2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學文

1、2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學文一.選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分1.若集合P=x|2x4，Q=x|x3，則PQ等于()A.x|3x4B.x|3x4C.x|2x3D.x|2x3解析：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4.答案：A.2.復數(shù)(3+2i)i等于()A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i解析：(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.答案：B.3.以邊長為1的正方形的一邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A.2B.C.2D.1解析：邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱

2、，則所得幾何體的側(cè)面積為：1×2×1=2，答案：A.4.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的n的值為()A.1B.2C.3D.4解析：由程序框圖知：第一次循環(huán)n=1，211；第二次循環(huán)n=2，22=4.不滿足條件2nn2，跳出循環(huán)，輸出n=2.答案：B.5.命題“x0，+)，x3+x0”的否定是()A.x(-，0)，x3+x0B.x(-，0)，x3+x0C.x00，+)，x03+x00D.x00，+)，x03+x00解析：命題“x0，+)，x3+x0”是一個全稱命題.其否定命題為：x00，+)，x03+x00答案：C.6.已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心

3、，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析：由題意可得所求直線l經(jīng)過點(0，3)，斜率為1，故l的方程是 y-3=x-0，即x-y+3=0，答案：D.7.將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y=f(x)的函數(shù)圖象，則下列說法正確的是()A.y=f(x)是奇函數(shù)B.y=f(x)的周期為C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(-，0)對稱解析：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，得y=sin(x+)=cosx.即f(x)=cosx.f(x)是周期為2的偶函數(shù)，選項A，B錯誤；

4、cos=cos(-)=0，y=f(x)的圖象關(guān)于點(-，0)、(，0)成中心對稱.答案：D.8.若函數(shù)y=logax(a0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)正確的是()A.B.C.D.解析：由對數(shù)函數(shù)的圖象知，此函數(shù)圖象過點(3，1)，故有y=loga3=1，解得a=3，對于A，由于y=a-x是一個減函數(shù)故圖象與函數(shù)不對應，A錯；對于B，由于冪函數(shù)y=xa是一個增函數(shù)，且是一個奇函數(shù)，圖象過原點，且關(guān)于原點對稱，圖象與函數(shù)的性質(zhì)對應，故B正確；對于C，由于a=3，所以y=(-x)a是一個減函數(shù)，圖象與函數(shù)的性質(zhì)不對應，C錯；對于D，由于y=loga(-x)與y=logax的圖象關(guān)于y軸對稱，

5、所給的圖象不滿足這一特征，故D錯.答案：B.9.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該溶器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A.80元B.120元C.160元D.240元解析：設池底長和寬分別為a，b，成本為y，則長方形容器的容器為4m3，高為1m，底面面積S=ab=4，y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80，a+b2=4，當a=b=2時，y取最小值160，即該容器的最低總造價是160元，答案：C.10.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于()A.B.2C.3D.4解析

6、：O為任意一點，不妨把A點看成O點，則=，M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，=2=4答案：D.11.已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=1，設平面區(qū)域=，若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2+b2的最大值為()A.5B.29C.37D.49解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：圓心為(a，b)，半徑為1圓心C，且圓C與x軸相切，b=1，則a2+b2=a2+1，要使a2+b2的取得最大值，則只需a最大即可，由圖象可知當圓心C位于B點時，a取值最大，由，解得，即B(6，1)，當a=6，b=1時，a2+b2=36+1=37，即最大值為37，答案：C12.在平面直角坐標系中，兩點P1(x1，y1)

7、，P2(x2，y2)間的“L-距離”定義為|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點的軌跡可以是()A.B.C.D.解析：設F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，再設動點M(x，y)，動點到定點F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于m(m2c0)，由題意可得：|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m，即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.當x-c，y0時，方程化為2x-2y+m=0；當x-c，y0時，方程化為2x+2y+m=0；當-cxc，y0時，方程化為y=；當-cxc，y0時，方程化為y=c-；當xc，

8、y0時，方程化為2x+2y-m=0；當xc，y0時，方程化為2x-2y-m=0.結(jié)合題目中給出的四個選項可知，選項A中的圖象符合要求.答案：A.二、填空題:本大題共4小題，每小題4分，共16分13.(4分)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為 .解析：正方形的面積S=1，設陰影部分的面積為S，隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，幾何槪型的概率公式進行估計得，即S=0.18，答案：0.1814.(4分)在ABC中，A=60°，AC=2，BC=，則AB等于 .解析：在ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=

9、a=，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=4+c2-2c，解得：c=1，則AB=c=1，答案：115.(4分)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)是 .解析：當x0時，由f(x)=0得x2-2=0，解得x=或x=(舍去)，當x0時，由f(x)=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，作出函數(shù)y=lnx和y=6-2x在同一坐標系圖象，由圖象可知此時兩個函數(shù)只有1個零點，故函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2，答案：216.(4分)已知集合a，b，c=0，1，2，且下列三個關(guān)系：a2；b=2；c0有且只有一個正確，則100a+10b+c等于 .解析：由a，b，c=0，1，2得，a、b、c的取值有

10、以下情況：當a=0時，b=1、c=2或b=2、c=1，此時不滿足條件；當a=1時，b=0、c=2或b=2、c=0，此時不滿足條件；當a=2時，b=1、c=0，此時不滿足條件；當a=2時，b=0、c=1，此時滿足條件；綜上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，答案：201.三.解答題：本大題共6小題，共74分.17.(12分)在等比數(shù)列an中，a2=3，a5=81.()求an；()設bn=log3an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解析：()設出等比數(shù)列的首項和公比，由已知列式求解首項和公比，則其通項公式可求；()把()中求得的an代入bn=log3an，得到數(shù)列bn的通項公

11、式，由此得到數(shù)列bn是以0為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項和公式得答案.答案：()設等比數(shù)列an的公比為q，由a2=3，a5=81，得，解得.；()，bn=log3an，.則數(shù)列bn的首項為b1=0，由bn-bn-1=n-(n-1)=1，可知數(shù)列bn是以1為公差的等差數(shù)列.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx).()求f()的值；()求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.解析：()利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f(x)=sin(2x+)+1，從而求得f()的值.()根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(2x+)+1，求得它的最小正周期.令2k-2x+2k

12、+，kZ，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案：()函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1，f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.()函數(shù)f(x)=sin(2x+)+1，故它的最小正周期為=.令2k-2x+2k+，kZ，求得k-xk+，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-，k+，kZ.19.(12分)如圖，三棱錐A-BCD中，AB平面BCD，CDBD.()求證：CD平面ABD；()若AB=BD=CD=1，M為AD中點，求三棱錐A-MBC的體積.解析：()證明CD平面ABD，只需證明ABCD；()利用轉(zhuǎn)換底面，VA-MBC=VC-A

13、BM=SABMCD，即可求出三棱錐A-MBC的體積.答案：()AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面ABD；()AB平面BCD，BD平面BCD，ABBD.AB=BD=1，SABD=，M為AD中點，SABM=SABD=，CD平面ABD，VA-MBC=VC-ABM=SABMCD=.20.(12分)根據(jù)世行2013年新標準，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035-4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085-12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均

14、GDP如下表：()判斷該城市人均GDP是否達到中等偏上收入國家標準；()現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準的概率.解析：()利用所給數(shù)據(jù)，計算該城市人均GDP，即可得出結(jié)論；()利用古典概型概率公式，即可得出結(jié)論.答案：()設該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為=6400該城市人均GDP達到中等偏上收入國家標準；()從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個，共有=10種情況，抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準，共有=3種情況，抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達到中等偏上收入國家標準的概率.21.(12分)已知曲線上的點到點F(0

15、，1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.()求曲線的方程；()曲線在點P處的切線l與x軸交于點A.直線y=3分別與直線l及y軸交于點M，N，以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B，試探究：當點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.解析：()設S(x，y)曲線上的任意一點，利用拋物線的定義，判斷S滿足配額我想的定義，即可求曲線的方程；()通過拋物線方程利用函數(shù)的導數(shù)求出切線方程，求出A、M的坐標，N的坐標，以MN為直徑作圓C，求出圓心坐標，半徑是常數(shù)，即可證明當點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度不變.答案：()設S(x，y

16、)曲線上的任意一點，由題意可得：點S到F(0，1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，曲線是以F為焦點直線y=-1為準線的拋物線，曲線的方程為：x2=4y.()當點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度不變，證明如下：由()可知拋物線的方程為y=，設P(x0，y0)(x00)則y0=，由y得切線l的斜率k=切線l的方程為：，即.由得，由得，又N(0，3)，所以圓心C()，半徑r=點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度不變.22.(14分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A，曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當x0時，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x(x0，+)時，恒有x2cex.解析：(1)利用導數(shù)的幾何意義求得a，再利用導數(shù)法求得函數(shù)的極值；(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x2，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論；(3)利用(2)的結(jié)論，令x0=，則exx2x，即x2cex.即得結(jié)論成立.答案：(1)由f(x)=ex-ax得f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1，a=2，f(x)=ex-2x，f(x)=ex-2.由f(x)=0得x=ln2，當xln2時