上海市靜安區(qū)2012學年高一第二學期期末數(shù)學試卷及答案

1、靜安區(qū)2012學年第二學期期末教學質量檢測高一年級數(shù)學試卷（完成時間90分鐘，滿分100分）2013.6、填空題（本大題滿分44分）本大題共有11題，每題4分，只要求直接填寫結果..6.7.8.已知角X的終邊與單位圓的交點坐標為已知扇形的圓心角為2,面積為4,則扇形的周長為計算:函數(shù)函數(shù)lg 4f(x)f(x)設集合A設集合P10g 10 54x2x 1log 2 X 與3,sin 3,log2 a2的值域是g（x）的圖像關于直線2, cos ，若 Aa,b，若 PI Q則tanx的值為x對稱，則g（2）在 ABC中，已知tan AABC最大邊的長為v17 ,則 ABC最小邊的長

2、為9. 函數(shù)y cos(x 1), x 0,2 的圖象與直線 y1 一的父點的橫坐標之和為310 . 2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果小正方形的面積為 1 ,大正方形的面積為 25,直角三角形中較小的銳角為，那么cos2的值等于11 .已知鈍角三角形 ABC的邊長分別為2、 3、x,則第三邊x的取值范圍是、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有 4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，否則一律得零分.圈*兩

3、度愴壇BBS.educixom12.既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,)上單調遞減的函數(shù)是y cos2x.B 是acosA bcosB 的(D)非充分非必要條件.sinx與y arcsin x都是增函數(shù)；sinx與y arcsin x都是周期函數(shù).當 x 0,時，0 f(x) 1, f(x) sinx在10 , 10 上(A) y sin x ；(B) y13 .已知 ABC兩內角 A、B()(A)充分非必要條件；14 .下列命題中正確的是(A)函數(shù)y sin x與y(C)函數(shù)y sin x與y15 .設定義在R上的函數(shù)且在0,上單調遞減， 2的零點個數(shù)為(A) 0;(B) 10;三、解答題(本大題滿分

4、16 .(本題滿分6分)已知函數(shù)f(x) log2(cosx ； (C) y的對邊邊長分別為(B)必要非充分條件；sin 2x ； (D)a、 b,則“ A(C)充要條件;)arcsin x互為反函數(shù)；(B)函數(shù)yarcsin x都是奇函數(shù)；(D)函數(shù)yf (x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在,上單調遞增，則函數(shù)y2(C) 20;(D) 40.40分)本大題共有 5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟2x 2x 3),求該函數(shù)的定義域和值域，并指出其單調區(qū)間17 .(本題滿分8分)，已知函數(shù)f(x) asin x cosx , a為是常數(shù)，x R .(1)請指出函數(shù)f (x)的奇偶性，并給予證明；

5、(2)當a J3, x 0,-時，求f(x)的取值范圍.0aolrao?-3 -BBS.edudxom18 .(本題滿分8分.請給出兩種解法，每種正確解法各得4分)已知 3sinx 4cosx 5,求 tanx 的值.19 .(本題滿分8分)一鐵棒AB欲水平通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：(1)用表示鐵棒的長度L()；(2)若鐵棒能通過該直角走廊，求鐵棒長度的最大值.20 .(本題滿分10分)已知函數(shù) f(x) 2 sin x cos - x 1 44(1)求函數(shù)f (x)的周期；(2)若函數(shù)g(x) f (x) 2 J3cos2 x ,試求函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間;(3)若f2(x

6、) cos2x m2 m 7恒成立，試求實數(shù) m的取值范圍.ciokcio 分-# -BBS.edui xom3 一、5r1. ; 2.8; 3.2; 4. 1,); 5.4; 6. 2k ,k Z ；4 477.3,0,1 ; 8. J2 ； 9.22； 10. ；11. (1,5) (Jl3,5)2512.B; 13.A; 14.D; 15.C16 .(本題滿分6分)已知函數(shù)f(x) log2( x2 2x 3),求該函數(shù)的定義域和值域，并指出其單調區(qū)間.解：由x2 2x 3 0 ,解得 1x3,所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,3).2分令tx2 2x 3 (x 1)2 4,則 0 t 4

7、,所以 f(x) log2t log2 4 2,因此函數(shù)f(x)的值域為(，2 2 分單調遞增區(qū)間(1,1,遞減區(qū)間為1,3) 2 分17 .(本題滿分8分)，已知函數(shù)f(x) asin x cosx , a為是常數(shù)，x R.(1)請指出函數(shù)f (x)的奇偶性，并給予證明;(2)當a 叔x0,-時，求f(x)的取值范圍.9BBS.edu xom解：(1) f( x) asin x cosx, f ( x) f (x) asin x cosx asinx cosx2asinx 0a 0,所以，當a 0時，f(x)是偶函數(shù).2分f( x) f(x) asinx cosx asinx cosx2co

8、sx 0,僅對x k .k Z成立，所以，f(x)是不是奇函數(shù).2分2綜上：當a 0時，f(x)是偶函數(shù)；當a 0時，f(x)是非奇非偶函數(shù).注：當a 0時，證明f(x)是非奇或非偶函數(shù)可舉例說明.d3 時， f(x) 內sin x cosx 2sin x 一6aokci。麋由 x 0,2x sin x 1.6326BBS2分)18.（本題滿分8分.請給出兩種解法，每種正確解法各得4分)所以.f(x)已知 3sinx 4cosx 5,求 tanx 的值.解法1：由 3sin x 4cosx2t71 41（其中txtan-),2整理得9t2 6t 1即（3t1)20,從而213213由 3sin

9、 x4cosx5兩邊平方得：9sin224sin xcosx 16cos2 x 25,、，2t所以：tan x 1 t2解法2:4cosx5得:35 -sin x54 cosx51 ,其中tan43(0一）。2）1得：x2k 2,即xtan 2ktan由 3sin x由 sin(x2k所以tan xcot22從而sin(x )5,解法3;由于 25 25sin2 x 25cos2 x ,所以 16 sin2 x 24sin xcosx 9cos2x 0 ,cot I B23即(4sinx 3cosx) 0,所以 4sinx 3cosx 0,從而 tan x .4解法4:因3 sin x 3,4

10、 cos x 4 ,所以由條件得sin x 0,cosx 0 ,所以x為第一象限角，由 3sinx 4cosx 5兩邊除以 cosx得：3tanx 4 5secx,而 secx V1 tan2x , 所以 3tanx 4 5# tan2 x ,從而 9tan2x 24tan x 16 25 25tan2 x , 整理得 16tan2x 24 tan x 9 0 ,解得 tan x -.4解法5：由 3sin x 4cosx 5得：50 30sin x 40cosx 0 ,從而(25sin2x 30sin x 9) (25cos2x 40 cosx 16) 0,即：(5sin x 3)2 (5c

11、osx 4)2 0 于是得：sin x 3,cosx 4 ,533 所以，tan x .4解法6：設P(m,n)為角x終邊上任意一點，P到原點O的距離為r ,則r Jm2 n2 ,從而由 3sin x 4cosx 5得：3 n 4 m 5,即 3n 4m 5r,r r兩邊平方得：9n2 24mn16m225r2,從而有：9n2 24mn16m225m225n2,整理得：(4n 3m)2 0,所以 4n 3m,顯然 m 0,故 tan x 3.m 43cosx 4sinx A解法7：設3cosx 4sinx A,則由兩式平方相加得：3sin x 4cosx 59 16 A2 25,所以 A 0,

12、即 3cosx 4sinx 0,故 tanx -. 434a2 b2解法 8：由 3sinx 4cosx 5得：1 sinx cosx,利用不等式 ab 5529*aokao?-9 -BBS.edudxom/曰.3 得：1 -sin x54 -cosx53-2sin x542cos x5.3當且僅當 sin x , cosx5解法9:作Rt ABC ,使ACCD AB于D ,并設這樣有AC cosADAC cos BC sinAD4cos 3sin5,解，于是tan xtan解法10：因為3sin53sin x 4 cosx2.22sin x cos得d , 104一時成立, 34, BC所以

13、tan x3,則AB5,BCsinDB AB即是方程3sinxBC 3一，(此處，xAC 44cosx1,得:sin x19.(本題滿分8分)4cosx5的一個2k,k Z)cosx所以即(如圖所示)，5所以3sinx, ,4cosx成等差數(shù)列，于是可以設2sin x16 24 一所以5tanx1cosx 一41 ,整理得：100d2140d一鐵棒AB欲水平通過如圖所示的直角走廊，試回答下歹U問題:(1)用表示鐵棒的長度L();(2)若鐵棒能通過該直角走廊，求鐵棒長度的最大值.解：(1)根據(jù)題中圖形可知：L()sincos(0,)；(Baokao?BBS.eduUxom另解：L( )21 si

14、n 24161_sin2 21sin 216sin 2(2)本題即求L()的最小值由于 L( )2 2 2 sincos-,令 t sin cos , t (1,72,sin cos sin cos4t 4則得：L(t) J -t (1J2t2 11 1t -t因為L(t)在(1,72上是減函數(shù)，所以L(t)minLW2)4V2 3分所以能水平通過該直角走廊的鐵棒長度的最大值為4J2 m.2sin cos2 sin cos因為 (0,-)，所以2(0,),所以當22L( )2min32 , L( ) min4v2m.20.(本題滿分10分)已知函數(shù) f(x) 2 sin x cos - x 1 44(1)求函數(shù)f (x)的周期；(2)若函數(shù)g(x) f (x) 2j3cos2x ,試求函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間;(3)若f2(x) cos2x m2 m 7恒成立，試求實數(shù) m的取值范圍.解：(1)因為 f(x) 2 sin x sin x 144|aokcio?- 8 -2= 2sin - x41 cos 2x sin 2x 2所以f(x)的周期T2分2(2)由(1),知 g(x) f(x)2 . 3 cos x sin 2x ,3cos2x .32分= 2sin2x -33由2k一 2x 一232k從而k x k51212所以函數(shù)g(x)的單調遞