幾種插值方法比較與應(yīng)用2

1、幾種插值方法的比較與應(yīng)用摘要：本文是對(duì)學(xué)過(guò)的插值方法進(jìn)行了總結(jié)、比較，使我們?cè)谶M(jìn)行工程計(jì)算的過(guò)程中更清楚的知道哪一種方法適合哪一種類型，了解哪種方法在已知條件下可以得到更優(yōu)的結(jié)果以滿足計(jì)算要求。關(guān)鍵詞：數(shù)值分析，插值，多項(xiàng)式1 前言在許多實(shí)際問(wèn)題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，然而，這種關(guān)系經(jīng)常很難有明顯的解析表達(dá)，通常只是由觀察與測(cè)試得到一些離散數(shù)值。有時(shí)，即使給出了解析表達(dá)式，但卻由于表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，不僅使用不方便，而且不易于進(jìn)行計(jì)算與理論分析。解決這類問(wèn)題的方法有兩種：一種是插值法，另一種是擬合法。插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來(lái)自生產(chǎn)實(shí)踐。早在一千多年前，我國(guó)科學(xué)家在研究歷法

2、上就應(yīng)用了線性插值與二次插值，但它的基本理論確實(shí)在微積分產(chǎn)生之后才逐漸完善的，其應(yīng)用也日益增多，特別是在計(jì)算機(jī)軟件中，許多庫(kù)函數(shù)，如等的計(jì)算實(shí)際上歸結(jié)于它的逼近函數(shù)的計(jì)算。逼近函數(shù)一般為只含有算術(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單函數(shù)，如多項(xiàng)式、有理分式（即多項(xiàng)式的商）。在工程實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，我們也經(jīng)常會(huì)碰到諸如此類的函數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。被計(jì)算的函數(shù)有時(shí)不容易直接計(jì)算，如表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜或者只能通過(guò)某種手段獲得該函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值信息或者導(dǎo)數(shù)值信息等。因此，我們希望能用一個(gè)“簡(jiǎn)單函數(shù)”逼近被計(jì)算函數(shù)，然后用該簡(jiǎn)單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計(jì)算函數(shù)的函數(shù)值。這種方法就叫插值逼近或者插值法。插值法要求給出函數(shù)的一個(gè)函數(shù)表，然后選

3、定一種簡(jiǎn)單的函數(shù)形式，比如多項(xiàng)式、分段線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，通過(guò)已知的函數(shù)表來(lái)確定一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)作為的近似，概括地說(shuō)，就是用簡(jiǎn)單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。2 插值法的基本概念2.1 插值法的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點(diǎn)上得值，若存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，使得 成立，就稱為的插值函數(shù)，點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，包括插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間成為插值區(qū)間，求插值函數(shù)的方法成為插值法。若為次數(shù)不超過(guò)n的代數(shù)多項(xiàng)式 其中的為實(shí)數(shù)，就稱為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值。若為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值。2.2 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差（余項(xiàng)）：若在上用近似，則 稱為插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差，又稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。代數(shù)插值法有

4、Lagrange插值法、逐次線性插值法、Newton插值法、Hermite插值法、分段插值法等。其基本思想都是用高次代數(shù)多項(xiàng)式或分段的低次代數(shù)多項(xiàng)式作為被插函數(shù)的近似表達(dá)式。3 幾種常見(jiàn)的代數(shù)插值法3.1 Lagrange插值法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在上個(gè)不同點(diǎn)上得函數(shù)值，若存在一個(gè)至少n次的插值多項(xiàng)式 其中為實(shí)數(shù)。先構(gòu)造函數(shù)，它們的次數(shù)不超過(guò)n，且滿足然后以對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的函數(shù)值為系數(shù)作線性組合，即得所要求的多項(xiàng)式。由多項(xiàng)式有n個(gè)根，故它必有如下形式這些函數(shù)稱為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，而是至多n次多項(xiàng)式，且滿足稱其為n次Lagrange插值多項(xiàng)式。3.2 Newton插值法設(shè)有函數(shù)為一系列互

5、不相等的點(diǎn)，稱為關(guān)于點(diǎn)的一階差商。一般的稱為關(guān)于的k階差商。表1 差商表一階差商二階差商三階差商其中顯然，是滿足插值條件的至多n次多項(xiàng)式?？傻?。3.3 Hermite插值法設(shè)，已知互異點(diǎn)，及所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，導(dǎo)數(shù)值為，則滿足條件 的次Hermite插值多項(xiàng)式為 其中 稱為Hermite插值基函數(shù)，是Lagrange插值基函數(shù)，若，插值誤差為，4 插值法的應(yīng)用拉格朗日插值法和牛頓插值法是兩種常用的簡(jiǎn)便的插值法。但牛頓插值法則更為簡(jiǎn)便，與拉格朗日插值多項(xiàng)式相比較，它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開(kāi)始”的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘、除法運(yùn)算次數(shù)。同時(shí)，在牛頓插值多項(xiàng)式中用到的差分與差商等概

6、念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有著密切的關(guān)系。例1 已知函數(shù)表如下0.10.20.30.40.50.60.099830.198670.295520.389420.479430.56464計(jì)算的值。解：方法一 利用拉格朗日插值法計(jì)算。(1) 因?yàn)椋〔逯迭c(diǎn)使用的拉格朗日插值法（線性插值），得因所以 故有：可見(jiàn)，用作為的近似值，可保證有三位有效數(shù)字。（2）取插值點(diǎn)使用的拉格朗日插值法（線性插值），得因所以 故有：可見(jiàn)，用作為的近似值，可保證有四位有效數(shù)字。方法二 利用牛頓插值法計(jì)算構(gòu)造差商表一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商0.10.099830.20.198670.99840.30.29552

7、0.9685-0.14950.40.389420.9390-0.14750.006670.50.479430.9001-0.1945-0.15667-0.408350.60.564640.8521-0.2400-0.151670.01250.8417（1）由牛頓公式得一次插值多項(xiàng)式為（2）由牛頓公式得二次插值多項(xiàng)式為（3）由牛頓公式得五次插值多項(xiàng)式為從上面的計(jì)算過(guò)程可以看出，拉格朗日插值法的線性插值與拋物插值的計(jì)算過(guò)程沒(méi)有繼承性，即增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作必須重新開(kāi)始，而牛頓插值則避免了這一問(wèn)題，這樣大量的節(jié)省了乘、除法運(yùn)算次數(shù)，減少了計(jì)算的時(shí)間。因此，對(duì)于一些結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)，牛頓插值法

8、比拉格朗日插值法要占優(yōu)勢(shì)。但是，牛頓插值法也存在的問(wèn)題，就是在高次插值時(shí)，誤差可能會(huì)增大，如本題可看出，高次插值會(huì)不穩(wěn)定。這說(shuō)明高次牛頓插值不可取，因此在采用牛頓插值法時(shí)常使用分段低次插值的方法，以獲得更精確的計(jì)算結(jié)果。例2根據(jù)函數(shù)的數(shù)據(jù)表0.400.500.700.80-0.916291-0.693147-0.356675-0.2231442.5000002.0000001.4285711.250000運(yùn)用Hermite插值計(jì)算。解 ，首先構(gòu)造Hermite插值基函數(shù)，。然后利用Hermite插值公式寫(xiě)出 直接計(jì)算得 ，. .事實(shí)上，另外 ，.5 結(jié)束語(yǔ)綜上看比較出各種插值方法的優(yōu)缺點(diǎn)。拉格朗日插值法：可對(duì)插值函數(shù)選擇多種不同的函數(shù)類型，由于代數(shù)多項(xiàng)式具有簡(jiǎn)單和一些良好的特性，故常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)公式也將發(fā)生變化，這在實(shí)際計(jì)算中是很不方便的，為了克服這一缺點(diǎn)，提出了牛頓插值可以克服這一缺點(diǎn)。牛頓插值法：牛頓插值法具有繼承性和易變性的特點(diǎn)，當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要再增加一項(xiàng)就可以了即，而拉格朗日插值若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)全部基函數(shù)都需要重新算過(guò)。牛頓插值法既適合于用來(lái)