一階線性微分方程教學(xué)設(shè)計

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一階線性微分方程教學(xué)設(shè)計課程名稱常微分方程授課內(nèi)容第一章第四節(jié)授課時間約8分鐘授課題目一階線性微分方程所屬學(xué)科數(shù)學(xué)課程類型數(shù)學(xué)專業(yè)課適用對象繼續(xù)教育學(xué)生使用教具投影儀教學(xué)背景一階線性微分方程是-類非常重要的微分方程，它具有完整的理論基礎(chǔ)和豐富的實(shí)際背景。對于一階線性常微分方程的學(xué)習(xí),關(guān)鍵要掌握它的求解方法：常數(shù)變易法，它是種非常有效且重要的求解方法。教學(xué)目標(biāo)(1)了解一階線性微分方程形式(2)熟練掌握求一階非齊次線性微分方程解的常數(shù)變易法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)常數(shù)變易法思路設(shè)計提問*一階線性微分方程的定義一階線性非齊次微分方程解法*舉例小結(jié)方法手段教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)法 教學(xué)手段：多媒

2、體輔助教學(xué)所用教材微分方程東北師范大學(xué)微分方程教研室，第二版,高等教育出版社教學(xué)內(nèi)容第四節(jié)一階線性微分方程我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了變量可分離方程，和齊次型方程的解法。一階線性微分方程是一類非常重要的微分方程，它具有完整的理論基礎(chǔ)和豐富的實(shí)際背景 本節(jié)課我們將主要來學(xué)習(xí)一階線性微分方程的定義以及它的求解方法.景/本、節(jié)課 T 我們1將_要來、學(xué) JI 丿 I 線丿以丿 J_方 /程口 J 定一、定義一階線性微分方程的形式是乎 +p(x)y = f(x) dx(1)f (x)稱為“自由項(xiàng)”如果f (x)三0,即業(yè) +p( x) y = 0 dx(2)稱為一階線性齊次方程如果f (x)不恒為零，則稱(1)為一

3、階線性非齊次方學(xué)習(xí)必備歡迎下載程.學(xué)習(xí)必備歡迎下載注：線性是指關(guān)于未知函數(shù)y和它的導(dǎo)數(shù)是線性的二、一階線性微分方程的通解先考慮線性齊次方程(2),注意這里“齊次”的含意與1.3節(jié)中的不冋，這里指的是在(1)中不含“自由項(xiàng)”f(x),即f(x)三0.顯然,是一個變 量可分離方程，由1.2節(jié)易知它的通解是亠_p(x)dxy = Ce(3)問題：如何求解一階線性非齊次微分方程呢？觀察方程(1)、(2)發(fā)現(xiàn)，這兩個方程是既有聯(lián)系又有區(qū)別.兩式左端是一樣的，而右端是不一樣的.因此猜想這兩個方程的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系 和區(qū)別.并且，還想利用齊次方程(2)的通解(3)去求非齊次方程的通解.顯然， 齊次方程(

4、2)的通解不是非齊次方程 的通解.因?yàn)椋?如果將(3)式直接代入(1)式，則會有f (x)等于0.要使(1)式恒等，(1)式左邊 必須要多出一項(xiàng)x的函數(shù)與右邊的f (x)相對應(yīng).根據(jù)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式和(3)式的特點(diǎn)，如果把(3)式變換成：兩 個函數(shù)的乘積，則有可能多出一項(xiàng).而(3)式是由常數(shù)C和指數(shù)函數(shù)兩部 分構(gòu)成，要使(3)式變換成兩個函數(shù)的乘積，最簡單的變換就是把C變換成函數(shù)C (x).猜想非齊次方程(1)有形如p(x)dxy = C(x)e，(4)通解，其中C (x)是待定函數(shù)將代入(1),有fp(x)dx_fp(x)dx_fp(x)dxC(x)e- p(x)C(x)e+ p(x)C(

5、x)e= f (x)即fp(x)dxC (x) = f (x)e積分后得fp(x)dxC(x) = J f (x)edx +C把上式代入(4),得到(1)的通解公式為fp(x)dx fp(x) dxf p(x)dxy =Ce、+e / f (x)edx.仔細(xì)觀察非齊次方程(1)的通解公式，我們可以發(fā)現(xiàn)它由兩項(xiàng)組成.第一項(xiàng) 是對應(yīng)齊次方程的通解，第二項(xiàng)是非齊次方程的一個特解.結(jié)論：一階線性非齊次方程(1)的通解，等于它所對應(yīng)的齊次方程(2)的通 解與非齊次方程(1)的一個特解之和.例1求解方程魚J+x2.dx x解顯然，這是一個一階線性非齊次方程.利用常數(shù)變易法，先求對應(yīng)齊次方程學(xué)習(xí)必備歡迎下載dy _ ydx x的通解為y = Cx.由常數(shù)變易法,令y=C(x)x為原方程的解，代入原方程有C(x)x + C(x) = C(x) + x2,即C (x) = x,積分得12C(x)=-x +C,2代回后得