中小學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

1、 中小學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)概念 一、什么是數(shù)學(xué)概念    概念是指反映事物的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。比如，圓是一類事物，它是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，這是圓的本質(zhì)屬性，而圓的概念就是這一本質(zhì)屬性的反映。    客觀世界的許許多多事物都有各種各樣的性質(zhì)，事物間存在各式各樣的關(guān)系，這些性質(zhì)和關(guān)系都是事物的屬性。事物由于屬性相同或不同，形成各種不同的類，屬性相同的事物形成一類，屬性不同的事物就形成不同的類。    正確概念是科學(xué)抽象的結(jié)果。人們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中接受客

2、觀事物的各種各樣的信息，形成觀念，從而獲得感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用比較、分析、綜合、抽象和概括等方法，去粗取精，舍掉事物的一些次要方面，保留了事物的本質(zhì)屬性，抽象出一類物事所具有而其它類事物所不具有的那些屬性，即本質(zhì)屬性和特征，從而形成了反映事物的本質(zhì)屬性和特征的各種各樣的概念。    現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)的特定研究對(duì)象，數(shù)學(xué)概念就是反映這些數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。例如，人們對(duì)太陽、滿月等現(xiàn)實(shí)的圓形物體的形象得到了圓的感性認(rèn)識(shí)，初步形成了關(guān)于圓的觀念，在實(shí)踐活動(dòng)中，通過制造圓形工具或器皿需要畫圓，從而逐步認(rèn)識(shí)了圓的本質(zhì)屬性，最后

3、形成圓的概念。在數(shù)學(xué)中，每一個(gè)概念通常都用一個(gè)特有的名稱或符號(hào)來表示，例如，O表示以點(diǎn)O為圓心的圓，又如兩個(gè)三角形全等用來表示。    數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展途徑是多方面的。有的數(shù)學(xué)概念是從它的現(xiàn)實(shí)模型直接反映得來的。例如，幾何中的三角形、梯形等概念都是從物體的形狀、位置、大小關(guān)系等具體形象抽象概括得來的。又如，自然數(shù)概念是從繩子的條數(shù)，或其它單位事物集合元素的個(gè)數(shù)，或者從事物排列的次序抽象概括得來的。另外，有的數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過人們的加工，把客觀事物的屬性理想化、純粹化才得到的。例如，直線這個(gè)概念所反映的“直”和“可以無限延伸”等特征是從筆直的條形物體的形象

4、理想化、純粹化得來的。還有些數(shù)學(xué)概念是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要中產(chǎn)生出來的。例如，無理數(shù)，它是在運(yùn)用勾股定理計(jì)算以1和1為兩條直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)時(shí)而得到的，由此引發(fā)了無理數(shù)的誕生。還有一些數(shù)學(xué)概念是根據(jù)理論上有存在的可能而提出來的。例如，自然數(shù)集、無限遠(yuǎn)點(diǎn)、無理數(shù)等概念都是在一定的理論基礎(chǔ)上提出來的。還有一些數(shù)學(xué)概念是在一定的數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來的。例如，多邊形的頂點(diǎn)、邊、對(duì)角線、內(nèi)角、外角等概念都是從多邊形的結(jié)構(gòu)中得出來的。    數(shù)學(xué)概念是不斷發(fā)展、變化的。這是因?yàn)椋环矫媸挛锏谋旧硎前l(fā)展變化的，因此，反映事物的概念也要隨之而發(fā)展、變化；另一方面，

5、由于人們的認(rèn)識(shí)是不斷深化的，因而關(guān)于事物的概念也要發(fā)生變化。如數(shù)的概念的形成就是一個(gè)逐步發(fā)展的過程（如圖8-1-1所示）。    對(duì)角的概念的敘述也是不斷深化的。在平面幾何中，角的概念是這樣定義的：具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。但對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)出現(xiàn)的720°或-1440°等不在0°到360°的角，這樣定義的角就不太適合了，因此，平面三角中，對(duì)角的概念又進(jìn)行了擴(kuò)充：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角，并規(guī)定按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，這樣角就有了正負(fù)之分，并將

6、角擴(kuò)充到了全體實(shí)數(shù)。    概念是非?；?、非常重要的。因?yàn)橛辛烁拍畈趴梢赃\(yùn)用概念進(jìn)行判斷和推理，才可以進(jìn)行論證，不可設(shè)想一個(gè)沒有關(guān)于圓的概念的人，能做出關(guān)于圓的命題、推理和證明，因此，要掌握一門科學(xué)，首先要掌握這門科學(xué)的概念。此外，判斷是由概念構(gòu)成的，推理是由判斷構(gòu)成的，論證又是由判斷和推理構(gòu)成的，因此，概念這種思維形式是其他思維形式的基礎(chǔ)，從這個(gè)意義上來說，概念是思念的細(xì)胞。二、概念的內(nèi)涵和外延    概念的內(nèi)涵和外延是構(gòu)成概念的兩個(gè)重要方面。    概念的內(nèi)涵就是指反映

7、在概念中對(duì)象的特有的、本質(zhì)的屬性，是概念質(zhì)的方面，它說明概念所反映的事物是什么樣的；而概念的外延就是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象，是概念的量的方面，通常說的是概念的適用范圍就是概念的外延，它說明概念所反映的是哪些事物。    概念的內(nèi)涵和外延都是主觀對(duì)客觀的一種認(rèn)識(shí)，它們與客觀對(duì)象本身和客觀對(duì)象的特有屬性、本質(zhì)屬性是有區(qū)別的。    例如“平行四邊形”這個(gè)概念，意味著兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，這就是平行四邊形這個(gè)概念的內(nèi)涵。    此外，任何概念都有所指，即概念所指的每一

8、個(gè)事物是什么，平行四邊形這個(gè)概念是指一般的平行四邊形、矩開、菱形和正方形全體，這就是平行四邊形這個(gè)概念的外延。    數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識(shí)的。如，在平面幾何中，角的概念是指具有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形，這樣定義出角的外延是指0°到360°以內(nèi)的角，而角的概念在平面三角中是指一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形，它的外延指任意大小的正角、負(fù)角以及0°的角，顯然這兩種角的概念的內(nèi)涵和外延都是不同的。    數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是密切聯(lián)系、互相依賴的兩個(gè)因素，

9、每一科學(xué)概念既有其確定的內(nèi)涵，也有其確定的處延，而概念之間是彼此互相區(qū)別，界線分明的，不容易混淆。因此，教學(xué)時(shí)要求概念明確，從邏輯學(xué)角度來說，基本的要求就是要明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的對(duì)象具有什么本質(zhì)屬性，明確概念所指的是哪些對(duì)象。只有對(duì)概念的內(nèi)涵和外延兩方面都有準(zhǔn)確的了解，我們才能說對(duì)概念是明確的。三、概念間的關(guān)系    所謂概念間的關(guān)系就是概念的外延間的關(guān)系。在形式邏輯中，根據(jù)概念間的外延有無重合之處，概念間的關(guān)系可分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系。    （一）概念間的相容關(guān)系  &

10、#160; 所謂概念間的相容關(guān)系是指兩個(gè)至少有一部分外延重合的概念間的關(guān)系，它又分為部分重合和完全重合。因此，概念間的相容關(guān)系又可分為同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系三種。    1同一關(guān)系。也叫全同關(guān)系，指如果兩個(gè)概念的外延完全重合，則這兩個(gè)概念之間的關(guān)系是同一關(guān)系。概念的同一關(guān)系可用圖8-1-2表示（A、B表示兩個(gè)概念）：     例如，無理數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)的就是兩個(gè)內(nèi)涵不同，但外延完全相同的概念。但具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念，它們的外延雖然完全重合，但是它們的內(nèi)涵可以不同。比如等腰三角形底邊上的高線、中線

11、以及頂角平分線的外延都是同一條線段，而它們的內(nèi)涵卻各不相同。    研究概念間的同一關(guān)系，可以對(duì)概念所反映的對(duì)象得到較深刻、全面的認(rèn)識(shí)。另外，在推理證明過程中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，可以使論證變得簡(jiǎn)明。    2屬種關(guān)系。不是同一關(guān)系的兩個(gè)概念，如果其中一個(gè)概念的外延完全包含另一個(gè)概念的外延，那么這兩個(gè)概念就具有屬種關(guān)系。在具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念中，外延較大的那個(gè)概念叫做屬概念，外延較小的那個(gè)概念叫做種概念。概念的屬種關(guān)系可用圖8-1-3表示：    具有屬種關(guān)系的兩

12、個(gè)概念，由于各個(gè)概念在這種關(guān)系中所處的地位不同，在邏輯學(xué)中又把屬概念叫做上位概念，把種概念叫做下位概念。例如，實(shí)數(shù)和有理數(shù)是具有屬種關(guān)系的概念，而且由于實(shí)數(shù)的外延完全包含有理數(shù)的外延，因此實(shí)數(shù)是屬概念（或上位概念），而有理數(shù)是種概念（或下位概念）。應(yīng)當(dāng)指出，屬概論和種概念是相對(duì)的，如平行四邊形是矩形的屬概念，但它又是四邊形的概念。另外，作為一個(gè)概念的屬概念未必是唯一的，它的種概念也未必是唯一的，比如平行四邊形、四邊形和多邊形都是矩形的屬概念；而矩形、菱形、正方形又是平行四邊形的種概念。    具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念，它們的外延和內(nèi)涵在數(shù)量上存在互相制約的

13、關(guān)系。即屬概念和種概念之間，一個(gè)概念的內(nèi)涵越多，則它的外延越??；反之，一個(gè)概念的內(nèi)涵越少，則它的外延越大，這種關(guān)系叫做內(nèi)涵與外延的反比關(guān)系，變稱“反變關(guān)系”。根據(jù)這種反變關(guān)系可知，種概念具有它的屬概念的一切性質(zhì)，而且還具有它自己特有的屬性，這種關(guān)系在研究概念的性質(zhì)以及推理、證明中經(jīng)常用到。    3交叉關(guān)系。如果兩個(gè)概念的外延有且只有一部分重合，那么這兩個(gè)概念之間的關(guān)系就是交叉關(guān)系，又稱部分重合關(guān)系。這種交叉關(guān)系可用圖8-1-4表示，其中A、B兩個(gè)概念的外延既有相同部分也有不同部分。    交叉關(guān)系在數(shù)學(xué)中常常見到

14、，也經(jīng)常被用到。例如菱形和矩形就是交叉概念，交集為正方形概念的外延；又如等腰梯形和直角梯形是交叉概念，它們的交集為等腰相角梯形。又如在方程組或不等式組的解集，以及幾何中的軌跡交截法都用到概念的交叉關(guān)系。    （二）概念間的不相容關(guān)系（也叫全異關(guān)系）    所謂概念間的不相容關(guān)系就是指屬于一個(gè)屬概念中的兩個(gè)在外延上沒有任何重合部分的種概念之間的關(guān)系。概念的不相容關(guān)系又分為矛盾關(guān)系和反對(duì)關(guān)系。    1矛盾關(guān)系。在同一屬概念之下的兩種概念，如果它們外延的和等于屬概念的外延，而且

15、這兩種概念具有全異關(guān)系，那么這兩種概念的關(guān)系稱為矛盾關(guān)系?？梢杂脠D8-1-5表示這種關(guān)系，其中A、B兩個(gè)部分表示具有矛盾關(guān)系的兩個(gè)概念的外延，這兩部分沒有任何共同的部分，而且加起來等于屬概念C的全部外延。例如整數(shù)和分?jǐn)?shù)相對(duì)于有理數(shù)來說就是矛盾關(guān)系。    2反對(duì)關(guān)系。在同一屬概念之下的兩個(gè)概念，如果它們的外延的和小于屬概念的外延，而且這兩個(gè)概念具有全異關(guān)系，那么這兩個(gè)概念的關(guān)系稱為反對(duì)關(guān)系或者對(duì)立關(guān)系。反對(duì)關(guān)系可用圖8-1-6來表示，其中A、B兩個(gè)部分表示具有反對(duì)關(guān)系的概念的外延，這兩部分完全沒有相同的地方，但兩者之間和小于屬概念C的全部外延。例如正實(shí)數(shù)

16、和負(fù)實(shí)數(shù)相對(duì)于實(shí)數(shù)而言，就是反對(duì)關(guān)系。四、概念的定義和原始概念    在數(shù)學(xué)科學(xué)系統(tǒng)中，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都要給予確定的內(nèi)容和含義，給概念下定義就是準(zhǔn)確地提示它的內(nèi)涵。在一般情況下，當(dāng)一個(gè)概念的內(nèi)涵被確定后，就有了評(píng)判哪些對(duì)象屬于或不屬于這個(gè)概念的外延的標(biāo)準(zhǔn)，因此，概念的定義可作為判別概念外延的標(biāo)準(zhǔn)，但也有些個(gè)別的數(shù)學(xué)概念采用了直接提示其外延的方法。    （一）下定義的方法    1屬加種差定義法。這是最常用的一種定義法。先看兩個(gè)例子：   &

17、#160;矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。    等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。    這兩個(gè)定義可以寫成下面的形式：    （平行四邊形）（有一個(gè)角是直角）（矩形）    （三角形）（兩條邊相等）（等腰三角形）    這兩個(gè)定義的共同特點(diǎn)是：把被定義的鄰近的屬概念加上被定義概念的所特有的屬性。由于所加上的屬性只是被定義概念所特有的，因此把它叫做被定義概念的“種差”，而這種

18、定義的方式就稱為是屬概念加種差的方式，簡(jiǎn)稱為屬加種差。    用這種方式下定義需要明確兩件事情：第一，要找出被定義概念的鄰近的屬概念，被定義項(xiàng)的概念的外延要被包含在哪個(gè)屬概念的外延之中；第二，要指出它區(qū)別于這個(gè)鄰近屬概念下其它概念的種差，這是對(duì)被定義項(xiàng)內(nèi)涵的揭露。    這種定義方式的優(yōu)點(diǎn)在于能用已定義的概念來定義它的種概念，用種差來提示被定義項(xiàng)的特性與性質(zhì)，這樣的定義既準(zhǔn)確又明了，而且對(duì)提示概念間的關(guān)系很有幫助，可將概念系統(tǒng)化。    2發(fā)生定義方式。有的種差是被定義概念所

19、反映的對(duì)象產(chǎn)生或形成的情況。人們用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差做出定義，叫做發(fā)生定義。    例如，在平面幾何中，將角定義為射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角，這個(gè)定義形象地描述了角的形成過程。雖然這種定義方式用語言敘述起來往往會(huì)比較長(zhǎng)，但它直觀、生動(dòng)，有時(shí)還可用圖形形象地表示出來。    3關(guān)系定義法。有的種差是被定義概念所反映的對(duì)象與另一對(duì)象之間的關(guān)系，或它與另一對(duì)象對(duì)第三者的關(guān)系。人們用對(duì)象之間的關(guān)系作為種差而做出的定義，叫做關(guān)系定義。例如，“奇數(shù)是不能被2整除的數(shù)”就是一種關(guān)系定義，它的種差就是奇數(shù)與2

20、的一種關(guān)系。    4外延定義法。在數(shù)學(xué)中有些概念的外延是單一的或者是幾個(gè)簡(jiǎn)單明顯的對(duì)象時(shí)，往往采用直接提示概念的外延作為它的定義。例如，例如對(duì)實(shí)數(shù)的定義就采用了這種方法，將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。    （二）下定義的基本規(guī)則    形式邏輯的定義規(guī)則是在已有的具體知識(shí)的基礎(chǔ)上，提供下定義所普遍需要遵守的規(guī)則，因此，為了正確地給概念下定義，就要遵守下列基本規(guī)則：    規(guī)則1定義應(yīng)當(dāng)相稱    

21、;這就是說定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)的外延必須相同，要恰如其分，不能擴(kuò)大也不能縮小。    比如，不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這種定義是不合理的，因?yàn)槎x所確定的外延包括了有限不循環(huán)小數(shù)數(shù)，它恰恰是有理數(shù)，無理數(shù)的定義應(yīng)該敘述為：無限不循環(huán)小數(shù)和是無理數(shù)。    規(guī)則2定義不得惡性循環(huán)    在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，如果把甲概念作為已知概念定義乙概念，但是又用乙概念來定義甲概念，這就是定義的惡性循環(huán)，也就是說定義項(xiàng)中不能直接或間接地包含被定義的項(xiàng)。因?yàn)槿绻诙x項(xiàng)中直接或間接地包含被定義的項(xiàng)，這樣的

22、定義仍是不明確的，也達(dá)不到明確被定義項(xiàng)的目的。例如，若用兩直線垂直來定義直角，反過來又用直角來定義兩直線垂直，這樣的定義既不能提示概念的內(nèi)涵，也不能說明概念的外延，所以在定義概念時(shí)不能出現(xiàn)惡性循環(huán)。    規(guī)則3定義要簡(jiǎn)明    這就是說，定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或多余的詞語，不能含有能由推理得出的本質(zhì)屬性。例如：“有兩條邊相等，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”就違背了簡(jiǎn)明的要求。因?yàn)椤皟蓷l邊相等”和“兩個(gè)角相等”這兩個(gè)等腰三角形的本質(zhì)屬性中，任何一個(gè)都可以根據(jù)另一個(gè)經(jīng)過推理而得出。又如，把平行四邊形定義為“兩組對(duì)

23、邊分別平行的平面四邊形”，其中平面一詞是多余的，因?yàn)槠叫谢蛳嘟坏膬蓷l直線必共面，因此，這樣定義平行四邊形又違背了簡(jiǎn)明的原則。    規(guī)則4定義一般應(yīng)避免用否定的形式    定義是為了提示被定義概念的內(nèi)涵，如果定義中包含了類似“不”、“無”、“非”等字樣，那么定義項(xiàng)只能表示被定義項(xiàng)不具有某種屬性，而沒有表示被定義項(xiàng)具有某種屬性，因此定義應(yīng)對(duì)被定義項(xiàng)的本質(zhì)屬性用肯定形式而不應(yīng)用否定形式。例如把奇數(shù)定義為“不是偶數(shù)的數(shù)”，這個(gè)定義既不能提示無理數(shù)的本質(zhì)屬性，也不能確定它的外延，達(dá)不到定義的目的。  &

24、#160; 但是，這個(gè)要求并不是絕對(duì)的，因?yàn)橛行└拍畹奶赜袑傩跃褪侨狈δ硞€(gè)屬性，對(duì)于這樣的事物在下定義時(shí)就必須用否定的形式。比如：“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)”，因?yàn)樗痪哂醒h(huán)這個(gè)特性；再比如：“在平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫做平行線”，因?yàn)槠叫芯€就是在具有“在平面內(nèi)永遠(yuǎn)不相交”的性質(zhì)。    （三）原始概念    在一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中總是要對(duì)概念下定義，而且一定會(huì)用一些已知的概念來定義新的概念，但概念的個(gè)數(shù)是有限的，又由第二條規(guī)則可知，下定義是不能惡性循環(huán)的，因此總有一些概念不能引用別的概念來定義，這樣的概

25、念叫做這個(gè)科學(xué)體系中的原始概念。    比如，把平行四邊形定義為兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，因此就必須先對(duì)四邊形、平行以及對(duì)邊進(jìn)行定義。定義四邊形時(shí)，應(yīng)先對(duì)多邊形及邊進(jìn)行定義，又必須先定義折線，故必須先要對(duì)點(diǎn)和直線進(jìn)行定義。但是，在一般的初等幾何中，點(diǎn)和直線都無法再用已被定義過的概念進(jìn)行定義，它們都是原始概念。在數(shù)學(xué)中，點(diǎn)、直線、平面、集合，空間、數(shù)、量等都是原始概念，但在其中有些是通過公理來直接描述的，雖然有些概念在中學(xué)課本中也有解釋，但這種解釋并不是定義。 五、概念的劃分    把一個(gè)屬概念分為若干個(gè)全

26、異種概念的邏輯方法叫做概念的劃分。如果說下定義是明確概念的內(nèi)涵的邏輯方法，那么，通過概念的劃分，一方面可使有關(guān)概念的知識(shí)系統(tǒng)化、完整化；另一方面對(duì)該概念的外延，對(duì)被分類概念的外延以及概念間的關(guān)系，都能得到深刻的認(rèn)識(shí)。    單獨(dú)概念的外延只是指一個(gè)單獨(dú)的事物，即單元素集，例如太陽、月亮等都是單獨(dú)概念。但大概部分概念都是指反映某一類事物的普遍概念，它的外延往往含有許多成分的子類。這些子類有的數(shù)量有限，研究它的外延時(shí)一一列舉就可以了，但有的數(shù)量很多，如果把它們一個(gè)一個(gè)列舉出來是不太可能實(shí)現(xiàn)的，因此需要用另一種方法來明確外延。這就是將一個(gè)概念所指的事物，按照不

27、同的屬性分成若干個(gè)小類，從概念來講，也就是將一個(gè)屬概念劃分為若干種概念，即劃分。其中被劃分的類叫做劃分的母項(xiàng)，若干小類叫做劃分的子項(xiàng)。    （一）概念劃分的基本規(guī)則    規(guī)則1劃分后各子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容    這就是說，劃分后不能有一些元素既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)，即任何兩個(gè)子項(xiàng)之間不能有交集，所以在各個(gè)子項(xiàng)之間必須有全異關(guān)系。    規(guī)則2各個(gè)子項(xiàng)必須窮盡母項(xiàng)    即要求劃分所得的、

28、全異的子項(xiàng)的總和（并集）應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)完全相同，這樣被劃分概念的每一個(gè)對(duì)象都應(yīng)落到一個(gè)且僅一個(gè)種概念內(nèi)。如果子項(xiàng)不窮盡母項(xiàng)，那么必然有一些屬于母項(xiàng)的事物不屬于任何一個(gè)子項(xiàng)。    上述這兩條規(guī)則說明，概念的劃分必須做到不重不漏。比如，把整數(shù)分為正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)是合理的，但如果把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，這樣的劃分就是不正確的，因?yàn)檎叫渭仁橇庑我彩蔷匦危粋€(gè)對(duì)象落在了兩個(gè)子項(xiàng)里，而且又犯了子項(xiàng)不能窮盡的錯(cuò)誤，因?yàn)檫@樣的劃分漏掉了鄰邊不等的斜平行四邊形。    規(guī)則3每一次劃分應(yīng)該用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) &#

29、160;  由于實(shí)踐需要的不同，所要達(dá)到的目標(biāo)也不同，因此劃分的標(biāo)準(zhǔn)就可以不同，但每一次劃分不能用兩個(gè)或兩個(gè)以上的標(biāo)準(zhǔn)劃分，否則就會(huì)產(chǎn)生混亂。比如對(duì)于整數(shù)的劃分，一會(huì)兒按照奇、偶性進(jìn)行劃分，可一會(huì)兒又按照正、負(fù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不但會(huì)造成劃分時(shí)不能窮盡母項(xiàng)，還會(huì)出現(xiàn)子項(xiàng)交融的現(xiàn)象，造成劃分的混亂。    規(guī)則4劃分時(shí)不得造成越級(jí)    劃分時(shí)，應(yīng)該把屬概念分為最鄰近的種概念，即劃分時(shí)應(yīng)避免出現(xiàn)越級(jí)的現(xiàn)象。比如，把復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)是正確的，但如果把復(fù)數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù)和虛數(shù)就越級(jí)了，這樣會(huì)造成概念

30、系統(tǒng)的混亂。    （二）概念劃分的基本方法    1二分法    把一個(gè)概念的外延中具有某個(gè)屬性的對(duì)象作為一類，把恰好缺乏這個(gè)屬性的對(duì)象作為另一類的方法就是二分法。二分法對(duì)于概念的正確劃分起著非常重要的作用，因?yàn)檫@種劃分方法將被劃分的概念分為兩個(gè)互相矛盾的概念，最后所得到的種概念就一定能滿足上述幾條規(guī)則，而不致發(fā)生錯(cuò)誤。而且為了集中注意概念的某些屬性，采用二分法是有好處的，比如，為了研究數(shù)的正負(fù)及絕對(duì)值問題，將實(shí)數(shù)分為負(fù)數(shù)和非負(fù)數(shù)是必要的。   

31、; 2一般的劃分方法    在概念的劃分時(shí)，一般會(huì)按照對(duì)象的本質(zhì)屬性或特征的不同，把屬概念分為幾個(gè)具有全異關(guān)系的種概念，使得劃分的結(jié)果比較穩(wěn)定，至于分成多少個(gè)概念要由劃分的目的和被劃分概念固有的屬性來決定。    如，按角的大小，可將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；按邊的相等關(guān)系，可將三角形分為等腰三角形和不等邊三角形?？梢?，劃分的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同。但是有些概念有自然的特征，就應(yīng)按概念的自然特征來劃分。比如，多邊形應(yīng)該按照邊數(shù)來劃分，邊數(shù)是幾，就稱為幾邊形，像三角形、四邊形、五邊形

32、等。六、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)    我們知道，數(shù)學(xué)離不開推理，推理依靠判斷，而判斷又是以概念為基礎(chǔ)的，因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。另外，深入理解數(shù)學(xué)概念的過程會(huì)使抽象邏輯思維得到鍛煉，對(duì)提高思維能力有促進(jìn)作用，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要重視概念的教學(xué)。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，由于概念本身的難易程度，概念本身的特點(diǎn)以及要求掌握的程度不同，因此對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體要求也不同。一般來說，對(duì)數(shù)學(xué)中一些重要概念的教學(xué)時(shí)，不但要使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延以及其表達(dá)形式，還要了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中不斷加深擴(kuò)大對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，成為系統(tǒng)知識(shí)，并要求能夠運(yùn)用概念來解

33、決數(shù)學(xué)問題。為了達(dá)到這樣的要求，建議在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時(shí)，應(yīng)采用如下教學(xué)法：    （一）概念引入的方法要得當(dāng)    在教學(xué)過程中，一定要讓學(xué)生感覺到引入這個(gè)概念是必須而且必然的，也就是重視概念的引入，概念的引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的重要基礎(chǔ)。概念的引入通過采用如下的教學(xué)手段：    1從概念的來源引入    每個(gè)概念都有其產(chǎn)生和發(fā)展的過程，而且中學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分概念都有它的現(xiàn)實(shí)模型，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，學(xué)生在生活和學(xué)

34、習(xí)過程中，或多或少都有過接觸。因此從認(rèn)識(shí)論的觀點(diǎn)來看，在引入概念時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)各個(gè)概念產(chǎn)生發(fā)展的具體途徑，讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)推測(cè)的想象，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段，讓學(xué)生不單知道其然，更要讓他知道其所以然。    比如負(fù)數(shù)的引入，學(xué)生在生活當(dāng)中已接觸過大量的具有相反意義的量，因此，在教學(xué)過程中從具有相反意義的量來引出負(fù)數(shù)的概念是很可行的。但教師一定要向?qū)W生明確，在數(shù)學(xué)當(dāng)中引入負(fù)數(shù)有它自己獨(dú)特的意義，也就是說，負(fù)數(shù)的引入可以解決小數(shù)減大數(shù)的問題，這也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。    2

35、由已知引未知概念引入法    在數(shù)學(xué)問題解決中，常常采用的處理法就是將未知的問題盡可能的向已知知識(shí)轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，也可以采用從已知概念引入新概念的方法，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。比如，在引入二元一次方程的概念時(shí)，就可先讓同學(xué)回憶什么是一元一次方程。    3比較法引入數(shù)學(xué)概念    著名的教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。如果我們面前出某種新東西，而我們既不能拿它去同什么東西比較，又不能把它同什么東西區(qū)別開來，那么

36、我們就不能對(duì)它形成一種思想，也不能對(duì)它說出一句話來?！边@句話恰如其分是說明了比較法的重要性。    按照比較指向的對(duì)象來分，比較法可分為同類事物間進(jìn)行比較，以及不同類，但具有相似或相關(guān)事物間進(jìn)行的比較。兩種比較方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中都是非常必要的，但在知識(shí)的領(lǐng)會(huì)階段，重要的還是同類事物間的比較，因?yàn)檫@樣更容易向?qū)W生明確概念內(nèi)涵；而后再應(yīng)用第二種比較法，這便于學(xué)生將知識(shí)之間建立聯(lián)系，形成一個(gè)系統(tǒng)，從而對(duì)知識(shí)有更深刻的領(lǐng)悟。    （二）明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延    在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)

37、，教師要重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)定義中的屬概念和種差，認(rèn)識(shí)被定義的概念既有它的屬概念的一切屬性，同時(shí)又有它自己的特性，這樣就向?qū)W生明確了概念的內(nèi)涵；為了使學(xué)生加深對(duì)所學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)定義做出判斷，以此來明確概念所涉及的對(duì)象范圍，也就是概念的外延。當(dāng)然，根據(jù)概念定義方式的不同，可以采用概念劃分的方法等，來提示概念的內(nèi)涵和外延。    比如，關(guān)于等腰三角形概念的教學(xué)，應(yīng)指出等腰三角形是一種三角形，也就是說它是由三條線段首尾順次相接所組成的圖形，它有著一般三角形都具有的一切性質(zhì)。同時(shí)，又要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，等腰三角形具有兩條邊相等的這個(gè)特性，這也是其它一般三角形所

38、不具有的性質(zhì)，也就是等腰三角形的種差，這樣的明確之后，學(xué)生就會(huì)對(duì)等腰三角形概念的內(nèi)涵有了全面認(rèn)識(shí)，那么學(xué)生就很容易對(duì)一個(gè)三角形是否是等腰三角形做出正確的判斷，也就明確了概念的外延。    （三）概念的表述要準(zhǔn)確    數(shù)學(xué)語言是力求精確、科學(xué)，而數(shù)學(xué)概念的定義更是多一字不可，少一字不行的，因此，在概念形成之后，應(yīng)及時(shí)地讓學(xué)生用語言準(zhǔn)確地表述出來，以加深對(duì)概念的印象，促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性。    例如，一元二次方程是這樣定義的：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二，系數(shù)不

39、等于0的方程叫一元二次方程。而學(xué)生往往會(huì)忽略一些關(guān)鍵成分，比如“只”、“系數(shù)不等于0”，這時(shí)教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生辨別有這些字和沒有這些字的區(qū)別。如果把“只”去掉，那么方程當(dāng)中還可能含有其它的未知數(shù)，也就不是“一元”了；如果丟掉“系數(shù)不等于0”，那么很可能最高次項(xiàng)的系數(shù)是0，也就不存在二次項(xiàng)，也就不能稱其為二次方程了。通過這樣的剖析，不但讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且培養(yǎng)了他們的語言表達(dá)能力，也鍛煉了思維能力。    （四）概念的鞏固    鞏固概念是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，概念一旦獲得后，如果不及時(shí)鞏固，就會(huì)被遺忘。鞏

40、固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念生，引導(dǎo)學(xué)生正確復(fù)述概念；其次是靈活的應(yīng)用概念。而概念的復(fù)述在前面已經(jīng)涉及到了，所以這里主要談?wù)劯拍畹膽?yīng)用。    概念的應(yīng)用就是指學(xué)生在領(lǐng)會(huì)概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用概念去解決同類事物的過程。數(shù)學(xué)的運(yùn)算、推理、證明必須以有關(guān)概念為依據(jù)，而且靈活地運(yùn)用概念，不但可以使學(xué)生更牢固的掌握數(shù)學(xué)概念，還對(duì)提高學(xué)生提高分析問題與解決問題的能力有很大幫助。    比如，在證明等腰三角形底邊上的中線、高線以及頂角平分線三線合一的性質(zhì)時(shí)，就要用到等腰三角形定義中有兩條邊相等這一特點(diǎn)。  &

41、#160; 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)最重要、最基礎(chǔ)的組成部分，是進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，也是培養(yǎng)學(xué)生能力、發(fā)展學(xué)生的智力的重要因素，因此，教師在教學(xué)過程中要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。在教學(xué)過程中，應(yīng)針對(duì)不同的數(shù)學(xué)概念采用不用的講授方法，并引導(dǎo)學(xué)生入時(shí)的鞏固概念，應(yīng)用概念，不斷提升教學(xué)質(zhì)量。    總之，概念教學(xué)大致要經(jīng)歷這樣幾個(gè)階段：概念的提出、形成、明確以及鞏固。為此有人把掌握概念的過程歸納為五個(gè)階段：引進(jìn)、醞釀、建立、鞏固、發(fā)展。具體來說，對(duì)一個(gè)新概念的教學(xué)，一般要求：    1目的性教學(xué)，

42、揭示為什么要研究新概念。一般通過兩個(gè)途徑，一是生產(chǎn)、生活中的實(shí)際需要；二是原有概念的缺陷。例如，由于在實(shí)數(shù)集中方程無解，于是需要擴(kuò)大數(shù)集。    目的性教學(xué)對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，規(guī)范研究的方向，有著不可忽視的作用。    2發(fā)現(xiàn)性教學(xué)。顯示出用來抽象出新概念的材料，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些材料的共同特征及規(guī)律。    通過發(fā)現(xiàn)性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析和綜合事物的能力，并初步認(rèn)識(shí)概念的內(nèi)涵和外延。    3歸納性教學(xué)。把感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，把已發(fā)現(xiàn)

43、的對(duì)象的特征用概括語言描述出來，最后用定義的形式反映概念。    4鞏固性教學(xué)。著重于重復(fù)、印證、再現(xiàn)等正面鞏固。其中印證和再現(xiàn)，并不是機(jī)械重復(fù)定義，而可以通過用定義去判斷和推理某些對(duì)象的屬性，在運(yùn)用中靈活生動(dòng)地復(fù)述定義，或強(qiáng)調(diào)定義中容易被忽略和混淆的某一側(cè)面等等。    5發(fā)展性教學(xué)。這一階段主要抓引伸、聯(lián)系、變化。    引伸：如中的a，b可以是具體數(shù)字，也可以是表示數(shù)的式。    聯(lián)系：主要是概念與其它概念的聯(lián)系；理論與實(shí)際的聯(lián)系

44、(利用新建立的概念去解決實(shí)際問題)。    變化：通過變式，加深認(rèn)識(shí)。例如，長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)是不是函數(shù)關(guān)系？這樣一個(gè)變化，便從反面強(qiáng)調(diào)了函數(shù)概念。    總之，概念教學(xué)要特別強(qiáng)調(diào)下述重要的指導(dǎo)思想：    1在體系下把握概念(即把概念放在指定的知識(shí)結(jié)構(gòu)下來認(rèn)知)；    2按一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來教學(xué)(具體一般具體；多采用對(duì)比、比較、歸納等)。    附 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（7-9年級(jí)）“

45、同類項(xiàng)”教學(xué)案例     一、教材內(nèi)容：華東師大出版社出版，七年級(jí)上冊(cè)第三章整式的加減§3.4.1     二、教學(xué)目標(biāo)    1理解并掌握同類項(xiàng)的概念；    2經(jīng)歷探索和體驗(yàn)同類項(xiàng)有關(guān)概念的獲得過程，會(huì)識(shí)別多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)。    3培養(yǎng)學(xué)生分類歸納的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生有條理的思考習(xí)慣。    三、教學(xué)內(nèi)容分析  

46、0; 教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)識(shí)別多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)    教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生分類歸納的能力    四、教法學(xué)法設(shè)計(jì)    以教師的精講、點(diǎn)撥引導(dǎo)為主，輔以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作交流    五、教學(xué)過程    （一）創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課    1填空：多項(xiàng)式有_ _項(xiàng)，它們分別是_ _、_ _、_ _、_ _、_ _、_ _。   

47、60;2有句成語，叫“物以類聚”，意思是說，同一類型的東西可以聚在一起。當(dāng)然，不同類型的東西就不能隨意聚集。比如，收拾房間，書放上書架，衣服放入衣櫥，碗盤放進(jìn)碗櫥而不能把碗朝衣櫥里放，衣服堆到書架上再如，媽媽叫你去買幾斤面，并且打半斤油，請(qǐng)問：僅拿一只面口袋，把面和油都放進(jìn)口袋行嗎？這就是“物以類聚”。    在數(shù)學(xué)里，時(shí)常用到這種同類相聚的思想。看前面這個(gè)多項(xiàng)式的各個(gè)項(xiàng)，就可以把具有相同特征的項(xiàng)進(jìn)行歸類。你認(rèn)為上述多項(xiàng)式中哪些項(xiàng)可以歸為一類？    （與可歸為一類，與可歸為一類，-3與5也可歸為一類） 

48、   （二）探索規(guī)律，總結(jié)同類項(xiàng)定義    1問題：上面被歸為同一類的項(xiàng)有什么特征？    （先引導(dǎo)學(xué)生分析與只有系數(shù)不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指數(shù)都是2，y的指數(shù)都是1；與也只有系數(shù)不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指數(shù)都是1，y的指數(shù)都是2。然后歸納為：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等。）    2同類項(xiàng)定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。    

49、;說明：    （1）兩個(gè)相同：字母相同，同字母的指數(shù)相同。    （2）兩個(gè)無關(guān)：與系數(shù)大小無關(guān)，與字母順序無關(guān)。    思考：所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)嗎？（是）    練習(xí)：    · 與是同類項(xiàng)嗎？為什么？    · 與、abc與-2abc、4st與-5ts是同類項(xiàng)嗎？為什么？    （三）根據(jù)

50、概念，嘗試解決問題    例1 指出下列多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)：    （1）3x-2y+1+3y-2x-5    （2）    解：（1） 3x與-2x ，-2y與+3y，-5與+1分別是同類項(xiàng)。    （2）與,+與分別是同類項(xiàng)。    例2 k取何值時(shí)，與是同類項(xiàng)?    分析：先假定與是同類項(xiàng)，然后求k。已知所含字母

51、相同，根據(jù)同類項(xiàng)的定義，還需相同字母的指數(shù)相等，所以k=2。    解：當(dāng)k=2時(shí)，與是同類項(xiàng)。    引申1：k為何值時(shí)，與是同類項(xiàng)？    引申2：m、n為何值時(shí)，與是同類項(xiàng)？    （四）鞏固練習(xí)    練習(xí)第1.2.3.題，（根據(jù)情況適當(dāng)補(bǔ)充部分題目）。    （五）小結(jié)（由學(xué)生回答，然后教師總結(jié)）    1什

52、么叫同類項(xiàng)？    2所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)嗎？    （六）作業(yè)    p.114 習(xí)題3.4 第 1.2.3題。    六、點(diǎn)評(píng)    這是一片基于傳統(tǒng)內(nèi)容的新課程初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，其教學(xué)內(nèi)容單調(diào)，很難聯(lián)系、現(xiàn)實(shí)情景。在設(shè)計(jì)中，馮老師思路清晰，目標(biāo)明確：在多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上自然引入新課，從一開始就注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)的分類思想；然后，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探索同類項(xiàng)的特征，并總結(jié)出同類項(xiàng)的定義；繼而，進(jìn)行同類項(xiàng)的辨

53、析與引申，為以后的合并同類項(xiàng)打好基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)命題    一、命題的意義    人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐中，產(chǎn)生概念之后，就要運(yùn)用概念做出各種判斷。例如，通過對(duì)有理數(shù)的研究，我們?nèi)菀鬃龀鲞@樣的判斷：    正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)；    零沒有倒數(shù)。    這些判斷反映了正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的倒數(shù)的情況。其中肯定“正數(shù)的倒數(shù)”是“正數(shù)”，“負(fù)數(shù)的倒數(shù)”是“負(fù)數(shù)”這樣的性質(zhì)；c否定了“零有倒數(shù)”這一性質(zhì)。

54、這些判斷的形式不一樣，但是具有共同的特征，都是對(duì)客觀事物有所肯定或有所否定。    由此可知，判斷是對(duì)客觀事物的一種認(rèn)識(shí)，是對(duì)客觀事物有所肯定或是否定的一種思維形式。在判斷中常反映著：某屬性是否屬于這個(gè)或那個(gè)思維對(duì)象；各思維對(duì)象間的關(guān)系；各對(duì)象間的制約關(guān)系等等。因此對(duì)思維對(duì)象有所肯定或有所反映乃是判斷的最顯著的特點(diǎn)。    表示判斷的句子叫做命題，并且這種句子只能是可以判斷真假的陳述語句。定義、公理、定理、公式、性質(zhì)、法則等都是數(shù)學(xué)命題。    例如：三角形的一個(gè)外角等于與它

55、不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。這兩個(gè)句子都做出了判斷，因此它們都是命題。    根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以把命題分成幾種不同的類型，但通常按照命題本身是否還包括其他的命題，我們可以把命題分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題。    簡(jiǎn)單命題是命題本身不再包含其他命題的命題。按其所斷定的對(duì)象是性質(zhì)還是關(guān)系而分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題。    復(fù)合命題是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡(jiǎn)單命題組成的命題。按照組成復(fù)合命題的各個(gè)簡(jiǎn)單命題之間的結(jié)合情況如何，分為負(fù)命題、聯(lián)言命題、選言命題、假言命題。

56、0;   命題的分類用圖形表示如下:二、命題的結(jié)構(gòu)    在邏輯學(xué)中，把命題中沒有固定含義的代詞或未完全確定的對(duì)象叫做變項(xiàng)，而將具有固定含義的詞或概念叫做常項(xiàng)。比如命題“如果p，那么q”，其中“p”、“q”都是變項(xiàng)，“如果”、“那么”則是常項(xiàng)。    命題的形式多樣，將簡(jiǎn)單命題用一些邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來就構(gòu)成了復(fù)合命題。基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞通常包括以下幾種：    （一）非（表否定）    設(shè)p表示一個(gè)命題，若否

57、定命題p，就得到了命題“非p”,記作，與p互為反命題。    （二）且（表合取）    設(shè)p、q表示兩個(gè)命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把它們聯(lián)結(jié)起來得到新的命題“p且q”，記作，這個(gè)式子叫做命題p和q的合取式。    （三）或（表析?。?#160;   設(shè)p、q表示兩個(gè)命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把它們聯(lián)結(jié)起來得到新的命題“p或q”，記作，這個(gè)式子叫做命題p和q的析取式。    （四）如果，那么 （蘊(yùn)涵） 

58、   p、q表示兩個(gè)命題，用“如果 ，那么 ”聯(lián)結(jié)起來，得到新命題“如果p，那么q”，記作，這個(gè)式子叫做命題p和q的蘊(yùn)含式。    （五）當(dāng)且僅當(dāng)    設(shè)p、q表示兩個(gè)命題，用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)結(jié)起來得到新命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，記作“”，這個(gè)式子叫做充分必要蘊(yùn)涵式。    數(shù)學(xué)命題通常寫成“若p，則q”的形式，其中“若p”部分叫做命題的條件或題設(shè)，“則q”部分叫做命題的結(jié)論。任何一個(gè)命題都可以寫成“若p，則q”，比如命題“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相

59、平分”改寫后的形式為：若一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的兩條對(duì)角線互相平分，這樣改寫的目的是為了更方便找出命題的條件與結(jié)論。 三、命題演算    命題演算是一種最簡(jiǎn)單的邏輯演算，又稱命題邏輯。用命題變?cè)兔}連詞按一定方式聯(lián)結(jié)就可以組成命題公式，一個(gè)命題公式中的每個(gè)命題變?cè)既《ㄕ婕僦禃r(shí)，這個(gè)公式的真假值也就確定了，因此，一個(gè)命題公式也就是一個(gè)真值函數(shù)。    無論命題變?cè)∈裁粗担}公式都取真值，這樣的公式叫做恒真式，也叫重言式。無論命題變?cè)趺慈≈?，兩個(gè)命題公式A，B的取值永遠(yuǎn)相同，就稱 

60、A，B邏輯等價(jià)。記作。實(shí)際上，當(dāng)且僅當(dāng)是恒真式，一些基本的等價(jià)式，例如pp，()，()，()，都可以用作命題公式等價(jià)變換的代數(shù)規(guī)則。這些規(guī)則可以把任何一個(gè)命題公式變換成與之等價(jià)的有標(biāo)準(zhǔn)形式的命題公式。這種標(biāo)準(zhǔn)形公式反映出一定的性質(zhì)，取值的規(guī)律。    （一）復(fù)合命題的值    如果用1來表示一個(gè)命題的真值，而用0來表示一個(gè)命題的假值，那么命題公式的真假值的取法就可以列表給出，這種表叫做真值表。    由“或”、“且”、“非”三個(gè)基本邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的新命題的真假值，是由構(gòu)成新命

61、題的簡(jiǎn)單命題（p、q）的真假值決定的，其真值表表示如下：110011100101011001001100表4-1-1    因此，一個(gè)復(fù)合命題可利用真值表計(jì)算它的值。    例和的真值表如下：1101110101101001110100010010表4-1-2    由此可見，恒為真，恒為假。若一個(gè)命題在任何情況下都為真，則稱為恒真命題；若一個(gè)命題在任何情況下都為假，則稱為恒假命題。特別的，語句常項(xiàng)“1”可看作是一個(gè)恒真命題；“0”可看作是一個(gè)恒假命題。  

62、;  如果（邏輯等價(jià)，即同真或同假），那么命題就是一個(gè)恒真命題（根據(jù)等價(jià)定義，同真為真，同假為假），這樣當(dāng)且僅當(dāng)可以寫成。同樣，如果A是恒假命題，那就可以寫成，如上表中。    （二）命題演算中常用的等價(jià)式    邏輯等價(jià)也稱等值，在邏輯學(xué)中，具有等值關(guān)系(邏輯等價(jià)關(guān)系)的命題，在推理論證過程中可以互相代替。    下面是命題演算中常用的等價(jià)式：    （1）雙重否定律：    

63、0;（2）冪等律：    （3）交換律：     （4）結(jié)合律：    （5）分配律：    （6）吸收律：     （7）德摩根律：     （8）同一律：    （9）     （10）     （11）   

64、60; （12）四、性質(zhì)命題、關(guān)系命題    （一）性質(zhì)命題    性質(zhì)命題就是斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。例如：有些四邊形是平行四邊形；任何一個(gè)圓都不是直線形。    在性質(zhì)命題中，雖然斷定的事物具體內(nèi)容不同，但都由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)、量項(xiàng)所組成。命題的主項(xiàng)指的是指命題中表示判斷對(duì)象的概念，邏輯學(xué)中通常用“S”表示。例如，矩形是平行四邊形，“矩形”就是主項(xiàng)。    命題的謂項(xiàng)指的是指命題中表示判斷對(duì)象的性質(zhì)的概念

65、，通常用“P”表示。例如上述命題中，“平行四邊形”就是謂項(xiàng)。    命題中都有一個(gè)聯(lián)系主項(xiàng)和謂項(xiàng)的關(guān)系詞，我們稱之為命題的聯(lián)項(xiàng)，通常又被稱為命題的“質(zhì)”。例如“是”、“不是”、“能”、“不能”、“有”、“沒有”。    在主項(xiàng)或是謂項(xiàng)前一般都由一個(gè)表示判斷對(duì)象數(shù)量的概念，稱之為命題的量項(xiàng)。如“一切”、“有的”。量項(xiàng)又稱為命題的“量”，通常分為兩種：全稱量項(xiàng)（表示在一個(gè)命題中對(duì)主項(xiàng)的全部外延作了斷定，通常用“所有”、“任何”、“一切”等詞語表示，在命題的語言表達(dá)中可以省略）和特稱量項(xiàng)（表示對(duì)主項(xiàng)的部分外延作了斷定，常

66、用“有的”、“某些”等詞語表示，在命題的語言表達(dá)中不能省略）。例如：“矩形是平行四邊形”中，“矩形”是主項(xiàng)，“平行四邊形”是謂項(xiàng)，“是”是聯(lián)項(xiàng)，對(duì)主項(xiàng)進(jìn)行限定的量項(xiàng)“所有”被省略。    性質(zhì)命題的基本邏輯結(jié)構(gòu)是“所有(有的)S是(不是)P”。按照性質(zhì)命題的“聯(lián)項(xiàng)”，即“質(zhì)”的不同，可以將其分為肯定命題(斷定事物具有某種性質(zhì))和否定命題（斷定事物不具有某種性質(zhì)）；按照性質(zhì)命題的量的不同，可分為全稱命題（斷定某類中的每一個(gè)對(duì)象或某一個(gè)別對(duì)象是否具有某種性質(zhì)）和特稱命題（斷定某類中的部分對(duì)象是否具有某種性質(zhì)）。    

67、按照性質(zhì)命題中質(zhì)和量的不同結(jié)合，可將性質(zhì)命題分為如下四種：    1全稱肯定命題：斷定一類事物的全部都具有某種性質(zhì)的命題。通常用“A”表示。邏輯形式是：“所有的S都是P”。    2全稱否定命題：斷定一類事物的全部都不具有某種性質(zhì)的命題。通常用“E”表示。邏輯形式是：“所有的S都不是P”。    3特稱肯定命題：斷定一類事物中的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)的命題。通常用“I”表示。邏輯形式是：“有的S都是P”。    4特稱否定命題：斷定一類事

68、物中的部分對(duì)象不具有某種性質(zhì)的命題。通常用“O”表示。邏輯形式是：“有的S不是P”。    （二）關(guān)系命題    關(guān)系命題就是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題。例如，ABC全等于EFG；直線AB平行于直線CD。    關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成。主項(xiàng)又稱為關(guān)系項(xiàng)，是指存在某種關(guān)系的對(duì)象。謂項(xiàng)又稱關(guān)系，是指各個(gè)對(duì)象之間的某種關(guān)系。量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量。例如，直線AB平行于直線CD，“直線AB”是關(guān)系前項(xiàng)，“直線CD”是關(guān)系后項(xiàng)，“平行于”是謂項(xiàng)。    關(guān)系可以存在于兩個(gè)或是兩種事物之間，也可以存在于兩