【通用版】2020高考數(shù)學(三輪復習)沖刺專題《解析幾何大題部分》(含答案)

1、專題16解析幾何大題部分【訓練目標】1、理解斜率、傾斜角的概念，會利用多種方法計算斜率，掌握斜率與傾斜角之間的變化關系；2、掌握直線方程的5種形式，熟練兩直線的位置關系的充要條件，并且能夠熟練使用點到直線的距離，兩 點間的距離，兩平行間的距離公式；3、識記圓的標準方程和一般方程，掌握兩個方程的求法；4、掌握直線與圓的位置關系的判斷，圓與圓的位置關系判斷；5、掌握圓的切線求法，弦長求法，切線長的求法。6、掌握橢圓，雙曲線，拋物線的定義及簡單幾何性質(zhì)；7、掌握橢圓，雙曲線的離 心率求法；8、掌握直線與圓錐曲線的位置關系；9、掌握圓錐曲線中的定值問題，定點問題，最值與范圍問題求法；【溫馨小提示】本專

2、題在高考中屬于壓軸題，文科相對簡單，只需掌握常見的方法，有一定的計算能力即可；對于理科生 來講，思維難度加大，計算量加大，因此在復習時應該多總結，對于常見的一些小結論加以識記，并采用 一些諸如特殊值法，特殊點法加以驗證求解。【名校試題薈萃】("卯二4 uy-a+a-w 二 41、已知圓和圓.(1) 若直線I過點A(4,0)且被圓C,截得的弦長為2、3，求直線I的方程；(2) 設平面上的點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線 |1和|2，它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線I1被圓C1截得的弦長與直線I2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標?！敬鸢浮?1)y7x-

3、»-24v-28= 00或'(2)( 3罟)或(|, 1【解析】(1)設直線I的方程為：y k(x 4)，即kx- V4t = 0it由垂徑定理，得：圓心1點到直線距離公式，得:G到直線I的距離求直線I的方程為24(x-4)7x + 24v-28 = 0即y 0或 設點p坐標為(松叩直線丘r；的方程鈿肉:VJ7 = Afx-m). v- «=)艮卩；kkx- r + n->tm = 0.x- i -h + 丄慣二 0“k L k因為直線!我圓G談得的弦長與宣線'褫圖Q截得的弦長相等，兩IS半徑相條 由垂徑定理，彳哥；圓心q到直即占G直線L的距副目條故有

4、:化簡得:4 £1 |一，十用+丁師 kfc扣1 ?>n-n)k 二咖一門工或(購一科-5| -3k-h-焉n |關于k的方程有無窮多解，有:2m n = 0m-n + 8 = 0m - jt-3 = 0m + jt - 5 = 0-,或解之得:點P坐標為(31|)或(5,1)。l,； = 2pxip >0*1X* V* .+.(T2、已知橢圓與拋物線共交點F2，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于MFJ 1，且橢圓與拋物線的交點 Q滿足QF|5 .(2 )過拋物線上的點 P做拋物線的切線(1)求拋物線的方程和橢圓的方程；y kx m交橢圓于A , B兩點，設線段AB的中點為C

5、(x0,y0)，求Xo的取值范圍.【答案】2 2(1) y2 4x 1，98(2) ( 1,0)【解析】(i > 丁拋物上的點m到屛由的距離等于陽忙| -1,二點m到直線忑1的距離等于點廿到交點£的距離，得一1是拋物蛭心嚴的準線，即解得p = 2r二撻物線的方程為y= 4-r匸可知橢圓的右焦點兀刨),左焦點耳(7。)，由的令得煮仝,又簾=址，解得0二広；£丄 /由榊圓的定義得2"|四卜更卜卜和。又*1,得滬 橢圓的方程為壬耳,v' -4v +4w =0y kx m"-(2)顯然k 0 , m 0,由 2，消去x，得，y 4xzi = L6

6、-IGAtm =0由題意知，得km 1 ,(W + S)jr+ lSAm + 9w: -720y kx m由x2 y2 ，消去y，得，198A =QgJtnr)：-4(PF +SX5m; -72) >0-m+S?0其中.，化簡得，丄，得-m，解得0耳卄九9 AXa =-=-r-< 0 °29A-+S設 A(X1,yJ , B(X2,y2)，則11由k22 一，得X。1 . X。的取值范圍是(1,0).2 23、已知橢圓C P1(9m9F分別為橢圓的上頂點和左b 0)的離心率e 1，點A(b,0)，點B、2焦點，且(1)求橢圓C的方程;(2)若過定點M (0,2)的直線|與

7、橢圓C交于G, H兩點(G在M , H之間)設直線|的斜率k 0，在x軸上是否存在點P(m,0)，使得以PG, PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍？如果不存在，請說明理由.【答案】x2 y211 -： 一(1) 4 3(2)'【解析】(I )設楠圓焦距為依趣意，有口 =2匚# 由|亦|= 26有VjF+薩八愿,有述=2祈 文口一/二匚；由g可得口：二4滬二4二橢圓個的方程乂+匚=1(H)設直線l的方程為y Ax+ 2 仇 > &)設片(3 + 4比，)jf -K16A7V+4 二Qn=，則-6k?":,-.- - _- -1 ' ?

8、GH =(七-孔氏-”(七-九上(七-HJ)?由于菱形對角線垂直，則一.(1 + Jt:Xr +X,-)-!- 4k 2m 0 , zri 2k八丄解得詢=一斗證j，_21 Jj即二，_ - 一，(當且僅當3T亠k4k時，等號成立)所以存在滿足條件的實數(shù)m , m的取值范圍為一邑柄0C: + - = 1(0<m<2)4、已知橢圓-.1(1) 若橢圓C的離心率為，求n的值；2(2) 若過點N( 2,0)任作一條直線I與橢圓C交于不同的兩點 A,B，在x軸上是否存在點 M，使得+ ZA322 =180°，若存在，求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】3(1)(2)

9、(-1 , 0)2【耀析】由凱譚囲可知烏詁R冷(2)由U+?=L得國5宀略山 z.設叫嘰 %丫止M(XO).E艸.十1片-nn h 55 Q 艮卩：勺 rr血 ©十2) * (七” m 阿片 * 21三Un( m li當上"時/中廠何伽丸所以2： «4陽起=0沐" ，化簡得戈用“，所漢niRl.當(T5、在平面直角坐標系xOy中，橢圓C :的短軸長為242，離心率(1)求橢圓C的方程;(2)已知A為橢圓C的上頂點，點M為x軸正半軸上一點， 過點A作AM的垂線AN與橢圓C交于另一點y =60°N，若，求點M的坐標.【答案】(1)(2)【解析】(1

10、 )因為橢圓C的短軸長為2 2，離心率為,32b2 2a6所以C6解得b2 22，所以橢圓C的方程為-I 1a3c622 a.2 2b cc2(2)因為衛(wèi)為ffSUC的上頂點所以閭必i殳価丸)則- y AV_ AV J所以比壬丿 所以直線AV的方程為1二卞-12m加一2)'=下Z小由* J消去'整理得2-r= 0 ,所以g+-=16 2I'所以申|=1在直角 AAMN中，由 AMN 60，得，J2-樣12m rr yX: -vJ X 寸：十 FW ”所以，解得m彳，所以點M的坐標為 '6 ,032X26、已知點F是橢圓 2+ y = 1 (a>0)的右焦點

11、，點 M( m1 + a0), N (0, n)分別是x軸，y軸上的動點,且滿足MN- NF= 0.若點P滿足OMk 20N PO ( 0為坐標原點).(1) 求點P的軌跡C的方程；(2) 設過點F任作一直線與點 P的軌跡交于 A，B兩點，直線 OA 0B與直線x =-a分別交于點S，T，試判斷以線段ST為直徑的圓是否經(jīng)過點 F?請說明理由.【答案】(1) y2= 4ax (2)經(jīng)過【解析】2x 2(1)T橢”圓i + a2+ y = 1 (a>0)右焦點F的坐標為(a, 0), NF=( a, n) . / MN=( m n),由 MN- IMF= 0，得 n2+ am= 0.設點 P

12、 的坐標為(x , y),由 OM= 2ON PQ 有(m 0) = 2 (0 , n) + ( x, y),m= x ,y 代入n2+ am= 0,得y2= 4ax.即點P的軌跡C的方程為y2= 4ax.>嚴Hi?砂n = 2(2)解法一：設直線AB的萬程為K=ty-ka, A y；貝|J lc,: y二竺，lei； y= yLy；得 S,二諾二 _応2a；則嚴 FT=4a：+ "盂十 y + .j由仁得“d因此，嘆線段ST豹直徑的圓經(jīng)過點F,解法二：當 AB丄x 時，A (a, 2a), B (a, 2a),貝U l oa y = 2x, Iob： y= 2x.由 y =

13、2x， 得點 S 的坐標為 S ( a, 2a),則 FS=( 2a , 2a). x = a ,由 y = 2x，得點 T 的坐標為 T ( a , 2a),則 FT=( 2a , 2a). x = a , FS FT=( 2a )x( 2a) + ( 2a)x 2a = 0.2 2y2 ,當AB不垂直x軸時，設直線 AB的方程為y= k (x a) (0) , A舊，y1 , B著，同解法一，得FS擊=4a2+ 16a刊2y = k (x a),y2= 4ax,得 ky2 4ay 4ka2= 0, y1y2= 4a2.則金 FT=4齊(魯)=4a2-4a2=°.因此，以線段 ST

14、為直徑的圓經(jīng)過點 F.7、如圖，已知拋物線C： y2 = x和O M (x 4) 2 + y2= 1,過拋物線 C上一點H( xo, yo)(yo> 1)作兩條直線與O M分別相切于A、B兩點，分別交拋物線于 E、F兩點.(1)當/ AHB的角平分線垂直 x軸時，求直線 EF的斜率;t，求t的最小值.【答案】【解析】;±-： 丁當厶田的角平分線垂直上軸時，點肝a 2)1” ”_口二 7廠K,嚴_龍=7-一必'連廠蓋一址_葢y yrji1X1 x.JC + .Z 4'法二：當/ AHB的角平分線垂直 x軸時，點H(4, 2),./ AHB= 60°，可得

15、 kHA=3, kHB= 3,直線 HA的方程為 y=*3x 4 3 + 2,聯(lián)立方程組y2= 3x 4 3 + 2 得 3y2 y 4 3 + 2 = 0,y = x,.一丈. yE+ 2=3，yE =血6同理可得yF=一33也6_ 13 4-J3X3313+ 4 31Xf=3, kEF= 4.(2)法一：設點 H(用，m (1), hM= nn- 7ni+ 16, hA= n4 7ni +15.以H為圓心，HA為半徑的圓方程為：(x m) +(y m = m 7m + 15,O M方程：(x 4) 2+ y2= 1.一得：直線 AB的方程為(2x 卅一4) (4 m) ( 2y nj m=

16、 m 7吊+ 14.15當x= 0時，直線 AB在 y軸上的截距t = 4仆石(mi> 1r),/ t關于m的函數(shù)在1 ,+8）單調(diào)遞增， t min= 11.y14 X1法二：設 A （X1, y1）, B（ X2, y2）kMA=, kHA=X1 4y1可得，直線 HA的方程為（4 X1） x y1y+ 4X1 15 = 0,同理，直線 HB的方程為（4 X2） x y?y+ 4x2 15 = 0,2 2 （ 4 X1） yo y1yo+ 4x1 15= 0, （ 4 X2） yo y2yo+ 4x2 15= 0,直線 AB的方程為（4 y2） x y°y+ 4y2 15=

17、 0,15令 x= 0,可得 t = 4yo （ yo1）,yot關于yo的函數(shù)在1 ,+8）單調(diào)遞增， t min= 11.F J/8、已知橢圓'的一個焦點F（6,0），點M 2,1在橢圓C 上.(1)求橢圓C的方程;AOB為鈍角，求(2)直線l平行于直線OM ( O坐標原點)，且與橢圓C交于A , B兩個不同的點，若 直線丨在y軸上的截距m的取值范圍.【答案】（1）2y2卜壓)u(oQ)(2)【解析】(1)由已知匸三則b'/ 6 又點5/(2J)在橢圓C上41所以二+二“tT 礦由解得=8 ( / = 3舍去)，.冷F故橢圓C的柢準方程為壬+斗=1 4 = “QW =乙(2

18、)由直線丨平行于0M得直線l的斜率為-，又丨在y軸上的截距m ,1故丨的方程為y x m .2 =* + 2 煦47g由.得，又線與橢圓C交于A , B兩個不同的點,班 +藝=_2喲 XX. =2w* -4設 A Xi, yi , B X2, y，則，.d=(2穰)亠4(2m* -4)> 0所以，于是2 m 2.uuv uuvAOB為鈍角等價于 OA OB 0，且m 0 ,貝Vmsfl V1m,OA OB =為花 十li比=場花 +j+ 初 i -x2 + m i = -j& + t.iq +花）+<0即m22，又 m 0 ,卜屁府所以m的取值范圍為9、橢圓2 2C zyC

19、 ： 2,2a b1 .1( a b 0)的離心率為2,其左焦點到點P 2,1的距離為10.不過原點0的直線丨與橢圓C相交于A、B兩點,且線段AB被直線OP平分.(1) 求橢圓C的方程；(2) 求 ABP的面積取最大時直線 丨的方程【答案】2 2 L 1(1) 4 3 妣+2" + 2命-2 =0(2)【解析】幗®吒冷,左焦點D到點咱離"”在皿"1 *解得=42=1.故滬二瓦故所求橢圓C的方程為蘭+匚“，43Xo ,因為(2)易得直線OP的方程y x,設A N，% , B x2,y2 , AB中點R Xo，y° ,其中y22222巧J'

20、0A, B在橢圓上，所以生211，圣里 1,相減得“"',即43433J 2設直線腦的方程為刁圮+如(曲工0人代入手+十=1中，消去卩整理得3禍+籾一3 =山由 A =(3jw)* - 4x3fm: 31 = 3(12 -wr ) > 0 J"-Z且們H 0由韋達定理得血十羽=曲T ME -咲° ,所法岡茁十羋脈-又點尸(21) |8_2折二=,其中八且m0._ j 4-w線J的距離已r 1 -j=一 7所以丄的面積 1 jji _?令 /（w|=（4-wf（12 一加）,則/*（期I = T擁一4）（才一2們一6| = T| w-4）| w-17

21、|唧一1 十方）當._ 一-訂、廠時，f m令f m 0得m 17 ,(因4和1.7不滿足 八-卜且m 0,舍去)0,當 -<時，f m 0,所以，當 m 17 時，S ABP取得最大值,此時直線I的方程為業(yè)+“ +洛一2 = 010、已知拋物線'-： 的焦點為卩，拋物線C上存在一點E 2,t到焦點F的距離等于3 (1 )求拋物線C的方程;(2)已知點P在拋物線C上且異于原點，點 Q為直線X1上的點，且FPFQ 求直線PQ與拋物線C的交點個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)寸4x (2) 1個【解析】(1)拋物線的準線方程為 x P ,2所以點E 2, t到焦點的距離為2£

22、3 .解得p 2 .2所以拋物線c的方程為y 4x. 直線巴與拋物線CRS一個交鼠 理由如口=對，點対(一5片焦點F為1衛(wèi).一14 瓦-二呵由題育可得 帀藥 二。故-2(-l)+m=0 從而境=二故直線PQ的斜率+1 >0 -41- Z >Q <故直線PQ的方程為又拋物線C的方程 寸 4x，(y ->o>: = o聯(lián)立消去X得，故yyo，即故直線PQ與拋物線C只有一個交點.11、已知圓Ci與y軸相切于點(0, 3),圓心在經(jīng)過點(2, 1)與點(-2, - 3)(1) 求圓C1的方程；xz + v2 -2x+ 2i 9 = 0(2) 圓G與圓C2 :相交于M、N兩

23、點，求兩圓的公共弦的直線I上.MN的長.【答案】(1) (x- 4) 2+ (y - 3) 2=16(2) 2、7【解析】y-1 二工-2(1)經(jīng)過點(2, 1)與點(-2,- 3)的直線方程為：I -：',即 y=x - 1.由題意可得，圓心在直線y=3 上,聯(lián)立廠“，解得圓心坐標為(4，3)，ly=x-l故圓C的半徑為4.則圓C的方程為(x-4) 2+ (y - 3) 2=16;C2) T圓 Cl 的方程為(X- 4) :+ (y_ 3) =16*即 £+?：-敢-$卅=0,H Ci! sc2+y* -2i+2y- 9W?兩式作差可得兩圓公井弦所在直線方程為3申廠珂圓的圓

24、心到直線3x+4y-的跑膏d=M=-L=3， V32+42二兩圓的公共弦畫的長為2VT耐二2近.3x 4 j + 4 = 012、已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線與圓C相切(1) 求圓C的方程；Xj* 十 t)L'r =3(2) 過點Q( 0,-3 )的直線I與圓C交于不同的兩點 A( x1, y1) > B(x2, y2)，當 '''' 時，求厶AOB的面積3 7【答案】(1)(2)2【解析】(1 )設圓心為C(a.0X >耳則圓即方程為滬+/=4- 4 4- 4 = 0因為圓C與相切,|% + 4|所以 -解得所以圓c的方程

25、為(舍去) 顯然直級的糾率存在,設直線的方程対FS4得（1-力技T直線與IH相交于不同兩點12 A=(4 + 6A?)- -4(1+)x9 >0=解得©_>左il月也化）設，工+工=% T V - 9陽旳二（匕_3）（耳一劃二屯迪禺+e）+9:n】；屮】, 已知眄七十比旳=3.即（1 +在'）孔工二一 $疋（石+x;） + 6 = 0；將代入并整理得解得k = 1或k =-5 （舍去）所以直線I的方程為，口 7 = 0圓心C到I的距離"，在MCB中肋1= a 一店耳=原點oa直線丿的距離即少少底邊胡上的高心卓=邁方 22x2 + 3 v: = 913、已

26、知 代B是橢圓C：'上兩點，點 M的坐標為1,0 .（1）9（1 ）當A, B兩點關于x軸對稱，且 MAB為等邊三角形時，求 AB的長;（2）當A, B兩點不關于x軸對稱時，證明：MAB不可能為等邊三角形【答案】（2）見解析【解析】R設丄（叫 心Fg 7）因為磁為等邊三角形尸所臥1刈二導I期-山 又點嚴）在橢圓ir1上，所時訃譽氐7,消去兒 得備；-2捫-BQ解得心或心£亠力步當g時，M二琴；當益=4時，I財二罟.根據(jù)題意可知，直線 AB斜率存在.設直線 AB y=kx+m A (xi, yi), B (X2, y2), AB中點為 N( xo, yo),聯(lián)立+3長=9i&#

27、39; = fcx+ rn222L",消去 y 得(2+3k2) x2+6kmj+3mi-9=0 ,6km. z、小,yi+y2=k (X1+X2) +2m= 3k22 2由厶 0 得 2m-9 k-6 v 0, 所以 xi+X2=- 24m4m，所以N (2 3k23km2 ，2 3k2普），又 M（1，0），假設MAB為等邊三角形，則有 MNL AB所以kMNiX k=-1 ,2m3km t2 + 3片 即x k=-1 ,化簡得23k223k +2+k葉0,由得m=-k，代入得2(3k+2)v 0,故 MAB可能為等邊三角形化簡得3k2+4v 0,矛盾，所以原假設不成立，C1：

28、r1 + v2 = 914、已知圓-，點A為圓Ci上的一個動點，AN x軸于點N，且動點M滿足Ulainm;,V + 2/lV = | 25/2-2|OV，設動點M的軌跡為曲線C.（1）求動點M的軌跡曲線C的方程;（2）若直線I與曲線C相交于不同的兩點 P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標原點 0,求線段PQ長度的取值范圍.【答案】（1） （2【解析】< 1）設動點耐（不必點旳n由于山 一m軸于點臥由題意OM 4- iAM 二2d- TpN ,得g) + 2(x-x<±r-vj = (22 -2)(=0)±.(3-2:3y-2vQ) = (22-2)3)-女-2總

29、二（2邁-2）毛:艮卩3v-2v. =0將點善弓代入5得曲線C的方程為?（2）當直線l的斜率不存在時，因以PQ為直徑的 圓過坐標原點 O ,故可設直線 OP為yx，聯(lián)立y x,.-x2y 解得 一1,84所以PQ 土"6 ；3F(x.甘當直線I的斜率存在時，設其方程為y kx m，設 '- ' > 二抵十也(1+2P)J + 4A?mx±2w?-8=0-7 y1 f十二 L聯(lián)立.，可得曲2曲Sx +x, .JC.X,=.八”白142F1+2F由求根公式得(*)!|_|i.HI F* 丄H ,1 I, /. OP 丄OO一 OP 00 - 0.-+ y2

30、 = 0.以PQ為直徑的圓過坐標原點 O ,J即J二碼旳十(耳 +«) = 0.(P +1)舟£ + 曲jq +JG)+ m: =0-即化簡可得，.一.一3 腫8 護& 小 3w2-8k2-£ = 0. .=0l+2Jir將(* )代入可得八，即PQ = J1十P忖劃二Jl+Jt* J金弋卅皿又奶+1)m =即一-£(Jt: +1)曲二 -F 代入，可得_ 麗 l(4p+i>q+P)=V彳(1+刃于1cd 一1 2.當且僅當4k ,即kk時等號成立又由2L+4P + 4P<|PQ|<2./3綜上，得£二+與二1口沁0）

31、15、如圖，橢圓 疣* 擴-經(jīng)過點a（ 0, -1 ）,且離心率為422（1）求橢圓E的方程;（2）若經(jīng)過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的亮點 P,Q （均異于點A）, 證明：直線 AP與AQ的斜率之和為定值。X2-1十尹'-1【答案】（1） -（ 2）見解析【解析】=- L332廠二十二 1. 由題設知金2結合總=h族,解得鼻二丿？，所決橢圓遐的方程丸）2由題酬b晝線皿林程対尸"肚7+""乩出戸 _1(1 + 2A?1)? - 4A(it-1) r+ 2kk- 2) = 0,F（嗎，乃）,0（碼 jJ.Ki巧 * °，2k(k-2)l+2J