2017年高考數(shù)學(四海八荒易錯集)專題14直線和圓理

1、3專題 14 直線和圓1 .已知圓Mx2+y2 2ay= 0(a0)截直線x+y= 0 所得線段的長度是 2 頁，則圓M與圓N：(x 1)2+ (y 1)2=1 的位置關系是()A.內切 B.相交 C.外切 D.相離答案 B解析圓Mx2+ (ya)2=a2,圓心坐標為M0 ,a)，半徑r1為a,圓心必到直線工+尸0的距離V2由幾何知識得；十+ 2=撐,解得a=2.二劭n=2又圓w的圓心坐標為MHh半徑吃=1 二jl-o2+ 1-22=邁, 八+巾=3,匸一亡=L+兩圓相交，故選B,2 .已知點A(2 , 3),B( 3, 2)，若直線kxy+ 1 k= 0 與線段AB相交，則k的取值范圍是()

2、33A. 4, 2B. (3才U2 ,+口C. (,1U2,+3)D. 1,2答案 B解析直線kxy+1 k= 0 恒過點P(1,1),3 1 2 13kpA=2,kpB;2 1， 3 14，3若直線kxy+ 1 k 0 與線段AB相交，結合圖象(圖略)得k2,故選 B.3.若方程(x 2cos0)2+ (y 2sin0)2 1(002n)的任意一組解(x,y)都滿足不等式y(tǒng)，則0的取值范圍是()步珈】22 2根據(jù)題意可得，方程(x 2cos0) + (y 2sin0) = 1(00 #x，表示方程(x 2cos0)2+ (y 2sin0)2= 1(00-2=0垂直得加+4=0,故a-2,代入

3、直線方程， 聯(lián)立解得交 點坐標為P（-L0） ,易求得線段田的垂直平分線的方程為x-v+3=0,設圓C的標準方程為（x-ayfx-v+3=0,十0好=月（柑那 則圓心（暫為直線x-y+3=o與直線尸L的交點，由1解得圓亠尸丹心坐標為（一乞一弘從而得到月=34,所以圓C的標準方程為戸34.【名師點睛】解決與圓有關的冋題一般有兩種方法：（1） 幾何法， 通過研究圓的性質、 直線和圓、 圓與圓的位置關系,進而求得圓的基本量和方程；（2）代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】71圓的標準方程當圓心為(a,b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2+ (yb)2=

4、r2,特別地，當圓心在原點時，方程 為x2+y2=r2.2圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0,其中D2+E2 4F0,半徑的圓.易錯起源 3、直線與圓、圓與圓的位置關系例 3、已知直線 2x+ (y 3)m 4 = 0( m R)恒過定點P,若點P平分圓x2+y2 2x 4y 4= 0 的弦MN則弦M晰在晰在直線的方程是( () )A.x+y 5 = 0B.x+y 3= 0C.xy 1 = 0D.xy+ 1 = 0已知Rx,y)是直線kx+y+ 4 = 0(k0)上一動點，PA PB是圓 C：x2+y2 2y= 0 的兩條切線，A,B是切點，若四邊形PACB勺最小面積是 2,貝 Uk

5、的值為()A. 3C. 2 2D. 2答案(1)A(2)D解析(1)對于直線方程 2x+ (y 3)m 4 = 0( rriE R),取y= 3，則必有x= 2,所以該直線恒過定點P(2,3)設圓心是 C,則易知 Q1,2),3 一 2所以心=汙=1,2 1由垂徑定理知CP丄MN所以kMN= 1.又弦MN過點P(2,3),故弦MN所在直線的方程為y 3= (x 2),即x+y 5 = 0.如圖，把圓的方程化成標準形式得丘+ -廳=1,所以圓心為半徑為四邊形序以的面積S=2SP叫所以若四邊形PACB的最小面積是2,則S皿的最小值為L而S咖= -PBf即闊的最小值為對此時尸亡最小，尸7為圓心到直線

6、,h-+i + 4=0知館df此時d=即因為Ab所以.k-28【變式探究】若直線 3x+ 4y=b與圓x2+y2 2x 2y+ 1 = 0 相切，則b的值是()A. 2 或 12B. 2 或12C. 2 或12D. 2 或 12(2)已知在平面直角坐標系中，點A(2 2, 0) ,B(0,1)到直線l的距離分別為 1,2，則這樣的直線l共有_條.答案(1)D(2)3解析 由題竜可得圓心坐標為工6半徑尸1,又直線3X+4V=與圓相切，Z.=b.b=2或12,故選D.由題意得直線i為圓(工一尸=1匚為圓心與圓x;+u 1)2=4(5為圓心)的公切線TM|= 7 2邁】+ 二3=1 + 2,二兩圓夕

7、卜切， 二兩圓共有3條公切線.故答案為3.【名師點睛】(1) 討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量.(2) 圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題.【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】1直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法.(1)點線距離法：設圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r，則dr?直線與圓相離.(2) 判別式法：設圓C：(xa)2+ (yb)2=r

8、2,直線I:Ax+By+C= 0,方程組9Ax+By+C= 0,222消去y,得關于x的一元二次方程根的判別式，則直線與圓相離？ 0.2圓與圓的位置關系有五種，即內含、內切、相交、外切、外離.2 2 2 2 2 2設圓C： ( (xai) ) + ( (ybi) ) =ri,圓C2： ( (x比比) )+ ( (yb)=2，兩圓心之間的距離為d,則圓與圓的五種位置關系的判斷方法如下：(1)dri+2?兩圓外離；(2)d=ri+r2?兩圓外切；(3) |rir2|dri+2?兩圓相交；(4)d= |ri切切( (ri豐2)?兩圓內切；(5) 0 d|ri切切( (ri豐2)?兩圓內含.i設AB是

9、x軸上的兩點，點P的橫坐標為 2,且|PA= |PB，若直線PA的方程為xy+ i = 0,則 直線PB的方程是()A.x+y 5= 0B. 2xy i = 0C. 2yx 4 = 0D. 2x+y 7 = 0答案 A解析 由于直線PA的傾斜角為 45,且|PA= |PB，故直線PB的傾斜角為 i35，又由題意知 R2,3),直線PB的方程為y 3 = (x 2)，即x+y 5 = 0.故選 A.2設a R,則a= i”是直線ax+y i = 0 與直線x+ay+ 5 = 0 平行”的()A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案 A、a2 i = 0

10、,解析 直線ax+y i = 0 與直線x+ay+ 5 = 0 平行的充要條件為即a= i,故a= i15a+iz0,是兩直線平行的充分而不必要條件.故選A.103.過只 2,0)的直線l被圓(x 2)2+ (y 3)2= 9 截得的線段長為 2 時，直線I的斜率為()A土二B. 土二4211C.lD.-3-答案 A解析 由題意得直線I的斜率存在，設為空則直線/的方程為尸站-2),即kx-y2匸0.的距離- ,由圓的性質可得12=77 站+17 尅+1y丄4 ”4若圓O：x2+y =4 與圓C：X2+y+ 4x 4y+ 4= 0 關于直線I對稱，則直線I的方程是()A. x+y= 0B.xy=

11、 0C. xy+ 2= 0D. x+y+ 2= 0答案 C解析圓x2+y2+ 4x 4y+ 4 = 0, 即(X+ 2)2+ (y 2)2= 4,圓心C的坐標為(2,2).直線I過OC的中點(1,1)，且垂直于直線OC易知koC= 1,故直線I的斜率為 1,直線I的方程為y 1 =x+1,即卩xy+ 2 = 0.故選 C.5.已知圓C1：(x 2) + (y3) = 1,圓C2：(x 3) + (y 4) = 9,M N分別是圓C,C2上的動點，P為x軸上的動點，貝U|PM+ |PN的最小值為()A. 5 2 4B. 17 1C. 6 2 2D. 17答案 A解析 兩圓的圓心均在第一象限，先求

12、|PC| + |PC|的最小值， 作點C關于x軸的對稱點C(2, 3),min= |CC2| = 5 羽，所以(|PM+ |PN)min=裁(1 + 3) = 5 羽4.宙巨到直線的距鳥公式得，圓心到直線J即10-得解9則(|PC| + |PC|)6.已知直線I1：axy+ 1 = 0,12:x+y+ 1 = 0,I1/12，貝Ua的值為，直線I1與I2間的距離答案1 2解析/I1/I2,Aa此時1仁x+y 1 = 0,11,l2之間的距離為 1= 1I?a=1,12|1衛(wèi).7.已知點A 2,0) ,B(0,2)，若點C是圓x2 2x+y2= 0 上的動點，則厶ABC面積的最小值是答案 3 2

13、13解析 將圓的方程整理為標準方程得(工-廳十尸=1,二圓心坐標為(1半徑=1一7-4(- 2a0),Eg直線肋的方程為尸x十厶二圓心到直線曲的距離肝=屯=半，v2 .AABC中，曲邊上的高的最小值為卻-Q牛一1,又|0糾=仙二2,04 丄 OB?r4B=2f故面積的最小值為*ABK(d打=3_ *2&已知直線l:m灶y+ 3m- 3 = 0 與圓x2+y2= 12 交于A,B兩點，過 A,B分別作I的垂線與x軸交于C, D兩點，若|AB= 2 西，貝U|CD =_答案 4解得A 3,3) ,B(0,23)，則AC的直線方程為y- 3 = 3(x+ 3) ,BD的直線方程為y-2 3=

14、 3x，令y= 0，解得C( 2,0) ,D(2,0)，所以 |CD= 4.9.已知點A(3,3) ,B(5,2)到直線I的距離相等，且直線I經(jīng)過兩直線I仁 3xy 1 = 0 和I2：x+y3 = 0 的交點，求直線I的方程.3xy 1 = 0,解方程組 1x+y3 = 0,若點A,B在直線I的同側，貝UI/AB而kAB=由點斜式得直線1I的方程為y 2 = (x 1),解析 設AB的中點為M由題意知，圓的半徑R= 23,m=-x3y+ 6 = 0,2 2 / +y= 12,得交點只 1,2)14即x+2y-5=0.#點厶氏分別在直線J的異側，則直線f經(jīng)過線段肋的中點e kj5-_2由兩點式得直線I的方程為三=,X1 斗 1即x-v+ll=o.綜上所述，直線的方程為x+2y-5=0或 丫一孫 +11 = 0.10.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線I與圓 C: (x 2)2+ (y 3)2= 1 交于M N兩點.(1)求k的取值范圍；若OM-ONk 12,其中O為坐標原點，求|MN解(