時，如圖2，其它條件不變，中探究的結論是否發(fā)生改變？說明你的猜想并給予證明 5、在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且EAF=CEF=45°，（1） 將ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到ABG，如圖1，求證：AEGAEF；（2） 若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M,N，如圖2，

3、求證：（3） 將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變，請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關系。 6、在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為外一點，且，探究：當點M，N分別愛直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關系及的周長與等邊的周長L的關系如圖，當點M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關系式_；此時=_如圖，當點M，N在邊AB，AC上，且時，猜想(1)問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=_(用x，L表示) 圖（1） 圖（2） 圖（3）3、 對角

4、互補類7、已知：，平分在圖1中，若，證明：在圖2中，若，探究、三者之間的數(shù)量關系，并給出證明；在圖3中：若（），則（用含的三角函數(shù)表示,直接寫出結果，不必證明）8、如圖1，正方形和正方形，是正方形的對稱中心，交于，交于猜想：與的數(shù)量關系如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且，其它條件不變，探索線段與線段的數(shù)量關系，并加以證明如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且，其它條件不變，探索線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由如圖4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且，其它條件不變，求出的值（直接寫出答案）四、直角三角形斜邊中點9、在等腰直角中，是的中點，點從出發(fā)向運動， 交于點，試說

5、明的形狀和面積將如何變化10、等腰直角三角形，為中點，求的周長11、已知RtABC中，AC=BC，C=90°，D為AB邊的中點，EDF=90°，EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或延長線）于E、F當EDF繞D點旋轉到DEAC于E時（如圖1），易證當EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立? 若成立，請給予證明；若不成立， , , 又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明FBCEDA圖1BAECFD圖2圖3EBADFC五、等線段共點12、如圖所示，是等邊內(nèi)部一點，求的邊長.= ,= ,= ,= , 13、為等邊內(nèi)一點，求證

6、：以、為邊可以構成一個三角形，并確定所構成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).14、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA1，PD2，PC3，將繞著D點按逆時針旋轉到的位置（1）求的度數(shù)。 (2)求正方形的邊長六、費馬點問題15、閱讀下列材料對于任意的，若三角形內(nèi)或三角形上有一點，若有最小值，則取到最小值時，點為該三角形的費馬點。若三角形內(nèi)有一個內(nèi)角大于或等于，這個內(nèi)角的頂點就是費馬點若三角形內(nèi)角均小于，則滿足條件時，點既為費馬點解決問題：如圖，中，三個內(nèi)角均小于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點，證明：點為的費馬點。(即證明)且如圖，點為三角形內(nèi)部異于點的一點，證明：若，直接寫出的最小值16、如圖，

7、四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線上任意一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接、求證：當點在何處時，的值最小；當點在何處時，的值最小，并說明理由；當?shù)淖钚≈禐闀r，求正方形的邊長17、閱讀下列材料： 小華遇到這樣一個問題，如圖1, ABC中，ACB=30º，BC=6，AC=5，在ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值圖2圖3圖1 小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法

8、，發(fā)現(xiàn)通過旋轉可以解決這個問題他的做法是，如圖2，將APC繞點C順時針旋轉60º，得到EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為 ；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題： 如圖3，菱形ABCD中，ABC=60º，在菱形ABCD內(nèi)部有一點P，請在圖3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形ABCD的邊長為4，請直接寫出當PA+PB+PC值最小時PB的長七、最值問題18、已知：，以為一邊作正方形，使、兩點落在直線的兩側.如圖，當時，求及的長；當變化，且其它條件不變時，求的最大值及相應的大小.19、如圖，已知是等腰直角三角形，=90°，點是的中點作正方形，使點、分別在和上，連接、試猜想線段和的數(shù)量關系，請直接寫出你得到的結論將正方形繞點逆時針方向旋轉一定角度后（旋轉角度大于，小于或等于360°），如圖，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由若，在的旋轉過程中，當為最大值時，求的值八、綜合應用20、已知：在中，在中，連結，取的中點，連結和 若點在邊上，點在邊上且與點不重合，如圖，探索、的關系并給予證明； 如果將圖中的繞點逆時針旋轉小于的角，如圖，那么中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反