矢量分析與場(chǎng)論講義(共17頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矢量分析與場(chǎng)論第一章 矢量分析一 內(nèi)容概要1 矢量分析是場(chǎng)論的基礎(chǔ)，本章主要包括以下幾個(gè)主要概念：矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念。與高等數(shù)學(xué)研究過(guò)的數(shù)性函數(shù)的相應(yīng)概念完全類(lèi)似，可以看成是這些概念在矢量分析中的推廣。2 本章所討論的，僅限于一個(gè)自變量的矢性函數(shù)，但在后邊場(chǎng)論部分所涉及的矢性函數(shù)，則完全是兩個(gè)或者三個(gè)自變量的多元矢性函數(shù)或者，對(duì)于這種多元矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念，完全可以仿照本章將高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)及其有關(guān)的相應(yīng)概念加以推廣而得出。3 本章的重點(diǎn)是矢性函數(shù)及其微分法，特別要注意導(dǎo)矢的幾何意義，即是位于的矢端曲線上的

2、一個(gè)切向矢量，其起點(diǎn)在曲線上對(duì)應(yīng)t值的點(diǎn)處，且恒指向t值增大的一方。 如果將自變量取為矢端曲線的弧長(zhǎng)s，即矢性函數(shù)成為，則不僅是一個(gè)恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一個(gè)單位切向矢量。這一點(diǎn)在幾何和力學(xué)上都很重要。4 矢量保持定長(zhǎng)的充分必要條件是與其導(dǎo)矢互相垂直。因此單位矢量與其導(dǎo)矢互相垂直。比如圓函數(shù)為單位矢量，故有，此外又由于，故。（圓函數(shù)還可以用來(lái)簡(jiǎn)化較冗長(zhǎng)的公式，注意靈活運(yùn)用）。5 在矢性函數(shù)的積分法中，注意兩個(gè)矢性函數(shù)的數(shù)量積和兩個(gè)矢性函數(shù)的矢量積的分部積分法公式有所不同，分別為：前者與高等數(shù)學(xué)種數(shù)性函數(shù)的分部積分法公式一致，后者有兩兩項(xiàng)變?yōu)榱饲蠛?，這是因?yàn)槭噶糠e服從于“負(fù)交換律”之

3、故。6 在矢量代數(shù)中，在引進(jìn)了矢量坐標(biāo)之后，一個(gè)空間量就和三個(gè)數(shù)量構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢量的一些運(yùn)算，例如和、差以及數(shù)量與矢量的乘積都可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)數(shù)量坐標(biāo)的相應(yīng)運(yùn)算。同樣，在矢量分析中，若矢性函數(shù)采用坐標(biāo)表示式，則一個(gè)矢性函數(shù)就和三個(gè)數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢性函數(shù)的一些運(yùn)算，例如計(jì)算極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等亦可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其三個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的相應(yīng)運(yùn)算。7 矢性函數(shù)極限的基本運(yùn)算公式(14)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式(p11)、不定積分的基本運(yùn)算公式(p16)典型例題：教材p6例2、p10 例4、p12例6、p13例7。習(xí)題一（p1920）此外還有上課所講的例題。補(bǔ)充：1） 設(shè)，求2） 一質(zhì)點(diǎn)以

4、常角加速度沿圓周運(yùn)動(dòng)，試證明其加速度 ，其中為速度的模。3） 已知矢量，計(jì)算積分。4） 已知矢量，計(jì)算積分。第二章 場(chǎng)論一 內(nèi)容概要1 本章按其特點(diǎn)可以劃分為三部分：第一部分為第一節(jié)，除介紹場(chǎng)的概念外，主要討論了如何從宏觀上利用等值面（線）和矢量線描述場(chǎng)的分布規(guī)律；第二部分為第二、三、四節(jié)，內(nèi)容主要是從微觀方面揭示場(chǎng)的一些重要特性；第三部分為第五節(jié)，主要介紹三種具有某種特性而又常見(jiàn)的矢量場(chǎng)。其中第二部分又為本章之重點(diǎn)。2 空間數(shù)量場(chǎng)的等值面和平面數(shù)量場(chǎng)的等值線以及矢量場(chǎng)的矢量線等，都是為了能夠形象直觀地體現(xiàn)所考察的數(shù)量或矢量在場(chǎng)中的宏觀分布情況而引入的概念。 比如溫度場(chǎng)中的等溫面，電位場(chǎng)中的等

5、位面，都是空間數(shù)量場(chǎng)中等值面的例子；而地形圖上的等高線即為平面數(shù)量場(chǎng)中等值線的例子。 在矢量場(chǎng)中，矢量線可以體現(xiàn)場(chǎng)矢量的分布狀況，又能體現(xiàn)場(chǎng)矢量的走向。例如流場(chǎng)中的流線，體現(xiàn)了流速的分布狀況和它們的走向。此外，由于矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有一條矢量線通過(guò)，因此對(duì)于場(chǎng)中的任一條曲線C（非矢量線），在其上的每一點(diǎn)也皆有一條矢量線通過(guò)，這些矢量線的全體，就構(gòu)成一曲面，稱為矢量面，特別的，當(dāng)曲線C為封閉曲線時(shí)，矢量面就成為一管形曲面，稱之為矢量管。3 有一種空間場(chǎng)（矢量場(chǎng)或者數(shù)量場(chǎng)）具有這樣的一種幾何特點(diǎn)：就是在場(chǎng)中存在一族充滿場(chǎng)所在空間的平行平面，場(chǎng)在其中每一個(gè)平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量場(chǎng)，其

6、場(chǎng)矢量同時(shí)也平行于這些平面）。對(duì)于這種場(chǎng)，只要知道場(chǎng)在其中任一平面的中的特性，則場(chǎng)在整個(gè)空間里的特性就知道了，因此，可以將這種場(chǎng)簡(jiǎn)化到這族平面中的任意一個(gè)平面上來(lái)研究，因而，也把這種場(chǎng)稱為平行平面場(chǎng)。在平行平面場(chǎng)中，通常為了研究方便，通常取所研究的這一個(gè)平面為xoy平面。此時(shí)，在平行平面場(chǎng)中，場(chǎng)矢量就可以表示成為平面矢量，在平行平面數(shù)量場(chǎng)中，其數(shù)量就可以表示成為二元函數(shù)，并且這樣的研究結(jié)果適用于任何一塊與xoy面平行的平面。典型例題：習(xí)題2（最好能全部做一下）（1）求數(shù)量場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)M(1,2,1)的等值面。（2）求矢量場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)M(2,1,1)的矢量線方程。4 數(shù)量場(chǎng)中函數(shù)的方向?qū)?shù)是一個(gè)數(shù)量。它

7、表示在場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)處函數(shù)沿某一方向的變化率。詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)：其絕對(duì)值的大小，表示沿該方向函數(shù)變化的快慢程度，其符號(hào)的正負(fù)，則表示沿該方向函數(shù)的變化是增加還是減小的。 若在點(diǎn)M處，函數(shù)可微，則函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)在迪卡爾坐標(biāo)下的計(jì)算公式為：5 數(shù)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，場(chǎng)中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)梯度矢量。梯度矢量有兩個(gè)重要性質(zhì)：（1）梯度在任一方向上的投影，正好等于函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)，。據(jù)此可以推出：梯度自身的方向就是方向?qū)?shù)最大的方向，其模就是這個(gè)最大方向?qū)?shù)的數(shù)值。（2）數(shù)量場(chǎng)中每一點(diǎn)處的梯度都垂直于此數(shù)量場(chǎng)過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)值增大的一方。 梯度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：。此外，從梯

8、度的基本運(yùn)算公式可以看出，他與一元函數(shù)中導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的公式完全類(lèi)似，這一點(diǎn)可以幫助大家掌握梯度的基本運(yùn)算(p39)。典型例題 p34例2，p37例3，例4，p38例5，6，習(xí)題3。（1）求函數(shù)在點(diǎn)M(1,2,3)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)。（2）求函數(shù)在曲面在點(diǎn)M(2,3,3)處沿曲面下側(cè)法線方向的方向?qū)?shù)。（3）求函數(shù)在點(diǎn)M(2,3)處沿曲線朝x增大一方的方向?qū)?shù)。（4）設(shè)R是從點(diǎn)到任意一點(diǎn)的距離，求證是在方向上的單位矢量。（5）已知一可微的數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處，朝點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)是4，朝點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為-2，朝點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為1，試確定在處的梯度，并求出朝點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)。（6）求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿過(guò)點(diǎn)M

9、的等值面的外法線方向的方向?qū)?shù)，其中r為矢徑的模。6矢量場(chǎng)穿過(guò)某一曲面的通量是從某些物理量，諸如流速場(chǎng)中的流量、電場(chǎng)中的電通量、磁場(chǎng)中的磁通量以及熱流場(chǎng)中的熱量等等概念中抽象出來(lái)形成的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。因此通量是具有若干物理意義的。 如果是一個(gè)封閉曲面，則矢量場(chǎng)穿出的總通量為，（1） 當(dāng)時(shí)，則S內(nèi)必有產(chǎn)生通量的源頭；（2） 當(dāng)時(shí)，則S內(nèi)必有吸收通量的漏洞；這兩種情況，合稱為S內(nèi)有源（源頭為正源，漏洞為負(fù)源）。（3） 當(dāng)時(shí)，不能斷言S內(nèi)無(wú)源，因?yàn)檫@時(shí)，在S內(nèi)正源和負(fù)源互相抵消，也可能恰好出現(xiàn)總通量為零的情況。由此可見(jiàn)，從穿出某個(gè)封閉曲面的總通量，可以初步了解在S內(nèi)通量產(chǎn)生的情況，當(dāng)然這僅僅是一種整體

10、性的粗略了解，這由此引出了矢量場(chǎng)中散度的概念。7 矢量場(chǎng)的散度div，是指在場(chǎng)中的一點(diǎn)處，矢量場(chǎng)穿出一個(gè)包含該點(diǎn)在內(nèi)的微小區(qū)域的邊界曲面的通量對(duì)的體積變化率，即它是一個(gè)數(shù)量，表示此矢量場(chǎng)在這個(gè)點(diǎn)處散發(fā)通量或者吸收通量的強(qiáng)度。具體來(lái)說(shuō)，散度以絕對(duì)值表示在該點(diǎn)處源的強(qiáng)度大小。當(dāng)其不為零時(shí)，以正負(fù)號(hào)表示該點(diǎn)處的源為正源或者負(fù)源；當(dāng)其為零時(shí)，則表示該點(diǎn)無(wú)源，從而將散度恒為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)。與散度相對(duì)應(yīng)的場(chǎng)稱為散度場(chǎng)。由于散度場(chǎng)為數(shù)量場(chǎng)，故亦可通過(guò)其等值面、方向?qū)?shù)和梯度等來(lái)揭示其分布規(guī)律和變化情況。 在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的散度表示式為：由此可以得出奧氏公式（高斯定理）的矢量形式為：此式表

11、明了通量和散度之間的一種關(guān)系：穿出封閉曲面S的通量，等于S所包圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。P52散度的基本運(yùn)算公式。典型例題 p44例1，p52例4，例5，習(xí)題4。（1）設(shè)S為由圓柱面及平面和所圍成的封閉曲面，求穿出S的柱面部分的通量。（2）已知，試確定阿a，b，c使得A是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)。（3）求矢量場(chǎng)所產(chǎn)生的散度場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)的等值面及其在點(diǎn)M處沿Ox軸正向的變化率。(4) 已知，其中，求。8 矢量場(chǎng)沿有向閉曲線l的環(huán)量也是從某些物理量，如力場(chǎng)中的功、流場(chǎng)中的環(huán)流以及磁場(chǎng)中的電流強(qiáng)度等概念抽象形成的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，和通量概念的形成極為類(lèi)似，通量是一個(gè)曲面積分，環(huán)量是一個(gè)曲線積分。二者在矢量場(chǎng)中都是一

12、種整體性的概念，為了研究矢量場(chǎng)的局部性質(zhì)，前面從通量引入了散度，這里又可以從環(huán)量引入環(huán)量面密度的概念： 在矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)M處，取定一個(gè)方向?yàn)?，再?jīng)過(guò)點(diǎn)M處以為法矢作一微小曲面，同時(shí)以表示其面積，其邊界之正向與法矢構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則場(chǎng)沿之正向的環(huán)量與面積之比，當(dāng)沿其自身縮向M點(diǎn)時(shí)，其極限就稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度（就是環(huán)量對(duì)面積的變化率），即：可見(jiàn)，環(huán)量面密度概念與散度概念（通量的體密度）的構(gòu)成是非常類(lèi)似的，二者都是一種局部性的概念。 設(shè)矢量場(chǎng)，則場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式為：9 環(huán)量面密度與散度這兩個(gè)概念的構(gòu)成雖然很相似，且都是一種變化率，但二者有著重要

13、的差別，這就是：散度和矢量場(chǎng)中之點(diǎn)能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，二環(huán)量面密度不僅與場(chǎng)中的點(diǎn)位置有關(guān)，而且還與從該點(diǎn)出發(fā)的方向有關(guān)，從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的方向有無(wú)窮多個(gè)方向，對(duì)應(yīng)的也有無(wú)窮多個(gè)環(huán)量面密度的值，所以，換輛面密度與矢量中的點(diǎn)不能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。環(huán)量面密度和散度的上述差別正是環(huán)量面密度和方向?qū)?shù)相一致的地方。這就誘導(dǎo)我們?nèi)ふ乙环N矢量，使它在一個(gè)點(diǎn)處和環(huán)量面密度之間的關(guān)系恰如梯度和方向?qū)?shù)之間的關(guān)系一樣，循此探索，就得出了旋度的概念。10 矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度，是這樣一個(gè)矢量，它在任一方向上的投影，就等于場(chǎng)沿該方向的環(huán)量面密度，即有：由此可知：旋度的方向就是環(huán)量面密度最大的方向，其模也就是這個(gè)最大環(huán)

14、量面密度的數(shù)值。如果把旋度與矢量場(chǎng)中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，又得到一個(gè)矢量場(chǎng)，叫做有矢量場(chǎng)產(chǎn)生的旋度場(chǎng)。對(duì)于那種恒有的矢量場(chǎng)，叫做無(wú)旋場(chǎng)。 矢量場(chǎng)的旋度，在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式為：或者寫(xiě)為：據(jù)此可以將斯托克斯公式寫(xiě)成矢量形式：此式表明了環(huán)量和旋度之間的一種關(guān)系：即沿有向封閉曲線l的環(huán)量，等于旋度沿與l的方向構(gòu)成右手螺旋的方向穿過(guò)以l為邊界的曲面S的通量。旋度之所以得名是因?yàn)樵诹鲌?chǎng)中速度的旋度恰好是流場(chǎng)中該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度矢量乘上一個(gè)常數(shù)2，即。P65旋度的基本運(yùn)算公式。典型例題：p58例1，p60例2，p63例3，p65例6，習(xí)題5。（1）設(shè)，求和。11 三種特殊的矢量場(chǎng)。即有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)和調(diào)和場(chǎng)。其

15、中以有勢(shì)場(chǎng)為重點(diǎn)。 設(shè)矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)，是指在場(chǎng)中存在單值函數(shù)滿足：，稱函數(shù)為這個(gè)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)。從而矢量與其勢(shì)函數(shù)之間存在下列關(guān)系：，但在流體力學(xué)中，也直接把定義為矢量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)。12 具有曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性質(zhì)的矢量場(chǎng)稱為保守場(chǎng)。如靜電場(chǎng)、引力場(chǎng)、重力場(chǎng)都是保守場(chǎng)。根據(jù)第五節(jié)定理1及其證明，可知：在線單連域內(nèi)，“場(chǎng)有勢(shì)”，“場(chǎng)無(wú)旋”，“場(chǎng)保守”以及“表達(dá)式為某個(gè)函數(shù)的全微分（這個(gè)函數(shù)叫做表達(dá)式的原函數(shù)）”這四者是等價(jià)的。一般通過(guò)考察場(chǎng)是否無(wú)旋，即是否有來(lái)判斷其余三者是否成立。 由此知：若有，則存在原函數(shù)，且此原函數(shù)就是滿足的函數(shù)，它可以用如下公式來(lái)計(jì)算出：其中為場(chǎng)中任意一點(diǎn)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便通常取為

16、坐標(biāo)原點(diǎn)；C為任意常數(shù)。容易看出，在求得u后，有勢(shì)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)就隨之得到了。 此外，若為保守場(chǎng)，則曲線積分其中u(M)為的一個(gè)原函數(shù)，可用上面公式求出。計(jì)算曲線積分的這個(gè)公式與計(jì)算定積分的牛頓萊布尼茨公式完全相似，都是通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算，用起來(lái)很方便。13 矢量場(chǎng)為管形場(chǎng)，是指它恒有散度，即為無(wú)源場(chǎng)。管形場(chǎng)中存在矢量滿足，矢量叫做管形場(chǎng)的矢勢(shì)量。教材為了說(shuō)明它的存在，直接給出了從已知管形場(chǎng)矢量計(jì)算其矢勢(shì)量的如下計(jì)算公式：簡(jiǎn)要給出其推證：由，有，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們?nèi)。–為常數(shù)），然后在（1）與（2）式兩邊對(duì)z積分，得：，這里，都是，x，y的任意函數(shù)，將此兩式帶入（3）可得： （4）再由條件即帶入上式得

17、： （5）或者，即 （6）為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，再在其中取 （7）即得：其中為x的任意函數(shù)，再取，就得到： （8）將（7），（8）依次帶入（5）與（6）即可得出U，V，再由W=0既可得出所推證的矢勢(shì)量的計(jì)算公式。 從上面的推證過(guò)程也可以看出，如果不取，而將之取為別的合于條件的函數(shù)，則計(jì)算矢勢(shì)量的公式隨之變化，這表明同一個(gè)管形場(chǎng)，存在著無(wú)窮多的矢勢(shì)量，而不限于有這里所推證的公式計(jì)算出來(lái)的。14 若矢量場(chǎng)恒有和，則稱為調(diào)和場(chǎng)。簡(jiǎn)而言之，調(diào)和場(chǎng)是一個(gè)既無(wú)源又無(wú)旋的矢量場(chǎng)。在調(diào)和場(chǎng)中，由于有，故調(diào)和場(chǎng)也是有勢(shì)場(chǎng)，因此存在函數(shù)u滿足，又由于有，既有：或者寫(xiě)為：這是一個(gè)二階偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，對(duì)于滿足拉普

18、拉斯方程且有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，叫做調(diào)和函數(shù)，可見(jiàn)上述函數(shù)u以及勢(shì)函數(shù)v=-u都是調(diào)和函數(shù)。15 特別應(yīng)注意的是平面調(diào)和場(chǎng)，就是既無(wú)源又無(wú)旋的平面矢量場(chǎng)，它與空間調(diào)和場(chǎng)相比，有其特殊性。 設(shè)為平面調(diào)和場(chǎng)，則有，故存在勢(shì)函數(shù)v滿足，又因其有，由此可以推出滿足的函數(shù)u，這個(gè)函數(shù)u叫做的力函數(shù)。函數(shù)u和v可用下面公式來(lái)求出：函數(shù)u和v還滿足如下的關(guān)系式：由此可以得到：這說(shuō)明函數(shù)u和v均為滿足二維拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)，故又稱二者為共軛調(diào)和函數(shù)。應(yīng)用這個(gè)共軛條件，便可以從u和v中的一個(gè)求出另一個(gè)。 此外，力函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的等值線依次叫做平面調(diào)和場(chǎng)的力線和等勢(shì)線，其中力線就是矢量場(chǎng)的矢量線，而勢(shì)線就是與矢量線相互正交的一族曲線。典型例題：p71-73例1，2，3，4，p76例5，p78例6，p80例7，習(xí)題6。（1） 證明為有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)。（2） 解微分方程 。（3） 證明為保守場(chǎng)，并計(jì)算曲線積分，其中l(wèi)是從點(diǎn)到點(diǎn)的任意路徑。（4） 證明為調(diào)和場(chǎng)，并求出場(chǎng)的調(diào)和函數(shù)和矢勢(shì)量各一個(gè)。（5） 已知，其中函數(shù)R適合，且當(dāng)時(shí)，求R使矢量場(chǎng)A存在函數(shù)u滿足，并判斷A是否為管形場(chǎng)。（6） 矢量場(chǎng)是否為平面調(diào)和場(chǎng)？若是，求其力函數(shù)u和勢(shì)函數(shù)v。第三章 哈密頓算子1 哈密頓算子 是一個(gè)矢性微分算子。就是說(shuō)它在運(yùn)算中具有矢量和微分的雙