矩陣的奇異值分解在數(shù)字圖像處理的應(yīng)用

1、 矩陣的奇異值分解在數(shù)字圖像處理的應(yīng)用淺析 學(xué) 院： 專 業(yè)： 姓 名： 學(xué) 號： 目 錄一、緒 論- 1 -二、數(shù)字圖像處理簡介- 2 -三、矩陣的奇異值分解原理- 4 -3.1 矩陣的奇異值- 4 -3.2 矩陣的奇異值分解（SVD）- 4 -四、奇異值分解的圖像性質(zhì)- 5 -五、圖像的奇異值分解壓縮方法- 7 -5.1 奇異值分解壓縮原理分析- 7 -5.2 奇異值分解壓縮應(yīng)用過程- 8 -六、小 結(jié)- 9 - 9 -一、緒 論目前，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，現(xiàn)實(shí)生活中有大量的信息用數(shù)字進(jìn)行存儲、處理和傳送。而傳輸帶寬、速度和存儲器容量等往往有限制，因此數(shù)據(jù)壓縮就顯得十分必要。數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)

2、已經(jīng)是多媒體發(fā)展的關(guān)鍵和核心技術(shù)。圖像文件的容量一般都比較大，所以它的存儲、處理和傳送會受到較大限制，圖像壓縮就顯得極其重要。當(dāng)前對圖像壓縮的算法有很多，特點(diǎn)各異，類似JPEG 等許多標(biāo)準(zhǔn)都已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。奇異值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一種基于特征向量的矩陣變換方法，在信號處理、模式識別、數(shù)字水印技術(shù)等方面都得到了應(yīng)用。由于圖像具有矩陣結(jié)構(gòu)，有文獻(xiàn)提出將奇異值分解應(yīng)用于圖像壓縮2，并取得了成功，被視為一種有效的圖像壓縮方法。本文在奇異值分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行圖像壓縮。二、數(shù)字圖像處理簡介首先，簡單介紹一下數(shù)字圖像處理。人們對數(shù)字圖像都應(yīng)該很

3、熟悉。我們在計算機(jī)上看到的圖像，數(shù)碼相機(jī)拍到的圖像，雷達(dá)圖像，人體MRI圖像等等。數(shù)字圖像處理是指用計算機(jī)對圖像進(jìn)行分析處理，以達(dá)到所需結(jié)果的技術(shù)。圖像處理的內(nèi)容十分廣泛，具體而言，可以分為：圖像獲取、圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、圖像壓縮、圖像分割等。這些內(nèi)容都是基于矩陣的處理得到的。下面舉例介紹幾個重要的應(yīng)用。圖像獲取是圖像處理的第一步。圖像獲取有很多方法，最常用的方法就是用傳感器如數(shù)字?jǐn)z像機(jī)、掃描儀等設(shè)備得到。數(shù)字圖像處理的定義：我們可以將一幅圖像定義為一個二維函數(shù)，這里和是空間坐標(biāo)，在空間坐標(biāo)上的幅值稱為該點(diǎn)圖像的強(qiáng)度或灰度。對于數(shù)字圖像而言，和幅值都是有限的、離散的。這樣一幅圖像就可以用一個二

4、維函數(shù)來表示。模擬圖像不利于計算機(jī)處理，所以我們常常將模擬圖像轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像。模擬圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)字圖像的方式是：取樣和量化。我們將坐標(biāo)值離散化稱為取樣，將幅度值離散化稱之為量化。經(jīng)過取樣和量化的圖像是一幅數(shù)字圖像。數(shù)字圖像的質(zhì)量很大程度上取決于取樣和量化的取樣數(shù)和灰度級。取樣和量化的結(jié)果是一個實(shí)際的矩陣。這個矩陣可以表示為更一般的矩陣表達(dá)方式為：圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)在數(shù)字圖像上的應(yīng)用，它的目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息從而用更加高效的格式存儲和傳輸數(shù)據(jù)。圖像數(shù)據(jù)之所以能被壓縮，就是因?yàn)閿?shù)據(jù)中存在著冗余。圖像數(shù)據(jù)的冗余主要表現(xiàn)為：圖像中相鄰像素間的相關(guān)性引起的空間冗余；圖像序列中不同幀之間存在相

5、關(guān)性引起的時間冗余；不同彩色平面或頻譜帶的相關(guān)性引起的頻譜冗余。圖像壓縮可以是有損數(shù)據(jù)壓縮也可以是無損數(shù)據(jù)壓縮。無損圖像壓縮方法主要有行程長度編碼、熵編碼法如LZW；有損壓縮方法主要有變換編碼，如離散余弦變換（DCT）或者小波變換這樣的傅立葉相關(guān)變換，然后進(jìn)行量化和用熵編碼法壓縮和分形壓縮（fractal compression）。圖像矩陣的奇異值（Singular Value）及其特征空間反映了圖像中的不同成分和特征。奇異值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 是一種基于特征向量的矩陣變換方法，在信號處理、模式識別、數(shù)字水印技術(shù)等方面都得到了應(yīng)用。我們主

6、要討論奇異值分解在圖像壓縮上的應(yīng)用。三、矩陣的奇異值分解原理3.1 矩陣的奇異值設(shè)，是的特征值，是的特征值，它們都是實(shí)數(shù)。且設(shè)則特征值與之間的關(guān)系為：，。設(shè)， 的正特征值，的正特征值，稱，是的正奇異值，簡稱奇異值。若是正規(guī)矩陣，則的奇異值是的非零特征向量的模長。3.2 矩陣的奇異值分解（SVD）若，是的個正奇異值，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，滿足：其中，為奇異對角陣。滿足是對角陣，滿足是對角陣。的第列為的對應(yīng)于奇異值對應(yīng)的左奇異向量，的第列為的對應(yīng)于奇異值對應(yīng)的右奇異向量。它們的每一列均為單位向量，且各列之間相互正交。若，是的個正奇異值，則總有次酉矩陣，滿足：，其中。奇異值分解是一種基于特征向量

7、的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。四、奇異值分解的圖像性質(zhì)任意一個矩陣的奇異值是唯一的，它刻畫了矩陣數(shù)據(jù)的分布特征。直觀上，可以這樣理解矩陣的奇異值分解：將矩陣看成是一個線性變換，它將維空間的點(diǎn)映射到維空間。經(jīng)過奇異值分解后，這種變換被分割成3個部分，分別為、和，其中和都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，它們對應(yīng)的線性變換就相當(dāng)于對維和維坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。若為數(shù)字圖像，則可視為二維時頻信息，可將的奇異值分解公式寫為：其中，和分別是和的列矢量，是的非零奇異值。故上式表示的數(shù)字圖像可以看成是個秩為1的子圖疊加的結(jié)果，而奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時頻信息，對應(yīng)的和可分別視為頻率矢

8、量和時間矢量，因此數(shù)字圖像中的時頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論， 奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣Frobenious-范數(shù)(F-范數(shù))相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則由矩陣奇異值分解的定義知：。也就是說，數(shù)字圖像經(jīng)奇異值分解后，其紋理和幾何信息都集中在、之中，而中的奇異值則代表圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表圖像的能量信息，因而具有穩(wěn)定性。設(shè)，是矩陣的一個擾動矩陣。和的非零奇異值分別記為：和。且，是的最大奇異值。則有：。由此可知，當(dāng)圖像被施加小的擾動時，圖像矩陣的奇異值變化不會超過擾動矩陣的最大奇異值，所以圖像奇異值的穩(wěn)定性很好。性質(zhì)2：矩陣的奇異

9、值具有比例不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，矩陣()的奇異值為。則有：。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，。若是酉矩陣，則矩陣的奇異值與矩陣的奇異值相同：。性質(zhì)4：設(shè)，。若，所以可得：上式表明，在F-范數(shù)意義下，是在空間（秩為的維矩陣構(gòu)成的線性空間）中的一個將秩最佳逼近。因此可根據(jù)需要保留個大于某個閾值的而舍棄其余個小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似。這就為奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用找到了依據(jù)。五、圖像的奇異值分解壓縮方法5.1 奇異值分解壓縮原理分析用奇異值分解來壓縮圖像的基本思想是對圖像矩陣進(jìn)行奇異值分解，選取部分的奇異值和對應(yīng)的左、右奇異向量來重構(gòu)圖像矩

10、陣。根據(jù)奇異值分解的圖像性質(zhì)1和4可以知道，奇異值分解可以代表圖像的能量信息，并且可以降低圖像的維數(shù)。如果表示個維向量，可以通過奇異值分解將表示為個維向量。若的秩遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和，則通過奇異值分解可以大大降低的維數(shù)。對于一個像素的圖像矩陣，設(shè)，其中，。按奇異值從大到小取個奇異值和這些奇異值對應(yīng)的左奇異向量及右奇異向量重構(gòu)原圖像矩陣。如果選擇的，這是無損的壓縮；基于奇異值分解的圖像壓縮討論的是，即有損壓縮的情況。這時，可以只用個數(shù)值代替原來的個圖像數(shù)據(jù)。這個數(shù)據(jù)分別是矩陣的前個奇異值， 左奇異向量矩陣的前列和 右奇異向量矩陣的前列元素。比率：稱為圖像的壓縮比。顯然，被選擇的奇異值的個數(shù)應(yīng)該滿足條件，即

11、。故在傳送圖像的過程中，不需要傳個數(shù)據(jù)，而只需要傳個有關(guān)奇異值和奇異向量的數(shù)據(jù)即可。接收端，在接收到奇異值以及左奇異向量和右奇異向量后，可以通過：重構(gòu)出原圖像矩陣。與的誤差為：某個奇異值對圖像的貢獻(xiàn)可以定義為，對一幅圖像來說，較大的奇異值對圖像信息的貢獻(xiàn)量較大，較小的奇異值對圖像的貢獻(xiàn)較小。假如接近1，該圖像的主要信息就包含在之中。通常圖像的奇異值都具“大L 曲線”，只有不多的一些比較大的奇異值，其它的奇異值相對較小，因此一般只需要比較小的k 就使接近1。在滿足視覺要求的基礎(chǔ)上，按奇異值的大小選擇合適的奇異值個數(shù)，就可以通過將圖像恢復(fù)。越小，用于表示的數(shù)據(jù)量就小，壓縮比就越大，而越接近，則與就

12、越相似。在一些應(yīng)用場合中，如果是規(guī)定了壓縮比，則可以由式求出，這時也同樣可以求出。5.2 奇異值分解壓縮應(yīng)用過程在對圖像進(jìn)行操作時，因?yàn)榫仃嚨木S數(shù)一般較大，直接進(jìn)行奇異值分解運(yùn)算量大， 可以將圖像分解為子塊，對各子塊進(jìn)行奇異值分解并確定奇異值個數(shù)，將每個子塊進(jìn)行重構(gòu)。這樣操作除了因?yàn)閷^小型的矩陣進(jìn)行奇異值分解的計算量比較小外，另一方面是為了利用原始圖像的非均勻的復(fù)雜性。如果圖像的某一部分比較簡單，那么只需要少量的奇異值，就可以達(dá)到滿意的近似效果。為了保證圖像的質(zhì)量就需要較多的奇異值。但是各個子塊的奇異值數(shù)目， 大小各不相同， 因此可以考慮為每個子塊自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)钠娈愔禂?shù)目。一種簡單的方法

13、是定義奇異值貢獻(xiàn)量的和來選擇，其中是一個接近1的數(shù)。對常見的256 ×256 .bmp格式的圖像（位圖），劃分為4×4個子塊，每個子塊大小為64×64。對每個子塊根據(jù)來選擇所需要的奇異值數(shù)目。增大的值來選擇奇異值數(shù)目，可以推理得隨著不斷增大，視覺效果越來越好。隨著不斷增大， 需要的奇異值也增多， 壓縮比會減小。六、小 結(jié)經(jīng)過以上討論可知，用奇異值分解進(jìn)行圖像壓縮，肯定能取得成功，也具有較好的應(yīng)用價值，但仍然需要有以下值得去思考并改善：1、對子塊的劃分可以采取更加有效的方法來完成。例如對規(guī)模很大的矩陣，隨機(jī)抽取矩陣的某些行列得到規(guī)模較小的矩陣，計算小矩陣的奇異值，重復(fù)若干次，用這些小矩陣的奇異值逼近原始矩陣的奇異。2、影響運(yùn)算速度的因素是SVD 變換運(yùn)算比較大，能否找到一個快速的SVD 變換算法。另外，若已知圖像矩陣的奇異值及其特征空間，一般認(rèn)為較大的奇異值及其對應(yīng)的奇異向量表示圖像信號，而噪聲反映在較小的奇異值及其對應(yīng)的奇異向量上。依