2018年高考數學專題08數列及其應用教學案文

1、專題08數列及其應用【2018 年咼考考綱解讀】 高考對本內容的考查主要有:(1) 數列的概念是 A 級要求，了解數列、數列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查；(2) 等差數列、等比數列是兩種重要且特殊的數列，要求都是C 級，熟練掌握等差數列、等比數列的概念、通項公式、前n項求和公式、性質等知識，理解其推導過程，并且能夠靈活應用.通過適當的代數變形后，轉化為等差數列或等比數列的問題.(5)求數列的通項公式及其前n項和的基本的幾種方法.數列與函數、不等式的綜合問題 .試題類型可能是填空題，以考查單一性知識為主，同時在解答題中經常與不等式綜合考查，構成壓軸題.【重點、難點剖析】1 等

2、差、等比數列的通項公式等差數列an的通項公式為an=ai+ (n 1)d=am+ (nn)d;等比數列&的通項公式為an=aiqn_1=anqn-m2 .等差、等比數列的前n項和(1)等差數列的前n項和為特別地，當d0時，S是關于n的二次函數，且常數項為0,即可設S= an2+bn(a, b為常數).等比數列的前 n 項和na1,q= 1,特別地，若qz1,設a=,1q則Si=aaq.3 等差數列、等比數列常用性質(1)若序號 討n=p+q,在等差數列中，則有am+an=ap+aq；特別的，若序號 討n=2p,則am+an= 2ap； 在等比數列中，則有am-an=apaq；特別的，若序號m+

3、 n=2p,則am-an=a；在等差數列an中，S,Sk S,Sk &,成等差數列，其公差為 kd；其中 S 為前 n 項的和，且 Sz 0( nN*)； 在等比數列an中，當qz1 或k不為偶數時$, S2kSk,也也，成等比數列，其中S為前n項的和a1+a2n=n a1+ -n12d.a1anq1q1,(nN).4 .數列求和的方法歸納(1)轉化法：將數列的項進行分組重組，使之轉化為n個等差數列或等比數列，然后應用公式求和；錯位相減法：適用于anbn的前n項和，其中an是等差數列，bn是等比數列；裂項法：求an的前n項和時，若能將an拆分為an=bnbn+1,貝Ua+比+an=blbn+1

4、；倒序相加法：一個數列倒過來與原數列相加時，若有公因式可提，并且剩余的項的和容易求出，那么這樣的數列求和可采用此法其主要用于求組合數列的和這里易忽視因式為零的情況；(5)試值猜想法：通過對Si,S2,S3,的計算進行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出S,然后用數學歸納法給 出證明.易錯點：對于Sn不加證明；并項求和法：先將某些項放在一起先求和，然后再求Sn.例如對于數列an:ai= 1,a2= 3,a3= 2,an+2=an+1an,可證其滿足an+6=an,在求和時，依次 6 項求和，再求 S.5數列的應用題(1)應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當

5、提高 閱讀理解能力，將普通語言轉化為數學語言或數學符號，實際問題轉化為數學問題，然后再用數學運算、 數學推理予以解決.數列應用題一般是等比、等差數列問題，其中，等比數列涉及的范圍比較廣，如經濟上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關鍵是建立一個數列模型an，利用該數列的通項公式、遞推公式或前n項和公式.【題型示例】 題型 1、等差、等比數列中基本量的計算【例 11(2017 高考全國卷I)記S為等差數列an的前n項和.若a4+a5= 24,SB= 48,則an的公差為()A. 1C. 4解析：通解：選C設盤的公差為乳則解得Q4.故選C.優(yōu)解：由&二48得如+他二B. 2D. 83【2017

6、 江蘇，9】等比數列a.的各項均為實數，其前n項的和為Sn，已知S3耳,則a8=丄【答案】32【解析】當 q =1 時，顯然不符合題意;印(1 -q3) _71二4，解得a1印(1 _q6)63- =14，則q =2a a2 二 32 .4【變式探究】【2016 年高考北京文數】已知an為等差數列，Sn為其前n項和，若ai 6，a3a5 =0，貝y S6=_【答案】6【解析】an是等差數列，a3a2a0,= 0,=3d - -6,d d - -2,-S 6a1156 6 15 (-2)=6，故填：6.【舉一反三】(2015 江蘇，11)設數列an滿足 a= 1,且an+1an=n+ 1(n N

7、),解析C1M + 1-dart+103 02=3，On On-1將以L上1個式子相加得勵6=2+3十+?i=心+丹)捲 即 血j 嚴,令 加故r Inzn?i + L故Eio=Ai+肪十十加o=*l專十號一扌十十令一召二咄11【變式探究】(1)(2014 全國大綱卷)等比數列an中，a4= 2,a5= 5,則數列l(wèi)gan的前 8 項和等于(A. 6 B . 5 C . 4 D . 3(2014 北京)若等差數列an滿足a7+as+a90,a?+ a*。，則當n=_ 時，an的前n項和最大.【命題意圖】(1)本題主要考查等比數列的性質、對數的運算.(a4+a5) (a4+a3)= 8, d=

8、4，故選 C.則數列10 項的和為前n項和最大.2 2 2 2【變式探究】設數列an是公差不為 0 的等差數列，$為其前n項的和，滿足：32+a3=a4+a5,7.【解析】(1)證明 由題意，得捷=2(n2),5(1)求數列an的通項公式及前n項的和設數列bn滿足bn= 2an,其前n項的和為Tn,當n為何值時，有Tn512.【解析】由仏是公差不為0的等差數列，血+ d d十di十加二么十3肝+7ai7ai + +由納解得”驚 c42,所以&=m十0： 1) 2n匚Sn=Sn=nfli H-斤-rf= n26n.6n.由得=2n-7=2n-7f f所l?Jyb bn n=2a.=2-=2a.=

9、2-h h2汨？i又&二二莎二唄淪2】，力二2旳二厲*所以4是首項為証公比為4的等比數列，占1-4社1所以它的前/項和=歳代-小 于是由7；512,得4n3x4Ul,所以庭8時，有Q512.【規(guī)律方法】求等差、等比數列通項與前n項和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意對通項公式與前n項和公式的選擇.【變式探究】 已知數列an的前n項和為S, ai= 3,1 +S是公比為 2 的等比數列.證明：an是等比數列，并求其通項；設數列bn滿足bn= log3an,其前n項和為Tn,當n為何值時，有TnW2 012?可設田二口1+(?：1么則由*&+田=広+曲,3=7,即 1+ S= 4(1 +S

10、 i)，同理，得 1+S+S+1= 4(1 + S).兩式相減，得 S1+1Sn= 4(S S1-1),又a1= 3,所以an是首項為 3,公比為 4 的等比數列，所以an= 3 4n1= 3 22n2解 由(1)得an= 3 22n2,所以bn= log2(3 22n2)=log23+ 2(n 1)，所以bn是首項為 log23，公差為 2 的等差數列，前n項和為Tn=nlog23+n(n 1)，于是由n2vnIog23+n(n 1) 2 012，得nv2 012，又nN*，所以 1nw44,即卩n= 1,2,3，44 時,TnW2 012.【例 2【2016 高考新課標 1 卷】設等比數列

11、 匕穢滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則 a-an的最大值為【答案】64 - 2j I印+a3=10口laM1+q )=102).題型 2、與等差、等比數列有關的最值問題8，解得1.所以【解析】 設等比數列【解析】(1)證明 由題意，得捷=2(n2),7解(1)由已知=也一辺，有血=一$“=2一2淪2),即血二勿n_K虺2),從而02 =加1，03 =加3=仙，又因為 6，o?+ L 03成等差數列，即創(chuàng)+也=2血+1),所以辺十如1=2(加1+1),解得aa22所兒 數列伽是首項為厶公比為2的等比數列，故弘=21 1由(i)得an=尹1 1 1n由|Tn-11V麗，得1-廠1V麗，即2

12、21 000,910因為 2 = 512V1 000V1 024 = 2 ,所以n10,1于是，使|Tn 1|V1000 成立的n的最小值為 10.【規(guī)律方法】上述兩種求 A 最值的方法都是運用函數思想法一是直接研究子數列32n .(19n+ 2 2n+1)的單調性求其最值.【變式探究】 已知等差數列an的首項310,公差 0,由an的部分項組成的數列 為等比數列，其中b1= 1,b2= 2,b3= 6.(1)求數列5的通項公式bn；若數列 bn的前 n 項和為 S，求 S 的值；亠2 012 n“ 卄，+法二是研究A=,ab2,，abn,i i所以Tn= 2+ 228題型三、數列求和問題【例

13、 3】【2017 山東，文 19】(本小題滿分 12 分)已知an是各項均為正數的等比數列，且a1-【解析】(1)由(A=aia(A=aiaf f得(di+ Q二6i +d2 -3aid0.又毋 6 所以3叫 所以g=4,所以，他盤=創(chuàng)屮】.又0=如+-1疋=盤1+伽一1)3創(chuàng)，所以 G 護一1=0 +入一1)加1.4_i2 2因為“i(2)5k二加 + 加十叢 + .- +At電+護(知訴+(竽+D=jcL+4+.+4B_1)+yJ二逮3 1-43+ 2n(3)由 S= 34-13-+2n，得A= S2-092= 9(4n- 2 006n-1)，若存在nN ,使得AwA+1,且An0,解得：

14、殆=2,q=2=2,q=2, ,所臥代=2：（II）由題意知：S S 如=卩旳十1丿號+俎敘= =（2 2 卄嘰、an2n 12n因此匸13572n -1 2n 1又_ T =n 234nn 12 2 2 2 2 22n 12* 1【舉一反三】【2017 山東，文 19】（本小題滿分 12 分）已知an是各項均為正數的等比數列Tn=C1 CH Cn3弟m第劣,兩式相減得所以Tn-52n 511(I) 求數列an通項公式；b (II) bn為各項非零的等差數列，其前n項和S,已知S2n.1= bnbn 1,求數列 的前n項和Tn.lanj【答案】(I) an=2n.(n) Tn二-2.【解祈】(

15、I 設qj的公比為由題意知：嗎(1+址)二6七冷=珂.又代0J解得：=2S = 2y所 gFE 由題意知：也2+1號+Sg+%,買S亦1 =硝廿1 f+1 H 0所以乞=2科+1令Cn=bnan2n 12n，因此Tn=q C2川Cn=2III嚴2n -1 2n 12n又手FF川亍2n -12n 12n113(1(111兩式相減得_Tn=_.1 -T 1 22 12 222n 12n所以Tn-52n 52n【變式探究】【2017 北京，文 15】已知等差數列an和等比數列 bn滿足a1=bi=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(I)求的通項公式;13【解析】【解析】所我射砂1滬國一記U一1,

16、2,00?.對數列:ajnN*和U的子集 T,若T-一，定義ST=0 ;若丁/,，t,定義ST二at1a+atk.例如：T=由已知得的=嗎-3二応1于是當r = 2.4時，=勺+角=珂+27 = 3%.又=30.故30=30,即=L所以數列何的通項公式為牛=3巴處【因為Tu(i2少打%=dk所以蘭硯+丐+礙=1 + 3+于，二1(31-1)32因此,S Sr ra0.i+-6fi+50.令摳） =2（力!一1+用一6/r+h由已知得亠用）弐對于人（M恒成立,卩0少.3U 1汝.化間島解得，nwi或n5.滿足條件的k存在，k的最小值為 5.【規(guī)律方法】數列通項公式的還原方法比較多樣，可以構造特殊數列，也可以立足于運算、歸納，最后補 充證明.2S122*【變式探究】設數列an的前n項和為 S,已知ai= 1, =an+i nn- ,nN.（1）求a2的值；求數列an的通項公式；OnOnOn-1_打1 /i2丹一I護一務i+5少永一 2 2 譏砂當且僅當y當血時,1 11 7證明：對一切正整數n,有一+ + +；.a1a2an41 2【解析】2Si=a2