二項(xiàng)式定理解題技巧

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二項(xiàng)式定理1 .二項(xiàng)式定理：(a +b)n =C：an +Cnan,b +川 +*“為+| |+Cnbn(n e N *),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C n (r =0,1,2，,n).項(xiàng)數(shù)：共(r+1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r+1項(xiàng)C；anbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用TT=C：anbr表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有 (n+1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a, b,其順序不能更改。(a+b)n與(b+a)n是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指

2、數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,是升哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n .系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是CnClC：,C；,C；.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))。4 .常用的結(jié)論：令 a =1,b =x, (1 x)n =C0 C：x Cnx2 IH C；xI Cnxn(n N )令 a =1,b = _x,(1-x)n =C0 Cnx+C：x2 HI +C：xr +|+(1)nCnxn(nW N*)5 .性質(zhì):二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 C0 =Cn , C： =C：/二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a =b =1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為 C0 +Cn +C

3、n +川+C；+HI +Cnn = 2n ,變形式 C；+C： H+C； +|H+C2n-1o奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令 a =1,b = 1,則 C： C： +C： -c3 +川 +(1)nCn = (1 _1)n = 0 ,0 , 2 2 , 4 4 2r . .C1 c32r 1_1 cn_ on 1Htj 彳寸到. Cn C n Cn Cn Cn CnCn 2 -22奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:學(xué)習(xí)必備歡迎下載n 仆0 n 0 c1 n 1 c2 n 2 2n 0 n12n(ax)=CnaxCna _xCna_x |Cnax a0a1xa2xH

4、| anxn 0 0 n 1 n J 2 2 n _2n n 0n21(xa)= CnaxCnax -Cnax 一|Cnax = anx |a2xa1x a0令x =1,貝1Ja0 +a1 +a2 +a31tl+an = (a+1)n令x = _1,貝1Ja0 -a1 +a2 -a3 +川 +an =(a-1)n+得，a0+a2+a4H|+an = (a+1、+(a-1)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2-得，a1 +a3 +a5H|+an =(二二(叱(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2取得最大值。n J n 1如果二項(xiàng)式的哥指數(shù) n是奇數(shù)時(shí)，

5、則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) c/, Cn2同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a+bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別、，. .Ar1-Ar為A1，A2, , An書，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來。nAr 1 - Ar 26.二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：c1 +C： 6+c3 62+川+C； 6n=.解：(1 +6)n =C； +C： 6 +C： 62 +C； 63 +用 +Cn 6n與已知的有一些差距，c1.c2q.c3 2 , n n_1 1/c1 公.C2 2n n Cn Cn 6 Cn 6 Cn 6 =-(Cn 6

6、Cn 6 Cn 6 )6= 1(C：+Cn 6+C； d+lli + C： 6n-1)=1(1+6)n1=1(7n-1)666練：Cn 3C2 9C3 Hl 3ndCn =.解：設(shè) Sn =G +3Cn +9C； +川+3n-*C；,貝U3S =C13+C232C333Cn3n=C0C13 C232C333Cn3n -1 = (1+ 3)n- 10n JnJnnnnJnJnnn1()S _ (1 3)n -1 . 4n -1Snc33題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式（，1+行戶的展開式中倒數(shù)第 3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知 C：=45 ,即 C： =45

7、,n2 n 90 =0,解得 n = 9（舍去）或n =10 ,由學(xué)習(xí)必備歡迎下載10 r 2，八-Tri =C；0(x-4)10(x3)r =C；xy 3r,-10- r2-r,由題息一+ r =3,解得r = 6 ,43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)丁64 =Ci6)x3 =210x3,系數(shù)為210。練：求(x2 1)9展開式中x9的系數(shù)？2x解：書=C；(x2)()=C；x18(l)rx,=C9(-)rx18r ,令 183r =9,則 r =32x22故x9的系數(shù)為 c；(一)3=-I1。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(x2+=)10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2 , x5解：T7=C

8、1r0(x2)10(，)r =C1r0()rx 引，令 20-5r =0,得 r =8,所以 丁9 =對(duì)(1)8=至2 , x 2222561 A練：求一項(xiàng)式(2x-)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解：Tr+ =C；(2x)(1)r (2)r =(1)rC；2(1)rx6/r,令 6-2 r =0 ,得 r =3,所以 T4 = (1)3C3 = 202x22 1練：若(x +一)的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=. x解：T5 =C4(x2)i(1)4 =C4x2n2,令 2n -12 = 0 ,得 n = 6. x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(Jx-次)9展開式中

9、的有理項(xiàng)？1127解：T=C；(x2)(x3)r =(1)(叔丁，令 rwz,( 0 5 W9)得 r =3或r = 9,6所以當(dāng) r =3時(shí)，7r=4, T4 =(1)3C3x4 = 84x4 , 6當(dāng) r=9 時(shí)，27sL =3, T10 =(-1)3C9x3 =x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；-256，求 n.例：若(疝-亍)n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為- x解：設(shè)(. x2 -n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為 a0,a1，an,令 x =1，則有 a。+a + -an =0,，令 x=1，則有 a。a1 +a? -a3 + + (T)nan =2n,學(xué)習(xí)必備歡迎下載將

10、-得：2(a1 + a3 + a + , 1 ) = 2，; a1 + a3 + a5 + , 1 = 2 ,有題意得，-2n- = 256 = 28,二 n = 9。練：若 QI +,J)n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。Or o 02 24 4 2 2 ri 1 3 32 2 r -1.c n _1n n1/ - 有力 /日/ /斛：,Cn +Cn +Cn -+Cn +-=Cn + Cn + + Cn +=2 ，J, 2=1024 ,解得 n =11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為 n=6, n=7,%邛=C；!）%,）5 = 462 .x , 丁6干=462 題型六：最大系

11、數(shù)，最大項(xiàng)；1例：已知（a+2x）n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最 大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：C：+C： =2C5,. n2 21n+98 = 0，解出n = 7或n=14,當(dāng)n=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是1351 T4和T5，T4的系數(shù)=C7（a）2 = , , T5的系數(shù)=C7（3）2 =70，當(dāng)n=14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)1 r r最大的項(xiàng)是丁8, J.T8的系數(shù) =C；4（）727 =3432。2練：在（a+b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n =Tn書，

12、也就是第n + 1項(xiàng)。，X 1 n練：在（一-7）的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？ 2 3 x解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 口+1=5,即n =8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C；（1）2 = 722例：寫出在（a-b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的哥指數(shù) 7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有3 4. 34 3. 4T4 = -C7a b的系數(shù)最小，T5 =C7ab系數(shù)最大。1C例:解:若展開式刖二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 ,求（-+2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?(1 + 2x)12 =

13、 g)12(1 + 4x)122012由Cn +Cn +Cn = 79，解出n=12，假設(shè)Tr +項(xiàng)最大,Ar ArC1r24r -C12 4r一展開式中系4 r =2 12 書書，化簡(jiǎn)得到 9.4ErE10.4,又：0ErE12,，r=10, Ar 1 - Ar 2C；24r .C；214r l數(shù)最大白項(xiàng)為T11,有1 =（1）12c10 10 1010C124 x =16896x學(xué)習(xí)必備歡迎下載練：在（1 +2x）10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：假設(shè)Tr4項(xiàng)最大，；Tr4=Cir0 2rxr. r r _ r 1 r 1Ar 1 Ar C102 C10 22(11 - r) r|r-

14、 r =廠010上上解得 / ()一，化簡(jiǎn)彳#至 6.3EkM7.3，又；0wr W10,Ar 1 - Ar 2 C1r02r _C1r012, r 1-2(10 - r)，r =7 ,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 T8 =d27x7 = 15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)（x2 +3x+2）5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：（x2+3x+2）5=（x2+2）+3x5,TT=C；（x2+2）5,（3x）r,當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)，1平的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)書=T2 =C5（x2 +2）43x ,所以x得一次項(xiàng)為C5C：243x它的系數(shù)為C5c：243 =240。解法：(x2 +3x

15、 +2)5 =(x+1)5(x +2)5 =(C5)x5 +C5x4 + + C/)(C5)x5 +C5x42 + + C；25)故展開式中含x的項(xiàng)為C；xC；25+C；x24 =240x,故展開式中x的系數(shù)為240.,一 ,、，、一13練：求式子（x +,2）3的常數(shù)項(xiàng)? 岡解:(x-1- -2 x）3 =（煙-木）6,設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則T.=c6（1）r x6(1),x6 r 6/r =(-1) C61x,得 6 - 2r - 0, r - 3, . T3 1 二(-1) C6 二 一20 .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數(shù).解：，：(1 2

16、x)3的展開式的通項(xiàng)是Cm (2x)m =Cm 2m xm,(1x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4 (x)n =C4 Tn /，其中 m = 0,1,2,3, n = 0,1,2,3, 4,令m +n =2MUm =0且門=2,m =1且n =1,m = 2且門=0,因此(1 +2x)3(1 - x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C； 2 C2 (1)2+c3 21 C： (1)1+C； 22 C0 (-1) = -6.練：求(1+Vx)6(1+4)10展開式中白常數(shù)項(xiàng). wxmn4m -3n解：(1 +荻)6(1+上)10展開式的通項(xiàng)為Cmx7 Ci;x =Cm C1o x學(xué)習(xí)必備歡迎下載m =

17、0- m=3m = 6其中m =0,1,2,6, n =0,1,2,10,當(dāng)且僅當(dāng)4m = 3即 或 或 n=0, n=4, n=8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C； Cw - C； C10 C（6 C8o =4246 .練：已知（1 +x +x2）（x +4）n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n w N*且2 M n M8,則n =.x解：（x+）n展開式的通項(xiàng)為Cn父,xr =C； ,xi;通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xC；，xn,C； xzrC； fir42, ,:展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2n8二 n 4 4r且 n 4 4r 十 1且 n #4r +2,即 n #4,8且 n #3,7且n #2,6，二

18、 n = 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在（x -夜）2006的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次曷的項(xiàng)之和為 S,當(dāng)x=V2_時(shí),S =解：設(shè)(x -72) 2006=a0 +a1x1 +a2x2 +a3x3+|+a2006x2006 /ox 20061232006公(-x -v2)=a0 -a1x +a2x -a3x +| + a2006x 得 2(a1x+a3x3 +asx5 +|+a2005x2005) =(x V2)2006 (x + V2)2006二(x-點(diǎn))2006展開式的奇次事項(xiàng)之和為S(x) =,(x-揚(yáng)2006 -(x + V2)20063 2006當(dāng)x - 2It

19、, S( , 2)(,2 - 2) 2006 -( -.2 、.2)2006= 一4二=-23008 22題型十：賦值法；1例：設(shè)一項(xiàng)式(33/x + -)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp+s=272，則n等于多少？解：若(33/x + l)n = a0 +a1x +a2x2 + + anxn ,有 P = a。+a十 +an , S = C0 + +Cn = 2n , x令 x =1 得 P =4n ,又 p +s=272 ,即 4n +2n =272= (2n +17)(2n 16) = 0解得2n =16或2n = -17（舍去），二 n=4.J 廠 1、n練：若 3&-7 J的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為