2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理(北京卷,含解析)

1、2018 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題理（北京卷）本試卷共 5 頁(yè)，150 分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng) 120 分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共 40 分）、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合 A=x|x|5 - Ml h、. h ! -.1,因?yàn)閍,b均為單位向量，所以/ . I-.、 -.I-.- -a丄b,即“ |：?一：訓(xùn)-：三十”是“a丄b”的充分必要條件.選 C.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法.1.定義法：直接判斷“若.則”、“若

2、.則.”的真假.并注意和圖示相結(jié)合，例如“ ？ 為真，則 是的充分條件.2 .等價(jià)法：利用？.與非. ?非，? .與非?非.，?與非？非 的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定 式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.63 .集合法：若？，則是的充分條件或 是的必要條件；若 =，則是的充要條件.7.在平面直角坐標(biāo)系中，記d 為點(diǎn) P (cos 0 , sin B)到直線-的距離，當(dāng) 0 , m 變化時(shí)，d 的最大值為A. 1 B. 2C. 3 D.4【答案】C【解析】分析：P 為單位圓上一點(diǎn)，而直線:過(guò)點(diǎn) A(2,0)，則根據(jù)幾何意義得 d 的最大值為 OA+1.詳解：uo/o 十ELJ日=1*上 P 為單位圓上

3、一點(diǎn)，而直線 x-my-2 = 0 過(guò)點(diǎn) A(2， 0)，所以 d 的最大值為 OA+1=2+1=3，選 C.點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相 關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化.8.設(shè)集合4. :- .則A.對(duì)任意實(shí)數(shù) a，二“ B.對(duì)任意實(shí)數(shù) a, (2, 1)-C.當(dāng)且僅當(dāng) a0 時(shí)，(2, 1) D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(2, 1)-2【答案】D【解析】分析：求出二 1:及 ：所對(duì)應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解詳解：若，貝 U且 ，即若 ，貝 U ,zz此命題的逆否命題為：若，則有 -；.：

4、,故選 D.2點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù) I1 成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷設(shè)；xr-?，：；.!：:A；.：Ai ,若L1則 I:1；若&-三，則 I .1 ,當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式第二部分(非選擇題共 110 分)二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分。9.設(shè) R是等差數(shù)列，且 a1=3, a2+a5=36，則何的通項(xiàng)公式為 _ 【答案】7【解析】分析：先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可詳解：1 I : J :- ”工 匸:

5、 0)與圓 p =相切，貝 a=_【答案】【解析】分析：根據(jù) rL-二卅1將直線與圓極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)圓心到8直線距離等于半徑解出a.詳解：因?yàn)?I：: - - - .3.；. .-：-V1由-!： .）, 得匕十.、 Ji：| I由 -,得、：/.；,即：，.；=.-.,即；* .,、卩創(chuàng)r廠因?yàn)橹本€與圓相切，所以.,寸 2點(diǎn)睛：（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式m代及：i“ii：直接代入并化簡(jiǎn)即可；（2）極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過(guò)變形，構(gòu)造形如.的形式，進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程兩邊平方是常用的變形方法但對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必

6、須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過(guò)程的檢驗(yàn)717Cf）對(duì)任意的實(shí)數(shù) X 都成立，貝 U 3 的最小值為_.【答案】37E【解析】分析：根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得3,進(jìn)而確定其最小值斗,7E兀兀 JL詳解：因?yàn)?Z： :對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 都成立，所以*：取最大值，所以-：!:/ I. - Ki ?：.-因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)，3 取最小值為3點(diǎn)睛：函數(shù)_：MW.；的性質(zhì)U =兀十 2kTE（lc E Z）,7C7C3?T由， 求增區(qū)間；由 求減區(qū)間.12.若 x, y 滿足 x+1w yf(0)對(duì)任意的x( 0, 2都成立，則f(x)在0, 2上是增函數(shù)”為假命題 的一個(gè)函數(shù)是_ 【答案

7、】y=sinx(答案不唯一)【解析】分析：舉的反例要否定增函數(shù)，可以取一個(gè)分段函數(shù)，使得f(x) f(0)且(0, 2 上是減函數(shù).詳解：令：，貝 Uf(x) f(0)對(duì)任意的x( 0, 2都成立，但f(x)在0, 2上不是增函數(shù)又如，令f(x) =sinx，則f(0) =0,f(x) f( 0)對(duì)任意的x( 0, 2都成立，但f(x)在0, 2 上不是增函數(shù).點(diǎn)睛：要判定一個(gè)全稱命題是假命題，只要舉出集合中的一個(gè)特殊值，使不成立即可通常舉分段函數(shù)2 2 2 2(14)已知橢圓 M芻 篤=1(a b 0)，雙曲線 N.二_y=1 .若雙曲線 N 的兩條漸近線與橢圓 M 的四a bm n個(gè)交點(diǎn)及

8、橢圓 M 的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓 M 的離心率為 _ ;雙曲線 N 的離心率為_ .【答案】 (1).(2). 2【解析】分析：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線N的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得； ： 口 = ，解得橢圓M的離心率詳解：由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為. ,再根據(jù)橢圓定義得忑，所以橢圓10c2j-M的離心率為 - -J：.:a 1 I2雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為.m3 -m3點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方

9、程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉 得到 的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.三、解答題共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15.在厶ABC中,a=7,b=8, cosB=-(I) 求/A;(n)求AC邊上的高.【答案】/A=3(2)AC邊上的高為【解析】分析：(1)先根據(jù)平方關(guān)系求 sinB,再根據(jù)正弦定理求 sinA，即得/ A; ( 2)根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程十:,再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得AC邊上的高.2 IJE詳解：解：(I)在厶ABC中， cosB=-”，B(3，n ), /

10、sina b7-由正弦定理得 B (亍,n ) , A(0, ) ,A=.在厶ABC中，sinC=sin(A+B) =sinAcosB+sin氏。如=h如圖所示，在ABC中，TsinC=T-，BC-AC邊上的高為.=4. Ae = 2.sinA sinB sinA -11 8點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的16.如圖，在三棱柱ABCEIC中，Cq丄平面ABCD, E, F, G分別為豈為，AC屯心的中點(diǎn)，AB=B = I 新新】分析：先抿攝頻數(shù)計(jì)算是第四類電影的頻率再來(lái)以笫四艾電影好評(píng)率得所求概率.(

11、2)恰育 I 部獲得好評(píng)為第四類電影獲得好評(píng)笫五類電影沒(méi)荻得好評(píng)和第四類電影沒(méi)獲得好評(píng)第五茨電影荻得好評(píng)這曲個(gè)互斥節(jié)件,先利用獨(dú)立卞件槻率乗法公式分別求開個(gè)互斥節(jié)件的槪率再相加得耐果&思從1 分布,因此。氐=Pd - Plh即得 D3% D$ D 質(zhì) D 屜詳解：解：(I)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200X 0.25=50 .50故所求概率為 =(n)設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，14事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”.故所求概率為P(I： -M1) =PGT) +P

12、()=P(A( 1-P(B) +( 1 -P(A)P(B).由題意知：P(A)估計(jì)為 0.25 ,P(B)估計(jì)為 0.2 .故所求概率估計(jì)為 0.25 X 0.8+0.75 X 0.2=0.35 .(川)=.點(diǎn)睛：互斥事件概率加法公式：若A,B 互斥，則 P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事件概率乘法公式：若 A,B 相互獨(dú)立，則 P(AB)=P(A)P(B).18.設(shè)函數(shù) L，=,.：?。?：.(I)若曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,)處的切線與 軸平行，求a；(n)若I”在x=2 處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】a 的值為 1I(2)a的取值范圍是(，+8)1【解析】分析：(1)先求

13、導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)：=：得a； (2)先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿a足在x=2 處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍.詳解：解：(I)因?yàn)?=：- I、：. “.,所以f(x) = 2ax-(4a+1)ex+ ax2-(4a+1)x+4a+3 ex(xR)2/、x=ax-(2a+1)x+2 e .f (1)=(1 -a)e .由題設(shè)知f (1)=0 ,艮卩(1 -a)e=0，解得a=1.此時(shí)f(1)=3e豐0.11若a，則當(dāng)x( , 2)時(shí)，f(x)0 .所以f(x)0 在x=2 處取得極小值.II若a，則當(dāng)x (0 , 2)時(shí)，x- 20,ax- 1x- 10 .所以 2

14、不是f(X)的極小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是(，+8).點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解19.已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)F( 1，2).過(guò)點(diǎn) Q(0，1)的直線I與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,且直線PA交y軸于M直線PB交y軸于N.(I)求直線I的斜率的取值范圍；(n)設(shè)o為原點(diǎn),.：J/；：，.J-. ,求證：為定值.【答案】取值范圍是(-, -3 )U( -3 , 0)U( 0, 1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】分析：(1)先

15、確定 p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA PB與 y 軸相交，舍去 k=3, (2)先設(shè)A(X1, yj ,B( X2,y2),與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋2k -41 亠 亠”達(dá)定理可得，屮：再由.，.得；、“：.，*利用直線PA PBkk1 1的方程分別得點(diǎn)M N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)-可得結(jié)論.此g詳解：解：(I)因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1, 2),所以 4=2p,解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x.由題意可知直線l的斜率存在且不為 0,設(shè)直線l的方程為y=kx+1 (k豐0).由:得/S-1.-4-. I 依題意：i廣.-解得 k

16、0 或 0k1 .又PA PB與 y 軸相交，故直線I不過(guò)點(diǎn)(1, -2).從而-3 .16所以直線l斜率的取值范圍是(-3-3 )U( -3 , 0 )U( 0, 1).(n)設(shè)A(X1, yj,B(X2,y2).2k-41由(I )知，直線PA的方程為y- 2=一-y - + 2- kx. + 1令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.呵-1X, - 1 + 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為XT- 1由匚玫=得，2 2k-4+-I |】|為-1 x, 1|2釦勺-爾+K】k2所以一十.A.g I -yM1 -yN(k- )Xj (k- l)x2k- Ik -11所以二-二為定值.扎p點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)

17、設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).20.設(shè)n為正整數(shù)，集合A=nA-二 J；.；：.對(duì)于集合A中的任意元素，廠 1 叫.-/.；：和1M ()- -：, ：|(I)當(dāng)n=3 時(shí)，若:.；：I丨，|:f ,求 M()和M(訂)的值；(H)當(dāng)n=4 時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素 7，當(dāng) 相同時(shí)，M( )是奇數(shù)；當(dāng)7 不同時(shí)，M(.)是偶數(shù)求集合 B 中元素個(gè)數(shù)的最大值；

18、(川)給定不小于 2 的n,設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M() =0.寫出一個(gè)集合 B,使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由.17【答案】M( a , 3 ) =1最大值為 4(3)答案見(jiàn)解析【解析】分析：(1 )根據(jù)定義對(duì)應(yīng)代入可得 (口口)和(認(rèn) P)的值；(2)先根據(jù)定義得Ma , a ) =X1+X2+X3+X4.再根據(jù)Xi,X2,X3,X40 , 1，且X1+X2+X3+X4為奇數(shù)，確定Xi,X2,X3,X4中 1 的個(gè)數(shù)為 1 或 3 .可得 B 元素最多為 8 個(gè)，再根據(jù)當(dāng)不同時(shí)，M()是偶數(shù)代入驗(yàn)證，這8 個(gè)不能同時(shí)取得，最多四個(gè)，最后取一個(gè)四元集合滿足條件，即得B 中元素個(gè)數(shù)的最大值；(3)因?yàn)?M() =0，所以不能同時(shí)取 1,所以取：.：/：| |. . ；：J.L - !： 1.所以 S (k=1 , 2 ,n- 1)中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素.所以B中元素