2020年版北京市初三數(shù)學(xué)分類匯編-新定義

1、2020 初三上學(xué)期新定義122020 年初三上學(xué)期期末、新定義1 西城對(duì)于給定的 ABC ，我們給出如下定義：若點(diǎn) M 是邊 BC 上的一個(gè)定點(diǎn)，且以 M 為圓心的半圓上的所有點(diǎn)都在 ABC 的內(nèi)部或邊上，則稱 這樣的半圓為 BC邊上的點(diǎn)M 關(guān)于 ABC 的內(nèi)半圓 ，并將半徑最大的內(nèi)半圓稱為 點(diǎn)M關(guān)于 ABC的最 大內(nèi)半圓 .若點(diǎn) M 是邊 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M 不與 B，C重合），則在所有的點(diǎn) M 關(guān)于 ABC的最大內(nèi)半圓中， 將半徑最大的內(nèi)半圓稱為 BC 關(guān)于 ABC 的內(nèi)半圓 .（1）在 Rt ABC中， BAC = 90 ，°AB = AC = 2， 如圖 1，點(diǎn) D 在邊

2、 BC 上，且 CD=1，直接寫出點(diǎn) D 關(guān)于 ABC 的最大內(nèi)半圓的半徑長； 如圖 2 ，畫出 BC 關(guān)于 ABC 的內(nèi)半圓，并直接寫出它的半徑長；2 東城 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過 T 外一點(diǎn) P 引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為M， N，若60 MPN 180 ，則稱 P 為 T的環(huán)繞點(diǎn)(1) 當(dāng) O半徑為 1 時(shí)，在 P1(1,0),P2(1,1),P3(0,2)中， O的環(huán)繞點(diǎn)是 直線 y=2x+b與x軸交于點(diǎn) A，y軸交于點(diǎn) B，若線段 AB上存在O 的環(huán)繞點(diǎn)，求 b的取值范圍；2) T 的半徑為 1，圓心為30，t)，以(m, 33 m)(m0) 為圓心，3 m 為半徑的

3、所有圓構(gòu)成圖形3H，若在圖形 H 上存在 T 的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出 t 的3朝陽在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A（0，2），點(diǎn) B在x軸上，以 AB為直徑作 C，點(diǎn) P 在 y軸上， 且在點(diǎn) A上方，過點(diǎn) P作 C的切線 PQ，Q為切點(diǎn)，如果點(diǎn) Q 在第一象限，則稱 Q為點(diǎn) P的離點(diǎn).例 如，圖 1 中的 Q 為點(diǎn) P 的一個(gè)離點(diǎn) .圖1圖2（1）已知點(diǎn) P（0，3），Q 為 P的離點(diǎn) .如圖 2，若 B（0， 0），則圓心 C 的坐標(biāo)為 ，線段 PQ 的長為 ；若 B（2， 0），求線段 PQ 的長；（2）已知 1PA 2, 直線 l： y kx k 3（k0）.當(dāng) k=1時(shí)，若直線 l

4、 上存在 P的離點(diǎn) Q，則點(diǎn) Q縱坐標(biāo) t的最大值為 ；記直線 l： y kx k 3（k0）在 - 1x1的部分為圖形 G，如果圖形 G上存在 P的離點(diǎn)，直接寫出 k 的取值范圍4 石景山在 ABC中， D 是邊 BC 上一點(diǎn)，以點(diǎn) A為圓心， AD 長為半徑作弧，如果與邊 BC 有交點(diǎn) E（不與點(diǎn) D重合），那么稱 ?DE 為ABC的 A 外截弧A例如，右圖中 ?DE 是ABC 的一條 A 外截弧在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知 ABC存在 A 外截弧，其中點(diǎn) A的坐標(biāo)為 （5, 0）， 點(diǎn) B 與坐標(biāo)原點(diǎn) O 重合1）在點(diǎn) C1（0, 2），C2（5, 3） ，C3（6, 4） ， C4

5、 （4, 2） 中，滿足條件的點(diǎn) C 是 ；2）若點(diǎn) C 在直線 y x 2 上，求點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)的取值范圍；直接寫出 ABC的 A 外截弧所在圓的半徑 r 的取值范圍5豐臺(tái) 平面直角坐標(biāo)系 xOy中有點(diǎn) P和某一函數(shù)圖象 M ，過點(diǎn) P作x軸的垂線，交圖象 M 于點(diǎn) Q，設(shè)點(diǎn) P ， Q的縱坐標(biāo)分別為 yP， yQ如果 yP>yQ，那么稱點(diǎn) P為圖象 M 的上位點(diǎn)；如果 yP yQ ，那么稱點(diǎn) P為圖象 M 的圖上點(diǎn)；如果 yP<yQ ，那么稱點(diǎn) P 為圖象 M 的下位點(diǎn)（1）已知拋物線 y x2 2. 在點(diǎn) A（-1， 0），B（0， -2），C（2，3）中，是拋物線的上位點(diǎn)

6、的是； 如果點(diǎn) D是直線 y x的圖上點(diǎn)，且為拋物線的上位點(diǎn)，求點(diǎn) D的橫坐標(biāo) xD 的取值范圍；（2）將直線 y x 3在直線 y 3下方的部分沿直線 y 3翻折，直線 y x 3 的其余部分保持不變， 得到一個(gè)新的圖象，記作圖象 G H 的圓心 H 在 x軸上，半徑為 1如果在圖象 G和 H 上分 別存在點(diǎn) E和點(diǎn) F ，使得線段 EF 上同時(shí)存在圖象 G的上位點(diǎn)，圖上點(diǎn)和下位點(diǎn)，求圓心 H 的橫 坐標(biāo) xH 的取值范圍6 順義區(qū) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若點(diǎn) P 和點(diǎn) P1 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，點(diǎn) P1 和點(diǎn) P2關(guān)于直線 l 對(duì)稱，則 稱點(diǎn) P2 是點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸，直線 l

7、的二次對(duì)稱點(diǎn)（1）如圖 1，點(diǎn) A（0，-1）若點(diǎn) B是點(diǎn) A關(guān)于 x軸，直線 l1：x=2的二次對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn) B的坐標(biāo)為；點(diǎn)C （-4，1）是點(diǎn)A關(guān)于x軸，直線 l2：x=a的二次對(duì)稱點(diǎn)，則 a的值為； 點(diǎn)D（- 1，0）是點(diǎn)A關(guān)于x軸，直線 l3的二次對(duì)稱點(diǎn)，則直線 l3的表達(dá)式為；（2）如圖2， ? O的半徑為 2若? O上存在點(diǎn) M，使得點(diǎn) M是點(diǎn)M關(guān)于x軸，直線 l4：x = b的二次對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)M 在射線 y 3x （x0）上， b的取值范圍是；3）E（?,t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，3? E的半徑為 2，若? E上存在點(diǎn) N，使得點(diǎn)N是點(diǎn)N關(guān)于x軸，直線l5:y3 x3的二次對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)

8、N在 x軸上，求 t的取值范圍 y7 大興區(qū) . 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 P（ a, b ）,R（ c , d ）兩點(diǎn)，且 ?，? ? ?，若過點(diǎn) P作 x 軸的平行線，過點(diǎn) R作 y 軸的平行線，兩平行線交于一點(diǎn) S, 連接 PR，則稱 PRS為點(diǎn) P,R，S的“坐標(biāo)軸 三角形” .若過點(diǎn) R作x軸的平行線， 過點(diǎn) P作 y軸的平行線， 兩平行線交于一點(diǎn) S ,連接 PR，則稱 RPS 為點(diǎn) R,P，S 的“坐標(biāo)軸三角形” .右圖為點(diǎn) P，R,S 的“坐標(biāo)軸三角形”的示意圖 .（1）已知點(diǎn) A（0，4），點(diǎn) B（3，0）,若ABC是點(diǎn) A,B,C 的“坐標(biāo)軸三 角形”，則點(diǎn) C

9、的坐標(biāo)為 ;（2） 已知點(diǎn) D（2，1），點(diǎn) E（e，4），若點(diǎn) D,E,F 的“坐標(biāo)軸三角形”的面積為3，求 e的值 .（ 3）若?的半徑為 322，點(diǎn) M（ m ,4 ）.若在?上存在一點(diǎn) N，使得點(diǎn) N ，M, G的“坐標(biāo)軸三角形”為 等腰三角形，求 m 的取值范圍 .8 平谷區(qū) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，有任意三角形， 當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一 半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”（1）已知 A（ 2,0），B（ 0,4），C（ 1,2），D（ 4,1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn) O 組成“和諧三角形”的點(diǎn)是 ， “和諧距離

10、”是 ；（2）連接 BD，點(diǎn) M，N是BD 上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) M，N不重合），點(diǎn) E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)， EMN 是以 MN 為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn) E 的橫坐標(biāo) t 的取值范圍；（3）已知 O的半徑為 2，點(diǎn) P是 O上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)， OPQ 是“和諧三角形”， 且“和諧距離”是 2，請(qǐng)描述出點(diǎn) Q 所在位置9 昌平區(qū) 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn) A（-2，0）和點(diǎn) B（3，0），線段 AB 和線段 AB 外的 一點(diǎn) P，給出如下定義：若 45°APB90°時(shí)，則稱點(diǎn) P 為線段 AB 的可視點(diǎn)，且當(dāng) PAPB 時(shí)，稱點(diǎn) P 為線

11、段 AB 的正可視點(diǎn)（1） 如圖 1，在點(diǎn) P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，線段 AB 的可視點(diǎn)是 ； 若點(diǎn) P在y軸正半軸上，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)： （2）在直線 y x+b上存在線段 AB 的可視點(diǎn)，求 b的取值范圍；（3）在直線 y -x+m 上存在線段 AB 的正可視點(diǎn)，直接寫出 m 的取值范圍圖1備用圖10 通州11 門頭溝 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系 xOy 中的圖形 M ，N，給出如下定義： 如果點(diǎn) P為圖形 M 上任意一點(diǎn)， 點(diǎn) Q 為圖形 N上任意一點(diǎn)，那么稱線段 PQ長度的最小值為圖形 M，N 的“近距離” ，記作 d（M，N）若 圖形 M，N的“近距

12、離”小于或等于 1，則稱圖形 M ， N互為“可及圖形” （1）當(dāng) O的半徑為 2 時(shí)，如果點(diǎn) A（0，1），B（3，4），那么 d（A，O）=,d（B， O）= 如果直線 y x b與O 互為“可及圖形” ，求 b 的取值范圍；2） G的圓心 G在x軸上，半徑為 1，直線 y x 5與x軸交于點(diǎn) C，與 y軸交于點(diǎn) D，如果 G和 CDO互為“可及圖形” ，直接寫出圓心 G 的橫坐標(biāo) m 的取值范圍43217 6 5 4 32 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8x7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8x14備用圖12房山區(qū)如圖 28-1，已知線段 AB與點(diǎn)P，若在

13、線段 AB上存在點(diǎn)Q ， 滿足PQ AB ，則稱點(diǎn) P為線段 AB的“限距點(diǎn)” .1） 如圖 28-2，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若點(diǎn)A（ -1， 0） ， B（1， 0） . 在C（0，2），D（-2，-2），E（1，- 3）中，是線段 AB 的 距點(diǎn)”的是 ； 點(diǎn) P 是直線 y= x + 1上一點(diǎn)，若點(diǎn) P是線段 AB “限距點(diǎn)”，請(qǐng)求出點(diǎn) P橫坐標(biāo) xP的取值范圍 .圖 28-“限的2）在平面直角坐標(biāo)系3xOy中，點(diǎn) A（t，1） ， B（t，-1） ，直線 y= 3 x+2 3與x軸交于點(diǎn) M ，3與 y軸交于點(diǎn) N . 若線段 MN 上存在線段 AB的“限距點(diǎn)”，請(qǐng)求出 t的取

14、值范圍 .2020 初三上學(xué)期新定義1413 密云區(qū) 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， O 的半徑為 r（ r > 0）給出如下定義：若平P 到圓心 O 的距離 d，滿足 1 r d232r ，則稱點(diǎn) P為O 的“隨心點(diǎn)”1）當(dāng) O 的半徑r=2 時(shí)， A（3，0），B（0，4），C（31，2），D （ ，221 ）中， O 的2隨心點(diǎn)”2）若點(diǎn) E（4，3）是 O 的“隨心點(diǎn)” ，求 O的半徑 r 的取值范圍；（3）當(dāng) O 的半徑 r=2 時(shí)，直線 y=- x+b（b0）與 x軸交于點(diǎn) M，與 y 軸交于點(diǎn) N，若線段 O 的“隨心點(diǎn)” ，直接寫出 b 的取值范圍MN 上存在4321y-4

15、 -3 -2 -1 O-1-2-3-41234x4321y-4 -3 - 2 - 1 O-1-21 2 3 4 x備用圖-42020 初三上學(xué)期新定義2114 海淀. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，對(duì)于點(diǎn) P(a，b)和實(shí)數(shù) k(k 0) ，給出如下定義： 當(dāng) ka b 0時(shí)， 將以點(diǎn) P為圓心， ka b為半徑的圓，稱為點(diǎn) P的 k倍相關(guān)圓例如，在如圖 1 中，點(diǎn) P(1,1)的 1 倍相關(guān)圓為以點(diǎn) P 為圓心， 2 為半徑的圓1)在點(diǎn) P1(2,1)， P2(1, 3)中，存在 1 倍相關(guān)圓的點(diǎn)是 ，該點(diǎn)的 1倍相關(guān)圓半徑為 2)如圖 2，若 M 是 x 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) N 在第一象限

16、內(nèi)，且滿足 MON 30°，判斷直 線 ON 與點(diǎn) M 的 1 倍相關(guān)圓的位置關(guān)系，并證明23) 如圖 3，已知點(diǎn) A的(0,3)，B(1,m)，反比例函數(shù) y 6的圖象經(jīng)過點(diǎn) B，直線 l與直線 AB 關(guān)x 于 y 軸對(duì)稱 若點(diǎn) C在直線 l上，則點(diǎn) C的 3倍相關(guān)圓的半徑為 點(diǎn) D在直線 AB上，點(diǎn) D的1倍相關(guān)圓的半徑為 R，若點(diǎn) D 在運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn) D 為圓3心，hR 為半徑的圓與反比例函數(shù) y 6的圖象最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出h的最大值 .x圖 31.西城解：（ 1） BC 關(guān)于 ABC 的內(nèi)半圓，如圖 1 ，BC 關(guān)于 ABC 的內(nèi)半圓半徑為 12）過點(diǎn) E作 EF

17、OE，與直線y=x 交于點(diǎn) F ，設(shè)點(diǎn) M 是 OE 上的動(dòng)點(diǎn)，i）當(dāng)點(diǎn) P在線段 OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)（ P不與 O重合），OE關(guān)于 OEP的內(nèi)半圓是以 M 為圓心， 分別與 OP，PE 相切的半圓，如圖 2當(dāng) 3R1時(shí)，t 的取值范圍是 3t3422東城 .解：（ 1） P2，P3 . 2 分半徑為 1的 O的所有環(huán)繞點(diǎn)在以 O為圓心，半徑分別為 1和 2的兩個(gè)圓之間（如下圖陰影部分 所示，含大圓，不含小圓） .）當(dāng)點(diǎn) B 在 y 軸正半軸上時(shí)，如圖 1，圖 2 所示 .考慮以下兩種特殊情況：線段 AB 與半徑為 2的O 相切時(shí)， OB 2 5； 當(dāng)點(diǎn) B 經(jīng)過半徑為 1的 O時(shí)，OB 1.因?yàn)榫€

18、段 AB上存在 O的環(huán)繞點(diǎn)，所以可得 b 的取值范圍為 1 b 2 5 ； 當(dāng)點(diǎn) B 在 y 軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖 3，圖 4 所示 .5分綜上， b 的取值范圍為 1 b 2 5 或 2 53) 2 t4 .7 分3朝陽解：（1）（ 0，1）； 3 .如圖，過 C 作 CM y軸于點(diǎn) M，連接 CP，CQ. A（0，2），B（2，0），C（1，1）.M（0，1）.在 RtACM 中，由勾股定理可得 CA= 2 .CQ= 2 .P（0，3），M（0，1）， PM= 2.在 Rt PCM 中，由勾股定理可得 PC= 5.在 RtPCQ 中，由勾股定理可得PQ= PC2- CQ2 = 3 .2） 6

19、.1-2 2<k-2 或 222 k<1+ 2 2 .2分4石景山解：（1） C2 ，C3 ；2)點(diǎn) C 在直線 y x 2上， 設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (m,m 2)當(dāng) BCA 90°時(shí)，過點(diǎn) C 作CD x 軸于點(diǎn) D，如圖CDB ADC 2 CD2 BD AD (m 2)2 m (5 m) 1解得 m1 4，m2 213 C (4, 2) 或C' ( , ) 22 又直線 y x 2與 y軸交于點(diǎn) (0, 2)，3結(jié)合圖形，可得點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 2 yC2 或 yC 2 5分 5 r 5 7 分5 豐臺(tái).解：( 1) A，C. 2 分點(diǎn) D是直線 y

20、 x的圖上點(diǎn)，點(diǎn) D在 y x上. 又點(diǎn) D是 y x2 2的上位點(diǎn)，點(diǎn)D在 y x與y x2 2的交點(diǎn) R，S之間運(yùn)動(dòng) .點(diǎn)R( 1， 1)，S( 2，2).-1<xD<2. 5 分2) xH 32 或 xH< 3+ 2. 7 分( 全卷所有題目其他解法參照上述解法相應(yīng)步驟給分6順義 解：（1） 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 （4，1） ； 1 分 a 的值為 -2 ； 2 分 直線 l 3的表達(dá)式為y =- x ； 3 分2）如圖 2，設(shè) ? O 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為M1 （-2，0），M3（2，0），則 M4 的坐標(biāo)為（ 1， 3）圖2與射線 y 3x （x0）的交點(diǎn)為 M M

21、4 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 M2 當(dāng)點(diǎn) M 在 M 1 的位置時(shí)， b=-1， 當(dāng)點(diǎn) M 在 M 2的位置時(shí)， b=1， 當(dāng)點(diǎn) M 在 M 3的位置時(shí)， b=1，當(dāng)點(diǎn) M 在劣弧 M1M 2上時(shí)（如圖 3）， -1b 1，當(dāng)點(diǎn) M 在劣弧 M2M3 上時(shí)（如圖4），b的值比 1 大，當(dāng)?shù)搅踊?M 2M 3的中點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值如圖 5），最大值為 2 3 32020 初三上學(xué)期新定義237分t 的取值范圍是： -4t4.7 大興 .（ 1）（3， 4）分.2（2） 點(diǎn) D（2，1），點(diǎn) E（ e，4），點(diǎn) D，E，F(xiàn)的 “坐標(biāo)三角形 ”的面積為 3，S DEF e 2 3 32e 2 2 e 4

22、 或 e 0 ， . 分4（3）由點(diǎn) N，M， G的“坐標(biāo)軸三角形 ”為等腰三角形可得直線 MN 為b 時(shí)，由于點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ m， 4）,MN 平移至與 O 相切，且切點(diǎn)在第四象限時(shí)，N1 為切點(diǎn)，當(dāng)直線 MN 為 y xb 取得最小值可得 m=4 b 由圖可知，當(dāng)直線 此時(shí)直線 MN 記為 M1 N1，其中 T1為直線 M1 N1與 y軸的交點(diǎn) . O N1T1為等腰直角三角形， O N1 = 3 212OT1= （23 2）32 2 =3b 的最小值為 -3， m 的最大值為 m=4 b=7當(dāng)直線 MN 平移至與 O 相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)， b 取得最大值 . 此時(shí)直線 MN 記

23、為 M2 N2，其中 N2 為切點(diǎn)， T2為直線 M2 N2與 y 軸的交點(diǎn) . ON2 T2 為等腰直角三角形，ON2 =3 22=32 OT2 = (23 2)22020 初三上學(xué)期新定義25b 的最大值為 3， m 的最小值為 m=4 b=1， m 的取值范圍是 1 m 7 ，分62）當(dāng)直線 MN 為 y x b時(shí) .同理可得， m b 4， 當(dāng) b 3 時(shí)， m -1 當(dāng) b -3 時(shí)， m -7 m 的取值范圍是 - 7 m -1分7綜上所述， m 的取值范圍是 1m7或 - 7 m -1.8 平谷 解：（ 1） A,B； 5 ；2）1 t 9；······ ···· ······ · ········ ·223）點(diǎn) Q 在以點(diǎn) O 為圓心， 4 為半徑的圓上； 或在以點(diǎn) O