數(shù)學模型--人在雨中奔跑速度與淋雨量的關(guān)系4

1、數(shù)學模型與數(shù)學實驗課程設計任務書題目雨中漫步學生姓名學號專業(yè)班級設 計 內(nèi) 容 與 要 求生活中的我們常常會遇到下雨而沒帶雨具的時刻，我們在那時會 有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會在雨中快走或奔跑 而使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會感覺到淋雨量并不會 因為快走或奔跑而減少多少，反而有時候淋雨量倒有所增加，淋雨 量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓 我們假設一數(shù)學模型模擬計算真實情況。給定的降雨條件下，分別建立相應的數(shù)學模型，分析人體在雨 中行走時淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中 所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲

2、透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多 少。淋雨量，是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表 示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間 的乘積。針對問題一，設降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。針對問題二，雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面， 人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個方向上降雨速度分量不 同，故分別計算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此 可列出總淋雨量 W 與行走速度 v 之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當行走 速度為 vmax 時，淋雨量最少。針對問題三，雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一

3、平面內(nèi)， 人淋雨量與人和雨相對速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解 。學生簽名起止時間摘要本文在給定的降雨條件下，分別建立相應的數(shù)學模型，分析人體在雨中行走時淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表 示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位 時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。針對問題一，設降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設得人淋雨面積為前后左 右及頭頂面積之和。針對問題二，雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨

4、面積為前方和 頭頂面積之和。因各個方向上降雨速度分量不同，故分別計算頭頂和前方的淋雨量后相 加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量 W 與行走速度 v 之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明 當行走速度為 vmax 時，淋雨量最少。針對問題三，雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相 對速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解 。關(guān)鍵詞淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（風） ；路程的遠近；行走的速度；雨滴下落的速度，角度；降雨強度；一、問題重述生活中的我們常常會遇到下雨而沒帶雨具的時刻，我們在那時會有很多選擇，其 中之一就是淋雨，往往好多人會在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，但往往 很多人

5、會感覺到淋雨量并不會因為快走或奔跑而減少多少， 反而有時候淋雨量倒有所增 加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓我們假設一 數(shù)學模型模擬計算真實情況。當我們在雨中從一處沿直線跑到另一處時，如果雨速為常 數(shù)，走的時候身體的動作的大小和暴露在雨中的面積大小影響著淋雨的多少，并且行走 速度也同樣影響著淋雨量 Q ，將人體簡化成一個長方體，高 a=1.5 米，寬 b=0.5 米，厚 c=0.2m，行走距離 D，雨速 u，降雨量 I ，行走速度為 。1、當我們不考慮風，即雨滴垂直下落時，淋雨量和人行走速度之間的關(guān)系？2、當雨滴從前方（斜的）下落時，即雨滴與人體的夾角為，建立總

6、淋雨量與速度 v 及其它參數(shù)之間的關(guān)系，此時速度與淋雨量的關(guān)系？3、當雨從人的背面吹來，即雨滴與人體的夾角為，建立總淋雨量與速度 v 之間的關(guān)系？二、模型的假設與符號說明2.1 基本假設1、假設人行走的路線是直線；2、不考慮風的方向（即假定前后左右都淋雨），這是一種較為理想的假設，主要 為了建模的方便，并且假設雨滴的速度為常數(shù)；3、為計算淋雨面積的方便，把人體表面積看成長方體，長用a 表示 ,寬用 b 表示，厚度用 c 表示，且 abc 都是定值。2.2 符號說明a- 長方體的長單位：米b- 長方體的寬單位：米c- 長方體的厚度單位：米Q- 淋雨量單位：升v- 人行走的速度單位：米每秒D -

7、路程單位：米I - 降雨強度單位：厘米每小時P- 雨滴的密度單位：u- 雨滴下落的速度 單位：米每秒- 雨迎面吹來時與人體的夾角- 與從后面吹來與人體的夾角三、問題分析2.1 問題一分析當雨滴垂直下落時（即沒有風），此時只有頂部淋雨，淋雨量為Q 淋雨面積 降雨強度 淋雨時間2.2 問題二分析雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為 ，如圖 1 所示。 根據(jù)實際情況估計人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€方向上。雨迎面吹來時，由于雨 相對于人的速度有變化， 因此人單位時間內(nèi)接收雨量變化， 且與相對速度成正比。 據(jù)此， 推算出前后側(cè)上單位時間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭

8、頂平面的分 速度成正比。分別計算出頭頂側(cè)與前后側(cè)單位時間接雨量，并分別乘以各自面積以及時 間 D , 即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量 . 據(jù)此可得 Q 與 v 之間關(guān)系。v2.3 問題三分析雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為 ，如圖 2 所示。左 右方向上淋雨量為 0。頭頂上單位時間內(nèi)接收雨的量與雨速垂直方向上的分量成正比， 頭頂面積 bc 與時間的 D 以及單位時間內(nèi)接收雨的量之積。 當v usin 時，前方不受雨， v 后方向上單位時間內(nèi)淋雨量與人前進方向上人相對于雨的速度 ( usin-v )成正比，據(jù)此 推算出后方向上總淋雨量；而當 v usin 時，

9、后方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這 時前面會向前撞上雨滴， 即前方向上單位時間內(nèi)淋雨量與 v usin 成正比， 即這時前方 淋雨量為人體前面積 ab 和跑步時間 D 以及單位時間淋雨量之積。v 由此可計算出總的淋雨量?？偟牧苡炅?= 前(后)背淋雨量 + 頂部淋雨量據(jù)此可得 Q與 v 之間關(guān)系圖2四、模型的建立與求解3.1 問題一的求解總述：當雨滴垂直下落時（即沒有風），此時只有頂部淋雨，淋雨量為Q 淋雨面積 降雨強度 淋雨時間淋雨面積 = bc降雨強度 =pu淋雨時間= DvQ bcpuv3.2 問題二的求解雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為 ，如圖 1 所示。根據(jù)

10、 實際情況估計人體淋雨可分為頭頂和前左右?guī)讉€方向上。雨迎面吹來時，由于雨相對于 人的速度有變化，因此人單位時間內(nèi)接收雨量變化，且與相對速度成正比。據(jù)此，推算 出前后側(cè)上單位時間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度 成正比。分別計算出頭頂側(cè)與前側(cè)單位時間接雨量，并分別乘以各自面積以及時間 D ，即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。 在人體總的v淋雨量.據(jù)此可得 Q與 v 之間關(guān)系頂部淋雨量 =淋雨面積 降雨強度 淋雨時間圖1前方淋雨量 =淋雨面積 降雨強度 淋雨時間=bap(u sin v)gD總淋雨量 =頂部淋雨量 +前方淋雨量DDQ bcpucos g bap(u sinv)g

11、vvbpD uc cos a(u sin v)3.3 問題三的求解雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為 ，如圖 2 所示。左 右方向上淋雨量為 0。先考慮 v usin 的情形，也就是說人走的速度慢于雨滴的水平分速度。這是雨滴淋在頂部和后背上，且淋在后背的雨量為： abp(usin v)gDv其頂部淋雨量為： bcpu cos gD所以總的淋雨量 =后背淋雨量 +頂部淋雨量即 Q abp(u sinv)gD +bcpucosgvbpDuc cosa( u sinv)圖2當 v usin 時，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會沾到人的前面頂部淋雨量： bcpu cos gD 前

12、面淋雨量： abp(v usin )gD總的淋雨量： Q bcpucos gD abp(vusin)gDvv所以 Qbcpu cosgDvabp(v usingDvabp (u sinv)gD +bcpu cos vu sin >vu sin v五、結(jié)果表示與分析4.1 問題一因為假設人體表面積是定的， 且降雨強度也是一定的， 所以由 Q bcpuD 可以看出， v降雨強度 Q 只與人的行走速度 v 有關(guān)，且成反比，即人走得越快淋雨量越少。4.2 問題二上式應用了雨滴速度的分解及相對運動速度的概念，所以總的淋雨量 bpDQuc cos a(usin v)v其中假設夾角v一定，淋雨量 Q

13、隨著v的變大而變小，即人走的越快淋雨量越少bpDuc cos bpDau sin bpDa4.3 問題三u sin >vv usinu sin vbcpu cos gD abp(v usin )gDpbD (uccos ) vabp(u sin v)gD +bcpu cos gD此時表明：當 v usin 時， Q pbD (uccos ) ，人僅僅只有頭頂被雨水淋了，意v 味著身體前后都沒被雨水淋到，當人的速度低于 usin 時，則由于雨水落在背上， 使得淋雨量增加；而人的速度大于 usin 時，人的前面亦要淋到雨；所以人以可能 的速度 v usin 走是最優(yōu)策略。六、模型評價通過對本題的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與 雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。本文忽略了降雨密度不均 勻，風向不穩(wěn)定等次要因素，以便更好的對問題進行分析和研究。但在實際問題中的限 制性因素遠遠超過這些，因此此文的分析方法