銳角三角比講義

1、【知識點總結與歸納】B1、銳角的三角比A為一銳角，則即 sin A= a c(1) 定義：在直角三角形中，/A的正弦=/A的對邊斜邊A A的余弦=/人累邊,即cosA= -b , 斜邊c/A的正切=Li：/A的余切=/A的鄰邊，即cotA=a/A的對邊b注：三角函數(shù)值是一個比值.定義的前提是有一個角為直角，故如果題目中無直角條件時，應設法構造一個直角。若 A為一銳角，則sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分別是:0 sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0 。同一個銳角的正切和余切值互為倒數(shù)，即:tanA|cotA=1 或 tanA=

2、-1ccot A2、特殊銳角的三角比的值(1) 特殊銳角(30° , 45° , 60° )的三角比的值角函數(shù)角度正弦余瞌,正切余切0°010不存在3001T叵 2在 3代45°422yf2 T1160”叵 21 T甚 390s10 i不存在0(2) 同角，互余的兩角多的三角比之間的關系:倒數(shù)關系: A 1tanA=cot A平方關系:2 A2a/sin A+cos A=1積商關系:sin AcosAtanA= ,cot A -cosAsin A余角和余函數(shù)的關系:(正弦和余弦，正切和余切被稱為余如果 A B 900 ,那么 sinA二cosB

3、, tanA二cotB函數(shù)關系)。注意：求銳角三角比的值問題(1) 在直角三角形中，給定兩邊求銳角的三角比，關鍵是搞清某銳角的“對邊” “鄰 邊”，掌握三角比的定義。(2) 給出銳角的度數(shù)，求這個銳角的三角比特殊銳角，一般情況下，使用精確值；在實際應用中，根據(jù)問題要求處理。求非特殊銳角的三角比的值，使用計算器或查表求值。(3) 當銳角不是直角三角形的內角，首先觀察有否相等的銳角可代換，而且可代換 的銳角含在某直角三角形中，如果沒有可代換的相等的銳角，可作適當?shù)拇咕€ 構建含有這個銳角的直角三角形。3、解直角三角形(1) 在直角三角形中，除直角外，還有 5個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三 角形

4、中除直角外的已知兩個元素(其中至少含有一條邊)，求出其他所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。(2) 解直角三角形常用到的關系：銳角關系：A B 90O,廣、，三邊關系：勾股定理：a2 b2 c2I, .a sinA= ,cosA 邊角關系：c_ b sinB= - ,cos B cb X A,tanA ca ,tan B ca , A,cot A bb ,cot B a111_直角二角形的面積：S ch ab absin C222(3) 當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角?角形，再求解。(4) 解直角三角形的類型有： 已知兩條邊；已知一條邊和一個銳角。(5)

5、 解法分類：已知斜邊和一個銳角解直角三角形；已知一條直角邊和一個銳角解直角三角形;已知兩邊解直角三角形.注意：解直角三角形的方法：可概括為“有弦(斜邊)則弦(正弦，余弦) ，無弦用切，寧 乘勿除，取原避中"。這幾句話的含義是：當已知條件中有斜邊時，就用正弦或余弦，無斜 邊時，則用正切或余切；當所求元素既可用乘法又可用除法時，則盡量用乘法，避免用除法;既可以用已知的原始數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時，則取原始數(shù)據(jù)，避免用中間數(shù)據(jù)后引起連鎖錯誤或較大誤差。4、解直角三角形的應用(1) 仰角和俯角 視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水 平線下方的叫做俯角。(2) 坡角和坡度

6、坡面與水平面的夾角叫做坡角。坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用i標志，即，通常坡度要寫成1的形式，坡角 的正切是坡面的坡度。(3) 方向角 一般以觀測者的位置為中心將正北或正南方向為始邊旋轉到目標的方 向線所成的銳角。例1已知中，/ C= 90° , = 2, =3,那么下列各式中，正確的是“.-2A、sin B 一 3B、 cosBC、 tan BD、cot B200米，那么他在原來基礎上例2某山路坡面坡度i 1： J399,某人沿此山路向上前進升高了米.3例3如圖8-1 ,在中，/ C=90，點D在上，=4, =, Z -.5求：（1）的長；（2）的值.例

7、4如圖所示，秋千鏈子的長度為 3m,靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面 0.5m.秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為53 ,則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？（參考數(shù)據(jù)：圖 8-3-1sin 53 =0.8, cos53 =0.6）課后作業(yè) 一、填空題1.如圖，如果繞點 B按逆時針方向旋轉 30°后得到 A P/ B,且2,那么/的長為.（不取近似值.以下數(shù)據(jù)供解題使用：15 = J6 J2, 15。" 巴442,用計算器計算： 出血40©=.（精確到0.01）3 .如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是

8、北偏東48。.甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西度.4 .如圖，機器人從 A點，沿著西南方向，行了個 4單位，到達B點后觀察到原點 O在它的南偏東60。的方向上，則原來 A的坐標為（結果保留根號）.5 .求值：260° 260° =6 .在直角三角形中，/90°, 13, 12,那么tanB7 .根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，求得避雷針的長約為（結果精確的到0.01m） .（可用計算器求,也可用下列參考數(shù)據(jù)求：43° = 0.6802, 40° = 0.6428, 43° = 0.7341, 40

9、6; = 0.7660,43° = 0.9325, 40° = 0.8391)A第5題圖A第6題圖C8.如圖，自動扶梯段的長度為20米，傾斜角A為“，高度為米（結果用含a的三角比表示）.二、選擇題9 .在中，/ C = 90°, = 1,則的值是（）2A. J2B. -C. 12 iA10 .在中，是斜邊上的高線，已知/的正弦值是一，則一3AA. 2B. 3cT55211 .如圖，梯子靠在墻上，梯子的底端 A到墻根O的距離為子的頂端B到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端 A向:1D .一2的值是（）B52一D .32米，梯卜:B外移動到/EA ,使梯子的底端 A到墻

10、根O的距離等于3米，同時梯子的頂B端B下降到B ,那么BB （）A. T 1 米B.1 米C.小于1米D.不能確定12 .如圖，延長斜邊到 D點，使=,連結，若/=3,則A. 3B. 1C. 1D.-233三、解答題 2 匚 ,一、.一一 一13 .已知等腰梯形中，+= 18, /= -v3 ,與相父十點 O,試求的長.14 .如圖，河對岸什-鐵塔.在 C處測得塔頂 A的仰角為"A丁0撇13題圖clXb 弋 Z= 1200,D第12題圖ADB GFCE第13題圖30° ,向塔前進16米到達D,J4 A在D處測得A的仰角為45。，求鐵塔的高.15.如圖，我市某廣場一燈柱被一鋼

11、纜固定，與地面成40。夾角，且5m,則的長度是多少？現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜，那么鋼纜的長度為多少？（結果保留三個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)：sin 400.6428,cos400.7660,tg400.8391,ctg401.1918】近年上海中考數(shù)學關于銳角三角比題型年份考點分值2008 年銳角三角比的概念、坡度14 (8)2009 年銳角三角比的概念10 (5)2010 年銳角三角比的概念、解直角三角形24 ( 16)2008 (4 分)18.在 4ABC 中，AB AC 5, cosB過點B, C,那么線段 AO的長等于.3 （如圖6）.如果圓。的半徑為標,且經52008 (10分

12、)21.（本題滿分10分，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分7分）“創(chuàng)意設計”公司員工小王不慎將墨水潑在一張設計圖紙上，導致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖7所示）.已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓O的半徑OC所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，A是OD與圓。的交點.（1）請你幫助小王在圖 8中把圖形補畫完整；（2）由于圖紙中圓 O的半徑r的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中i 1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值.2009 （10分）21.（本題滿分10分，每小題滿分各 5分）如圖4,在梯形 ABCD中，AD / BC, AB（1）求 tan ACB 的值；（2）若M、

13、N分別是AB、DC的中點，聯(lián)結DC 8,B 60°, BC 12,聯(lián)結 AC .MN ，求線段MN的長.圖42010 （10 分）21.機器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖5所示，“海寶”從圓心O出發(fā),先沿北偏西67.4方向行走13米至點A處，再沿正南方向行走 14米至點B處，最后沿 正東方向行走至點 C處，點B、C都在圓。上.（1）求弦的長；（2）求圓。的半徑長. （本題參考數(shù)據(jù)：67.4° = , 67.4° = , 67.4° =）北NS南2010 (14 分)25.如圖9,在中，/= 90° .半徑為1的圓A與邊相交于點

14、D,與邊相交于點 E,連結 并延長，與線段的延長線交于點P.(1)當/ B = 30°時，連結，若與相似，求的長；(2)若2,求/的正切值；1(3)若tan BPD 設，的周長為 y,求y關于x的函數(shù)關系式.39.課后考點鞏固考點一、銳角三角比的概念:AC 一1 .在中，/ 90°,那么等于 ()BC(A)；(B) ；(C) ;(D).2 .中，/ 90°,若a,/A =，則的長為 ()aa(A) a sin ；(B) a cos ；(C) sin ；(D) cos .3 .如圖，在中，234，則tanC的值是 ()132(A) 一 ；(B) ；(C) ；(D)以

15、上都不是.243A考點二、特殊銳角的三角比值:一、1 22 cot 3001.計算：(一) sin 60 (cos 45 )= 9( tan 60 )3.2 sin 45_2 _2cos 30 sin 30，一“2 4cot 45 cos 45tan 60 4sin 45sin 60 3tan30 cos60 (1 2 cot 45 ) cot 30考點三、銳角三角比的計算:1 .如圖，在中,、分別為兩腰上的中線,且，則2 .如圖，矩形中,ABC.tan3、，3 , sin ACB , E 為5對角線上，記作(1)求的長；B'.(2)連接，求/B'的值.A DB'BE

16、C3 .如圖，等腰梯形中，/ , Z45°,A D翻折梯形，使點 B重合于點D,折痕分別交邊、于F、巳若614,求：(1)的長；(2) ZC的余切值.B E C4 .如圖，在 中，Z90°, A ,P是內一點，且/ / 135°.(1) 求證：ls Z,(2) 試求/的值.考點四、仰角、俯角與坡度、坡角：,那么飛機到控制點的距1 .某飛機的飛彳T高度為 m,從飛機上測得地面控制點的俯角為 離是.(用m與含 的三角比表示)2 .某山路的路面坡度為1:445,若沿此山路向上前進90米，則升高了米.3 . 一個小球由地面沿著坡度1:2的坡面向上前進了 10米，此時小球距

17、離地面的高度為米.4 .修筑一坡度為3:4的大壩，如果設大壩斜坡的坡角為，那么/的正切值是 ().(A) 3；(B) 4；(C) 3； (D) 45543考點五、解直角三角形及應用：1 .底角為15。，腰長為6的等腰三角形的面積是.2 .如圖，A, B , C三點在同一平面內，從山腳纜車站 A測得山頂C的仰角為45。，測得另一纜車站 B的仰角為30。，間纜繩長500米(自然彎曲忽略不計).(/3-1.73,精確到1米)(1) 求纜車站B與纜車站A間的垂直距離；(2) 乘纜車達纜車站 B,從纜車站B測得山頂C的仰角為60°,求山頂C與纜車站A間的垂直距離.3.如圖，在 中，58是邊上一

18、點，且 .2(1)試求的值；(2) 試求的面積.4.如圖，沙涇河的一段兩岸 a、b互相平行，C、D是河岸a上間隔60米的兩個電線桿小明在河岸b上的點A處測得/ 35。，然后沿河岸b走了 120米到達B處，測得/70。，求該角度35°0.570.820.7070°0.940.342.75段河流的寬度的值.（結果精確到 的數(shù)據(jù)如下表）DCa0.1米，計算中可能用到課后考點鞏固練習：1、直角三角形的斜邊與一直角邊的比是A .曲 B T。：75： 1,且較大的銳角為。，則。等于（）,d . - V552、已知樓房高50m,如圖，鐵塔塔基距樓房房基間水平距離為50m. ？塔高為15m.3則（）A .由樓頂望塔頂仰角為60。C.由樓頂望塔頂仰角為30。B .由樓頂望塔基俯角為D .由樓頂望塔基俯角為60° ,30° ,-D3、如圖，在等腰直角三角形中，/90° , 6, D是上一點,1?若？/，則的長為（5A. J2B . 2 C . 1 D.2我c4、橫斷面為等腰梯形的河壩，若下底15 83,上底7.5，高為4,那么斜坡的坡度為()2IJA . - B . 2- C . D . V3 : 1,2.325、如圖，某建筑物直立于水平地面上， 9米，要建造階梯，使每階高不超過20厘米，則此階梯最少要建階(最后一階不足