立體幾何中地軌跡問(wèn)題

1、實(shí)用文檔例析空間中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求空間圖形中點(diǎn)的軌跡既是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，又是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題， 既考 查空間想象能力，同時(shí)又考查如何將空間幾何的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面 的軌跡問(wèn)題來(lái)處理的基本思想。一.軌跡為點(diǎn)例1已知平面| ,直線l ，點(diǎn)P l ,平面，之間的距離為8, 則在 內(nèi)到P點(diǎn)的距離為10且到直線l的距離為9的點(diǎn)的軌跡是()A. 一個(gè)圓 B. 兩條直線C.兩個(gè)點(diǎn) D.四個(gè)點(diǎn)解析：設(shè)Q為 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在 內(nèi)射影為。，過(guò)O, l的平面與 的交線為l ,PQ=10 OQ=102 82 6點(diǎn)Q在以O(shè)為圓心6為半徑圓上，過(guò)Q作QM l于M又 點(diǎn)

2、Q到直線l的距離為9 QM=92 82 歷則點(diǎn)Q在以l平行距離為V17的兩條平行線上兩條平行線與圓有四 個(gè)交點(diǎn) 這樣的點(diǎn)Q有四個(gè)，故答案選 a點(diǎn)評(píng)：本題以空間圖形為背景，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上，再用 平面幾何知識(shí)解決，要熟記一些平面幾何點(diǎn)的軌跡。二.軌跡為線段例2.如圖，正方體ABCD ABCR中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP BD1 ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔A.線段BiC B.線段BCi C.BBi中點(diǎn)與CCi中點(diǎn)連成的線段D. BC中點(diǎn)與BG中點(diǎn)連成的線段解：連結(jié) AB1, AC, B1C ,易知 AB1 ABD1 所以 AB1 BD1, AC

3、BD1,B1C BD1 , 所以BD1 面AB1C，若 P B1C ,則AP 平面 AB1C ,于是BD1 AP ,因 此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BiCo評(píng)注：本題是由線面垂直的性質(zhì)從而求出點(diǎn) P的軌跡。例3 已知圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。為底面中 心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周），若AM MP, 則點(diǎn)P的軌跡是。形成的軌跡的長(zhǎng)度為。解析：在平面SAB中，過(guò)M作AM的垂線交AB于C,在底面上，過(guò)C 作AB的垂線分別交底面圓于 D,E兩點(diǎn)，則AM面MDE,DE為點(diǎn)P 的 軌跡，又 AO=1,MO=23 ,AM=4 ,從 而 AC=4 ,OC7 ,所 以 DE=2,1

4、 3 2年.所以填上線段；寫.三.軌跡為直線例4 （北京高考題）如圖，AB是平面 的斜線段，A為斜足，過(guò)點(diǎn)B 作直線l與AB垂直，則直線l與平面 交點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C. 一條直線 D.兩條平行直線解析：由題意可知直線l的軌跡應(yīng)是過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的平面，該平面與平面交點(diǎn)為一條直線，故答案選C.標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔四.軌跡為圓弧例5 如圖，P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD AiBiCiDi表面上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=”，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為f B 也 -AL-面DC內(nèi)分別方解析：由已知 AC=A1=AD= V2，在面 BC,面 AC,BP=AP=DP=1所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是在面BC,面AiC,

5、面DC內(nèi)分別以B,D,Ai為圓心，i為半徑的三段圓弧，且長(zhǎng)度相等，故軌跡長(zhǎng)度和為五.軌跡為平面例6.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面?zhèn)€數(shù)為A. 3 B . 4C. 6解析：以不共面的四個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四面體，則滿足條件的平面 可分兩類。第一類是中截面所在的平面有4個(gè)； 第二類是和一組對(duì)棱 平行且經(jīng)過(guò)其它各棱中點(diǎn)的平面有3個(gè)， 故滿足條件的平面 個(gè)數(shù)為4 + 3 = 7 .故答案選D .評(píng)注：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造空間四邊形,利用四面體的性質(zhì)去求解。六.軌跡為圓例7,如圖，三角形PAB所在的平面和四邊形ABCDJf在的平面垂直，且 AD ,BC , AD=4 BC=8AB=6 APD C

6、PB ,則點(diǎn) P 在平面內(nèi)的軌跡是（）A.圓的一部分 B. 橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔解析：由條件易得 AD|BC,且 APD CPB , AD=4, BC=&可得 tan APD 齋CB = tan CPB,即；B黑2,在平面PAB內(nèi)以AB所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則22A (-3, 0) ,B (3, 0),設(shè) P(x,y),則有魯 丁 32 y2 2,整理可得一 x 3 y個(gè)圓的方程即x2 y2 10x 9 0x 0。由于點(diǎn)P不在直線AB上，故此 軌跡為圓的一部分故答案選A.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間軌跡問(wèn)題，是在

7、立體幾何與解析幾何的交匯 處命制的創(chuàng)新題，既考查了空間想象能力，又考查了代數(shù)方法(坐標(biāo)法)研究幾何軌跡的基本思想。7 .軌跡為拋物線例8.如圖，正方體ABCD AB1clD1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在棱AB上，且AM=1， 點(diǎn)P是平面ABCDk的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P到直線ADi的距離與動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是().A.圓 B. 拋物線C.雙曲線 D. 直線分析：動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題是解析幾何中常見的問(wèn)題，因此我們可以把立體關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面上去，利用解析幾何的知識(shí)將問(wèn)題解決。解：設(shè)PF AR于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PE AD于點(diǎn)E,連結(jié)EF,則AD平 面 PEF, AD EF ,即 EF/AA1。因?yàn)?/p>

8、 |PF|2 | PM 2 1 ,且 pf|2 1 pf|2 |ef2 |pe2 ,所以|pe pm。由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M為焦點(diǎn)，AD為準(zhǔn)線的拋物線，故應(yīng)選B.評(píng)注：從立體轉(zhuǎn)化到平面，從平面到直線，顯然是在逐級(jí)降維，平面標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔比立體簡(jiǎn)單，直線又比平面簡(jiǎn)單，這是復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化。8 .軌跡為橢圓例9,(浙江高考題)如圖，AB是平面 的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得 ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是()BA.圓 B. 橢圓/工小/C. 一條直線 D.兩條平行直線解析：由題意可知 ABP的面積為定值 點(diǎn)P到AB的距離也為定值，點(diǎn)P在空間中的軌跡應(yīng)是以 AB為

9、旋轉(zhuǎn)軸的圓柱面，又點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該是圓柱面被平面所截出的橢圓。故答案選B。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查軌跡問(wèn)題，注意交軌法的應(yīng)用。九.軌跡為雙曲線 例10.(2010年重慶高考題)到兩條互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()A.橢圓 B. 拋物線C.雙曲線 D. 直線解析：構(gòu)造正方體模型，在邊長(zhǎng)為a 的正方體 ABCD A1B1C1D1 中，DC與AD是兩條相互垂直的異面直線，平面 ABCDii直線DC且平行于AD,以D為原點(diǎn)，分別以DA,DCC x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x,y)在平面ABCD內(nèi)且到DC與AQ之間的距離

10、相等，所以標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔x bV , x2 y2 a2。故答案選C點(diǎn)評(píng)：本題以空間圖形為背景，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面上，再用 解析幾何法求解，實(shí)現(xiàn)從立體幾何到解析幾何的過(guò)渡， 這里用解析幾 何的知識(shí)解決立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題，恰好是當(dāng)今高考的命題方向。本題考查立體幾何，解析幾何知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力，靈活 運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)， 構(gòu)造正方體模型，簡(jiǎn)化了思維 難度。十.軌跡為球例11.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD AiBCiDi中，長(zhǎng)度為4的線段 MN的一個(gè)端點(diǎn)N在DD上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn) M在底面ABCDt運(yùn)動(dòng)， 則MN的中點(diǎn)P的軌跡與其頂點(diǎn)D的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何

11、體C解析：由ND平面ABCD ND DM在Rt NDM中，P為斜邊MN勺中點(diǎn),的體積是則DP 2mn 2故點(diǎn)P的軌跡是以D為球心，2為半徑的球面，與其頂點(diǎn)D的正方體的三個(gè)面所圍成的幾何體是八分之一球體。因此!14038333點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力和推理能力以及球的體積計(jì)算，確 定點(diǎn)P的軌跡是關(guān)鍵。標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔含兩個(gè)變量的不等式化歸和構(gòu)造策略近幾年在高考試題的函數(shù)壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)含有兩個(gè)變量的不等式證明問(wèn)題，面對(duì)兩個(gè)變量學(xué)生會(huì)感覺無(wú)從下手， 造成找不到解 題的突破點(diǎn)；下邊通過(guò)幾道例題，讓大家感受化歸和構(gòu)造的策略。策略一：當(dāng)兩個(gè)變量可以分離時(shí)，根據(jù)其兩邊結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不

12、等式。例1 (2010年遼寧文科21)已知函數(shù)f(x) (a 1)ln x ax2 1.(I )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(H )設(shè) a 2,證明：對(duì)任意 xl(0,), |f(x1)f(x2)|4|x1用|。解：(I) f(x)的定義域?yàn)?0,+),f (x) = 2ax 2ax2a 1.xx當(dāng)an。時(shí)，f(x)>0,故f(x)在(0,+)單調(diào)增加;當(dāng)aw 1時(shí)，f(x)<0,故f(x)在(0,+ )單調(diào)減少;當(dāng)一1<a<0時(shí)，令 f (x)=0,解得 x=J U .當(dāng) x£ (0, J U )時(shí), . 2a12af (x)>0; x (a 1高，+

13、 淵，f(x)<。，故 f(x)在(°,單調(diào)增加，在(U, + )單調(diào)減少.2a(H)不妨假設(shè)x14x2.由于aw 2,故f(x)在(0, + )單調(diào)減少.所以 |f(x1)f(x2)4x1x2等價(jià)于 f(x1)f(x2)A4x1一4x2, 即 f(x2)+4x2 > f(x1)+ 4x1.令 g(x)=f (x)+4x,則 g (x) a- 2ax +4 = x2222ax 4x a 1.于是 g(x)W 4x 4x 1= (2x 1)W0. xxx從而g(x)在(0, +)單調(diào)減少，故g(xi) wg(x2),標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔即f(Xi)+ 4xwf(X2)+ 4x2

14、,故對(duì)任意 Xi,X2 6 (0,+),f(Xi) f(X2)4Xi X2 .當(dāng) e<x<e2時(shí)，1 In x<0,例2 (2009年遼寧理科21)已知函數(shù) f(x)= -x2 ax+(a 1) ln x , a 1。(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：若a 5,則對(duì)任意x1，x 2(0,), x 1 x 2 ,有f(x)f(x2) I c解：(1) f(x)的定義域?yàn)?0,f (x) x aa 1 x ax a(x 1)(x(i )若a 1 1即a 2,則 f'(x) “ 故f(x)在(0,)單調(diào)增加。(ii)若 a 1 1,而 a 1,故 1 a 2,則當(dāng)

15、 x (a 1,1)時(shí),f'(x) 0;當(dāng) x (0,a 1)及 x (1,)時(shí)，f '(x) 0故f(x)在(a 1,1)單調(diào)減少，在(0,a 1),(1,)單調(diào)增加。(iii) 若a 1 1 ,即a 2 ,同理可得f (x)在(1,a 1)單調(diào)減少，在 (0,1),(a 1,)單調(diào)增加.1 C(II)考慮函數(shù) g(x) f (x) x x2 ax (a 1)ln x xa 1則 g (x) x (a 1)2xga- (a 1) 1 (Va1 1)由于 1<a<5,故 g (x) 0 ,即 g(x)在(4,+OO)單調(diào)增加，從而當(dāng)x1 x2 0標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔時(shí)有

16、 g(Xi) g(X2)0,即 f(Xi) f(X2)Xi X2 0 ,故 Ux1Nx2) 1,當(dāng) X1 X20 Xi X2 時(shí)，有 f(Xl)f(X2)f(X2)f(X1) 1 X1 X2X2 Xi練習(xí) 1 已知函數(shù) f (x) = aX 1 In x( a R).討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若函數(shù)f(x)在x= 1處取得極值，？ x6 (0 , +°°), f (x) >bx-2 恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；2 一 V, 1 In V,. ,當(dāng)0<xvy<e且x# e時(shí)，試比較,與;(一.的大小.X 1 in X, 一1 ax 1,解 f

17、 (x)=a =,當(dāng) aw0 時(shí)，XXf' (x)<0在(0, +s)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0, +s)上單調(diào)遞減， ./(刈在(0, +s)上沒有極值點(diǎn)；當(dāng) a>0 時(shí)，f' (x)<0 得 0<xJ, f' (x)>0 得 X， aa./(*)在(0, §上單調(diào)遞減，在(；，+ 00)上單調(diào)遞增，-，1 一一即f(X)在x=5處有極小值.當(dāng)aw 0時(shí)，f(x)在(0, +s)上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0, +s)上有一個(gè)極值點(diǎn).函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，. a=1, .f(x)nbx 2? 1 +1

18、lnb,' 'XX'1 In x令 g(x) =1+j 一丁, X X標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔2 ln x則 g(x)= 一胃+-x2-，g' (e2)=0,從而可得g(x)在(0, e2上單調(diào)遞減，在e2, +) 上單調(diào)遞增， g( X)min = g(e )=1 1,即 bW 1 22. ee_1 ln x由知g=1+在(0,e)上單調(diào)遞減, 0<x<y<e2 時(shí)，g(x)>g(y), 即上也" 當(dāng) 0<x<e 時(shí)，1 In x>0,.y>kdn_Xx 1 ln x'y 1 ln y-<-x 1

19、 ln x策略二、當(dāng)兩個(gè)變量分離不開時(shí)通過(guò)作差或作商等策略略將兩個(gè)變量劃歸為一個(gè)變量，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明。例 3、已知函數(shù) f (Q 二InK _ a (x 1) , aER.(I)若x=2是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，求曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程；(H)若函數(shù)f (x)在(0, +s)上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；(田)設(shè)n為正實(shí)數(shù)，且m> n,求證：卬： <畔.Inm- Inn 2標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔(I)根據(jù)x=2是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)，則f' (2) =0可求出a的值，然后求出切線的斜率和切點(diǎn)，從而可求出切線方程；(II )根據(jù)f

20、 (x)的解析式求出f (x)的導(dǎo)函數(shù)，通分后根據(jù)函數(shù)f (x)在(0, +s)上為單調(diào)增函數(shù)，得到分子大于 0恒成立，解 出2a-2小于等于一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出這個(gè)函數(shù) 的最小值，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到 a的 取值范圍；(III )把所證的式子利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及不等式的基本性質(zhì)變形，即要證ln->0,根據(jù)(II )得到h (x)在x大于n 斗 n等于1時(shí)單調(diào)遞增，且討大于1,利用函數(shù)的單調(diào)性可得證.羋/(工+1)=/十(2-力>產(chǎn)，K(x+1 )X (x+1 由題意知f' (2) =0,解得a,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.4從而切線的斜率為k=f

21、' (1) =-3,切點(diǎn)為(1,0)切線方程為x+8y-1=0(II ) f' (x)=k2+(2 - 2a) x+1x (x+1因?yàn)閒 (x)在(0, +oo)上為單調(diào)增函數(shù)，所以f ' (x) A0在(0,+oo)上恒成立即 x2+ (2-2a) x+1>0在(0, +8)上恒成立,當(dāng) x6 (0, +oo)時(shí)，由 x2+(2 2a) x+1A0,標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔得：2a - 2< x+,設(shè) g (x) =x+l, x (0, +°°),則g (x) =x+A2t1=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=1時(shí)，g (x)有最小值 W Y曰戈2,所以2

22、a- 2<2,解得a<2,所以a的取值范圍是(- 2;(III )要證 e <四, lnm- Inn 22 C-1)即此三>9，即ln匹n 網(wǎng)十nn設(shè) h (x) =lnxx+1由(II )知h (x)在(1, +s)上是單調(diào)增函數(shù)，又三>1,nIs (-1) I所以h (三)>h (1) =0,即ln上>0成立，nn理十in得到卬一口 <四. Inin- Inn 2本題主要考查了學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 掌握不等 式恒成立時(shí)所滿足的條件，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最小值，是一道中 檔題.例4 (2013年陜西)已知函數(shù)f(x)

23、ex,x R.(I )求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(n )證明：曲線y = f (x) 與曲線y 2x2 x 1有唯一公共點(diǎn).(m)設(shè)a<b,比較f 2 與ff的大小,并說(shuō)明理由. 2b a【答案】解：(I ) f (x) 的反函數(shù)g(x) ln x,則y=g(x)過(guò)點(diǎn)(1,0)標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔的切線斜率k=g'(i).1g'(x) k g'(1) 1.過(guò)點(diǎn)(1,0) x(n )證明曲線y=f(x)與曲線如下.令 h(x) f(x) 1x2 x 1 ex 1 x2h'(x) ex x 1, h'(x)的導(dǎo)數(shù) h'

24、;'(x)的切線方程為:y = x+ 1y 2x2 x 1有唯一公共點(diǎn)，過(guò)程x 1,x R,則ex 1,且h(0) 0, h'(0)0,h''(0) 0因此,當(dāng)x 0時(shí)h”(x)0 yh'(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x 0時(shí)h''(x) 0 y h'(x)單調(diào)遞增y h'(x) h'(0) 0,所以y h(x)在R上單調(diào)遞增，最多有一 個(gè)零點(diǎn)x 0 所以，曲線y=f(x)與曲線y 1x2 x 1只有唯一公共點(diǎn)(0,1).(證畢)(田)設(shè) f(a) f(b) f(b) f(a)2b a(b a 2) f(a) (b a 2)

25、f (b)2 (b a)(b a 2) ea (b a 2) eb2 (b a)(b a 2) (b a 2) eb a令 g(x) x 2 (x 2) ex,x 0,則g'(x) 1 (1 x 2) ex 1 (x 1) ex.)上單調(diào)遞增g'(x)的導(dǎo)函數(shù) g''(x) (1 x 1) ex x ex0,所以 g'(x)在(0,，且g'(0) 0.因此g'(x) 0, g(x)在(0,)上單調(diào)遞增，而g(0) 0,所以在(0,)±g(x) 0.當(dāng)x 0時(shí)，g(x) x 2 (x 2) ex0且ab,(b a 2) (b a

26、2) eb a a ne 0 2 (b a)所以當(dāng)aW f(b) f(a)b a標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔練習(xí)2 (2006年四川理科22)已知函數(shù)f(x) x Xx2. *22x2 ) a ln . x1x2()Xx22 2 alnx (x ), f(x) x的導(dǎo)數(shù)是f(x)。對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)xi、x2,證明：(I )當(dāng) a 0時(shí)，f(x1) f(x2) f(_2);22,7(n )當(dāng) a 4時(shí)，| f (xi) f (x2)| |xi x21。本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用,函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力證明：(I )由 f(x) x2 - alnx，得 xf(xi) f(x2)1/22.11. a.、 (Xx2 ) ( ) (In x In x?)22x1x22aln : x1x21/22、 x2-(xix )2x