2017-2018學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3.3導數(shù)的實際應用教學案新人教B版選

1、333 導數(shù)的實際應用學習目標1.能利用導數(shù)解決實際問題 2 提高綜合運用導數(shù)知識解題的能力，培養(yǎng)化歸 與轉(zhuǎn)化的意識.戸預習導學 全挑戰(zhàn)自我點點落實_知識鏈接a+b,設兩正數(shù)之和為常數(shù)c,能否借助導數(shù)求兩數(shù)之積的最大值，并由此證明不等式一 2 廠ab(a,b0)?答：設一個正數(shù)為X,則另一個正數(shù)為cX,兩數(shù)之積為f(x) =x(cx) =cxX2(0 xab(a0,b0)，即 ab(a,b0)，當且僅當a=b時等號成立.預習導引1生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.2利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值.3.解決優(yōu)化冋題的基本思路是優(yōu)化問題1 優(yōu)化問

2、題的答案用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學建模過程戸課堂講義/里點難點，個個擊破_要點一用料最省問題例 1 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸 40 千米的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距 50 千米，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和 5a元，問供水站C建 在岸邊何處才能使水管費用最省?C X D若設這兩個正數(shù)分別為a,2解 如圖，由題意知，只有點C位于線段AD上某一適當位置時，才能使總費用最省，設點C距點D為x千米，則BC=dBD+cD=XV40，又設

3、總的水管費用為y元，依題意有yr-25ax=3a（50 x） + 5a x+ 40 （0 x50）.二y= 3a-22.Yyjx+ 40令y= 0,解得x= 30 或x= 30（舍去）.在（0,50） 上,y只有一個極值點，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)在x= 30 處取得最小值，此時AC=50 x= 20 （千米）.供水站建在A、D之間距甲廠 20 千米處，可使水管費用最省.規(guī)律方法用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，正確書寫函數(shù)表達式，準確求導，結(jié)合實際作答.跟蹤演練 1 一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為

4、每小時 10 海里時，燃料費是每小時 6 元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時 96 元，問輪船的速 度是多少時，航行 1 海里所需的費用總和最小？3解 設速度為每小時V海里的燃料費是每小時p元，那么由題設的比例關(guān)系得p=kV,其6中k為比例系數(shù)，它可以由v= 10,p= 6 求得，即k= 103= 0.006 ,于是有p= 0.006v3.又設當船的速度為每小時v海里時，行 1 海里所需的總費用為q元，那31么每小時所需的總費用是 0.006v3+ 96（元），而航行 1 海里所需時間為v小時，所以，航行 1海里的總費用為：13296q= (0.006v+ 96) = 0.006v+.vvq=

5、 0.012v,= (v3 8000),v v令q= 0,解得v= 20.v當v20 時，q 20 時，q 0, 當v= 20 時取得最小值，即速度為 20 海里/時時，航行 1 海里所需費 用總和最小.要點二面積、容積的最值問題例 2 如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為 18000cm2,四周空白的寬度為 10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為 5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小?3解 設廣告的高和寬分別為xcm,ycm,則每欄的高和寬分別為(x 20)cm,yz225cm,其中x20,y25

6、.y 25兩欄面積之和為 2（x 20） = 18000,廣告的面積S=xy=x瀉+ 25=込20j（川 Lxx 360000+25=x2（）2+25.令S0 得x140，令S0 得 20 x0);固定部分為a元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域;(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 解(1)依題意汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為y=aS+bv2S=sa+vv電由題意s、a、b、v均為正數(shù).由y=s bv= 0 得v=，；匕但v (0 ,c.由V=VnRfh,得h=則S(R)=2nRnV=2+2n氏=罟+ 2n氏，令S(R)

7、=-2VR2-v，全程運輸成本為J?卜 4nR= 0,解得而h=所求函數(shù)為bv，定義域(0 ,c度為 5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最小?51若，c,則當v=a時，全程運輸成本y最小;2若 ，bc，則v (0 ,c,此時y 0,即y在(0 ,c上為減函數(shù).所以當v=c時，y最小.綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當,bc時，行駛速度V=C.規(guī)律方法正確理解題意，建立數(shù)學模型，利用導數(shù)求解是解題的主要思路另外需注意：1合理選擇變量，正確給出函數(shù)關(guān)系式.2與實際問題相聯(lián)系.3必要時注意分類討論思想的應用.跟蹤演練 3 已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C

8、= 100+ 4q,價格p與產(chǎn)量q1的函數(shù)關(guān)系式為p= 25 q.求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？f 1 12解收入R= qp=q25 = 25q,利潤L= RC= 25q gq? (100 + 4q)12=gq2+ 21q 100(0q200)1L，= &q+ 211令L= 0,即4q+ 21 = 0,求得唯一的極值點q= 84.所以產(chǎn)量為 84 時，利潤L最大.軍當堂檢測/當堂訓練.體驗成功_1.煉油廠某分廠將原油精煉為汽油， 需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時，原油溫度(單13 2位：C)為f(x) = -xx+ 8(0 0).8得x=加V.則x= 萌V是函數(shù)在(0 ,+)上的一

9、個極值點，且是S的最小值點.3.在邊長為 60cm 的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它沿虛線折起， 做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少?3232V(x) = 60 x qx令 V(x) = 60 x- qx= 0,解得x= 0 (不合題意，舍去)或x= 40,因為x (0,40)時V(x)0,V(x)是增函數(shù),x (40,60)時 V(x)0,V(x)是減函數(shù).所以x= 40 時V(x)取極大值，也是最大值，并求得V(40) = 16000.即當?shù)酌孢呴L為 40cm 時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3.4統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中

10、每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y= 琵亦x3和+ 8(0 xw120) 已知甲、乙兩地相距100千米，當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？100解 當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為x133 c 1001280015依題意得h(x)= 面 00X80X+8X面x+ 三1(0 xw120),33,x800 x 80h(x) =r=r(0 x 120).640 x640 x令h(x) = 0，得x= 80.因為x (0,80)時，h(x)0,h(x)是增函數(shù)，所以當x= 80 時，h(x)取得極小值h(80) = 11.25(升).因為h(x)在(0,120上只有一個極小值，設箱底邊長為xcm,則箱高h=箱子容積V(x)=x2h= 叮(0 x 60).h(x)升,6060 -x2cm,9所以它是最小值