系綜理論的討論及運(yùn)用

1、 課程設(shè)計(jì) 題目：系綜理論的討論及運(yùn)用 學(xué) 院：電子與信息工程學(xué)院 專 業(yè)：物理學(xué)師范 姓 名： 學(xué) 號： 指導(dǎo)老師： 時 間： 系綜理論的討論及運(yùn)用 姓名：摘要 系綜是處在相同的給定宏觀條件下的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合。它是統(tǒng)計(jì)物理的一個想象中的工具，而不是實(shí)際客體。本文從概念開始討論系綜理論內(nèi)容和運(yùn)用。關(guān)鍵詞 概念；系綜理論；正則分布；關(guān)系；運(yùn)用系綜理論的基本觀點(diǎn)是，宏觀量是相應(yīng)微觀量的時間平均，而時間平均等價于系綜平均。系綜的一個基本假設(shè)是 各態(tài)歷經(jīng)假說：只要等待足夠長的時間，宏觀系統(tǒng)必將經(jīng)歷和宏觀約束相應(yīng)的所有可達(dá)微觀態(tài)。1 概念 系統(tǒng)的一種可能的運(yùn)動狀態(tài)，可用相與中的一個相點(diǎn)表示

2、， 隨著時間的推移，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)改變了，相應(yīng)的相點(diǎn)在相宇中運(yùn)動，描繪出一條軌跡，由大量系統(tǒng)構(gòu)成的系綜則可表為相宇中大量相點(diǎn)的集合，隨著時間的推移，各個相點(diǎn)分別沿各自的軌跡運(yùn)動，類似于流體的流動。若系統(tǒng)具有s個自由度，則相宇是以s個廣義坐標(biāo)p（詳寫為p、p2ps）和s個廣義動量q(詳寫為q1、q2qs)為直角坐標(biāo)構(gòu)成的2s維空間。在相宇內(nèi)任一點(diǎn)（p，q）附近單位相體積元內(nèi)的相點(diǎn)數(shù)目D（p，q，t）稱為密度函數(shù)。D(p,q,t)在整個相宇的積分等于全部相點(diǎn) 數(shù)，即等于系綜所包含的全部系統(tǒng)數(shù)N，與時間t無關(guān)。定義 (p,q,t)=D(p,q,t)/N，稱為系綜的概率密度函數(shù)。（p，q，t）dpdq

3、表示在t時刻出現(xiàn)在（p，q）點(diǎn)附 近相體積元dpdq內(nèi)的相點(diǎn)數(shù)在全部相點(diǎn)數(shù)中所占的比值，即表示任一系統(tǒng)在t時刻其運(yùn)動狀態(tài)處于（p，q）附近的相體積元dpdq內(nèi)的概率。顯然，概率密度函數(shù)（p，q，t）滿足歸一化條件（p,q,t）dpdq=1。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的認(rèn)為系統(tǒng)的任意宏觀量I（t）是相應(yīng)微觀量L（p，q）在一定宏觀條件下對系統(tǒng)一切可能的微觀運(yùn)動狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值，即I（t）L（p，q）（p，q，t）dpdq。由此可見，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理的基本課題是確定各種條件下系綜 的概率密度函數(shù)（p，q，t）確定后，即可對相應(yīng)的熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)，作出統(tǒng)計(jì)描述。這就是統(tǒng)計(jì)系綜的方法。（p，q，t）的具體形式與系統(tǒng)所

4、處的宏觀狀態(tài)有關(guān)。如果系統(tǒng)處于平衡態(tài)，則（p，q）不顯含時間t，在平衡態(tài)的系綜理論中，由能量、體積和粒子數(shù)都固定的系統(tǒng)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)系綜稱為微正則系綜；由與溫度恒定的大熱源接觸，具有確定粒子數(shù)和體積的系統(tǒng)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)系綜稱為正則系綜；由與溫度恒定的大熱源和化學(xué)勢恒定的大粒子源接觸，具有確定體積的系統(tǒng)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)系綜稱為巨正則系綜； 由與溫度恒定的大熱源接觸并通 過無摩擦的活塞與恒壓強(qiáng)源接觸， 具有確定粒子數(shù)的系統(tǒng)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)系綜稱為等 溫等壓系綜。上述各種統(tǒng)計(jì)系綜都有各自的概率密度函數(shù)。在微正則系綜中，系 統(tǒng)處于所有可能的微觀狀態(tài)上的概率都相等，即概率密度是不隨時間改變的常數(shù)，這就是等概率原理。2 系綜

5、理論 系綜理論主要是研究處于三種不同宏觀條件下的平衡系統(tǒng)組成的三種穩(wěn)定系綜：即由能量E，粒子數(shù)N，體積V一定的孤立系統(tǒng)組成的微正則系綜，由溫度T，粒子數(shù)N，體積V一定的恒溫封閉系統(tǒng)組成的正則系綜和由溫度T，化學(xué)勢一定的開放系統(tǒng)組成的巨正則系綜。3 微正則系綜 微正則系綜是由大量處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)組成的系綜。微正則系綜有兩種假設(shè)：一是各態(tài)歷經(jīng)假說，另一個是等概率原理，即微正則分布。微正則分布的量子表達(dá)式為=nn= （E，N，V）是孤立系統(tǒng)處于宏觀態(tài)（N，E，V）對應(yīng)的可達(dá)微觀態(tài)數(shù)。在量子統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典極限下,對于由個全同非定域粒子組成的系統(tǒng),在空間的能量殼層中的微觀態(tài)數(shù)為= .確定系綜的概率是系綜

6、理論的關(guān)鍵，微正則系綜的概率P=1/（E，N，V），求得（E，N，V）后，利用A觀=PA可以計(jì)算出有對應(yīng)微觀量的宏觀量，并且利用微正則系綜的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式 由以上公式就可以求得理想氣體及理想自旋系統(tǒng)的熱力學(xué)量。微正則分布是一個基本假設(shè)，它是整個統(tǒng)計(jì)物理理論的基礎(chǔ)。由于直接應(yīng)用微正則分布往往比較困難,故可以由微正則分布推得方便運(yùn)算的其他分布，如正則分布和巨正則分布。用正則分布和巨正則分布研究具體系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)要方便得多。4 正則系綜 正則系綜是大量相同的恒溫系統(tǒng)的集合，恒溫系統(tǒng)可以交換能量。正則系綜的配分函數(shù)為Z=表示能量為的微觀態(tài)數(shù)(即的簡并度).正則分布為 或 .表示恒溫系統(tǒng)處于能量為的某一

7、微觀態(tài)的概率，而表示恒溫系統(tǒng)能量為El的任一微觀態(tài)的概率,或具有能量的概率.正則分布適用于滿足（T，N，V）一定的任何系統(tǒng)，不論系統(tǒng)中粒子之間的相互作用能否忽略，正則系綜都適用，因而系綜理論是一個普遍的統(tǒng)計(jì)理論。對于正則系綜知道了其配分函數(shù)Z（T，N，V），就可以求得以（T，N，V）為獨(dú)立變量的特性函數(shù)自由能F（T，N，V），利用dF= -SdT+Ydx +µdN 進(jìn)而可以求得全部熱力學(xué)量。如 由于 F = -KBTlnZ其他熱力學(xué)量可寫成F的偏倒數(shù)的形式，如 (2)(2)式和(2)式為正則系綜中的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式,選取正則系綜后,利用(2)式和(2)就可以計(jì)算該系統(tǒng)中的全部熱力學(xué)量.

8、5 巨正則系綜 巨正則系綜是由大量相同的開放系統(tǒng)的集合，處于平衡的開放系統(tǒng)的平衡態(tài)由（T，V）描述，開放系統(tǒng)即可以交換能量，也可以交換粒子數(shù)。巨正則系綜的巨配分函數(shù)為,巨正則分布為 ,表示溫度為T，化學(xué)勢為的開放系統(tǒng)處于粒子數(shù)為N，能量為的某一微觀態(tài) （N，）的概率，只要求得巨配分函數(shù)（T，V），就可以求得以（T，V）為獨(dú)立變量的特性函數(shù)巨熱力學(xué)勢巨（T，V）=-KTln（T，V），進(jìn)而用簡單的求偏倒數(shù)的方法計(jì)算出全部熱力學(xué)量。如 (3)巨正則分布適用于（T，V）一定的任何系統(tǒng)。用巨正則分布可以推導(dǎo)出理想氣體的費(fèi)米-狄拉克分布（F-D分布）和玻色-愛因斯坦分布（B-E分布）<nr>

9、代表理想氣體達(dá)到平衡態(tài)時,能量為的單粒子態(tài)上的平均粒子數(shù).當(dāng)nr1時，B-E分布和F-D分布趨于共同的極限麥克斯韋分布(M-B分布) ,三種分布的巨配分函數(shù)分別為6 關(guān)系 總結(jié)三種系綜:微正則系綜描述孤立系統(tǒng)的平衡性質(zhì)，正則系綜描述與大熱源平衡的恒溫系統(tǒng)的性質(zhì)；巨正則系綜描述與大熱源，大粒子源平衡的開放系統(tǒng)的性質(zhì)。而三種統(tǒng)計(jì)系綜的關(guān)系是：它們是等價的，但應(yīng)用的廣泛程度不同，方便應(yīng)用的條件不同。三種系綜等價的含義為：雖然組成三種系綜的系統(tǒng)所處的宏觀條件有原則上的區(qū)別，但在熱力學(xué)極限下用三種系綜計(jì)算同一個宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)量時，會得到相同的結(jié)果。也就是，我們可以不管系統(tǒng)所處的實(shí)際系統(tǒng)，按照方便，采用

10、任何一種系綜進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果都是相同的。 三種系綜是等價的是因?yàn)閷τ谖⒂^系統(tǒng)，能量的相對漲落是極小的，所以正則系綜和微正則系綜是等價的，用微正則分布和正則分布求得的熱力學(xué)量實(shí)際上相同。用這兩種分布求熱力學(xué)量實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于選取不同的特性函數(shù)，即分別選取自變量為（N，V，E）的內(nèi)能U和自變量為（N，V，T）的自由能F（N，V，T）為特性函數(shù)。對于微觀系統(tǒng)，由于粒子數(shù)的相對漲落是很小的，因而巨正則分布和巨正則分布等價，即使在粒子數(shù)相對漲落很大的情形，巨正則分布與正則分布仍將給出相同的熱力學(xué)信息。用巨正則分布與用正則分布求熱力學(xué)量相當(dāng)于選取不同的特性函數(shù)，即分別選取巨熱力學(xué)勢巨（T，V）和自由能F（N，V

11、，T）為特性函數(shù)。實(shí)際上，對粒子數(shù)相對漲落很大的情形，使用巨正則分布比較方便。直接應(yīng)用微正則系綜往往比較困難，由于計(jì)算（E，N，V）必須滿足能量守恒和粒子數(shù)守恒兩個約束條件，而計(jì)算Z（T，V，N）解除了對能量守恒的約束而變得比較容易。雖然理論上微正則分布與正則分布等價，但實(shí)際上正則分布比微正則分布應(yīng)用更廣泛，也方便得多。巨正則系綜的巨配分函數(shù)Z（T，V，）的計(jì)算因同時消除了能量守恒和粒子數(shù)守恒的約束而變得更容易?？傊瑥睦碚摻嵌瓤紤]，微正則系綜是系綜理論的基礎(chǔ)，正則分布和巨正則分布是由微正則分布導(dǎo)出的；在應(yīng)用上，三種系綜是等價的，實(shí)際上，巨正則系綜由于其巨配分函數(shù)計(jì)算最簡單而應(yīng)用最廣。7 應(yīng)用 對于任一熱力學(xué)問題，由于三種系綜是等價的，我們可以從解決問題的難易情況上選擇一種便于計(jì)算的系綜，然后求相應(yīng)的（巨）配分函數(shù)，再由前面相應(yīng)系綜的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式直接計(jì)算系統(tǒng)的全部熱力學(xué)量。并且,對于理想氣體及理想自旋系統(tǒng),由于計(jì)算微正則分布（E，N，V）比較簡單,故選取微正則系綜,并運(yùn)用微正則系綜的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式(1),可以計(jì)算出系統(tǒng)的全部熱力學(xué)量.對于固體的順磁性模型和固體比熱的愛因斯坦模型,運(yùn)用正則系綜計(jì)算比較方便,故通過求正則系綜的配分函數(shù)Z(T,