清華大學馬連榮05無窮小量

1、2.5 無窮小量與階的比較2.5.1 無窮小量與無窮大量2.5.2 無窮小與無窮大的性質(zhì)2.5.3 無窮小量階的比較2.5.4 問題研究2.5.5 小結(jié): 怎樣熟練地求極限22,sin2 ,ln(1),e1.xxxx 都是無窮小量 定義2.5.1在某個變化過程中,極限等于零的函數(shù)稱為無窮小量.0 x 當時,x 當時,xxx2,ln1,1都是無窮小量.1x 當時,sin , lnxx 都是無窮小.注 無窮小量是處在某個變化過程中的變量.因此任意一個非零實數(shù)(不論它的絕對值多么小)都不是無窮小量.2.5.1 無窮小量與無窮大量(無窮大量的直觀定義)在某個變化過程中,絕對值無限增大的函數(shù)稱為無窮大.

2、,0時當xxxxcot|,|ln,1都是無窮大量.,時當xxxx2,ln,2都是無窮大量.xy1|ln xy xycot2xy xylnxy2例如 定義0( )f xx設(shè)在的某個去心鄰域中有定義.,M如果對于任意正數(shù).都能找到正數(shù)0000(,)(,)xxxx使得在去心鄰域中( ).f xM恒有0,( )xxf x則稱當時是正無窮大量.0,( ).xxf x或者當時趨向于正無窮0( )().f xxx 記作0lim( ).xxf x 有時也寫作定義 2.5.2 (無窮大的嚴格定義)注( )f x如果是正無窮大量,0lim( ).xxf x則不存在0lim( ).xxf x 是為了表示方便而采用的

3、一個記號定義2.5.30( ).f xx設(shè)在的某個去心鄰域中有定義,M如果對于任意正數(shù),都能找到正數(shù)0000(,)(,)xxx x使得在去心鄰域中( ).f xM 恒有0,( ).xxf x則稱當時是負無窮大量0,( ).xxf x或者當時趨向于負無窮0( )().f xxx 記作0lim( ).xxf x 有時也可以寫作定義2.5.40( ).f xx設(shè)在的某個去心鄰域中有定義,M如果對于任意正數(shù),都能找到正數(shù)0000(,)(,)xxx x使得在去心鄰域中|( )|.f xM恒有0,( ).xxf x則稱當時是無窮大量0,( ).xxf x或者當時趨向于無窮大0( )().f xxx 記作0

4、lim( ).xxf x 有時也可以寫作注1無窮大量包括正無窮大和負無窮大.無窮大量是處在某個變化過程中的變量.注2任意常數(shù)(不論它的絕對值多么大)都不是無窮大量.定義2.5.5()x 時的無窮大量( )( ,).f xa 假設(shè)在有定義,M如果對于任意正數(shù),N都能找到正數(shù),xxN只要滿足( ).f xM就有x 則稱當時,( ).f x 是正無窮大量( )().f xx 記作在不至于產(chǎn)生誤解的情況下, 也可以記作.)(limxfx同樣的方式可以定義負無窮大量和無窮大量問題討論100(1)10?是不是無窮小量回答不是!任何非零實數(shù)都不是無窮小.因為無窮小量是變量,不是常量.(2) 實數(shù)零是不是無窮

5、小?常數(shù)零不是無窮小量.理由同上.但是,在某個變化過程中恒等于零的函數(shù)是無窮小量.因為恒等于零的函數(shù)以零為極限.(3)ln?x函數(shù)是不是無窮小回答回答1,ln0,xx當時因此 lnx 是無窮小.2, ln,xx當時不是無窮小lnx 不是無窮小.0 x當時,lnx1. 同一變化過程中無窮小的和、差、積都是無窮小量.但是兩無窮小的商未必是無窮小量., 0)(limxf0| )(| )()(|0 xfMxgxf( )g x 有界,這個結(jié)論可以由極限的四則運算得到.例如,0時當xxxxsin,2都是無窮小量. 但是0 x 當時,xx2是無窮小量,2xx是無窮大量,sin1.xx2. 無窮小量與有界變量

6、的乘積仍然是無窮小量.證明假設(shè)在某個變化過程中,即存在正數(shù) M , 使得在這個變化過程中恒有|( )|.g xM則有從而 f(x)g(x) 也是無窮小量.2.5.2 無窮小與無窮大的性質(zhì)3. 同一變化過程中, 4. 無窮大量的倒數(shù)是無窮小量;但兩無窮大量的和、差、商不能確定其結(jié)果.例如當 x+ 時,3,1xx都是無窮大量,但是當 x+ 時,31xx40.13xx 不等于零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量.5. (對任一變化過程) limf(x)=A 的充分必要條件是:f(x)=A+其中 是一個無窮小量.無窮大量與無窮大量的乘積仍然是無窮大量.( )(1)lim1,( )f xg x如果( )( ).

7、f xg x則稱與是等價無窮小量( )(2)lim0,( )f xcg x如果( )(3)lim0,( )f xg x如果( ) ( ).f xo g x記作( ),( ).f xg x假設(shè)在同一變化過程中都是無窮小( )( ).f xg x則稱與是同階無窮小量( )( ).f xg x則稱是的高階無窮小量記作 f(x)g(x).定義2.5.62.5.3 無窮小量階的比較0,x 所以當時0,x 所以當時21 cos.2xx與等價11kxxk 與等價.例2.5.1, 1sinlim0 xxx, 1)1ln(lim0 xxx, 11elim0 xxx1e, )1ln(,sin,xxxx.都是等價無

8、窮小量例2.5.2kxxxxkxx111lim,21cos1lim020( )(4)0,|,( )f xMxMg x如果當 變到某種程度時總成立( ) ( ).f xO g x則記作等價無窮小代換在求極限的過程中,無窮小因子可以用另一個與之等價的無窮小代替,從而使問題的得到簡化.等價的無窮小因子可以互相代換的原理如下:假設(shè)在某個變化過程中 , 都是無窮小量.其中 與 等價, 與 等價.,lim存在若gf則gfgflimlimlimlimgflim.fg于是無窮小量 被它的等價無窮小量 取代了.同樣, 位于分母的無窮小量 ,也可以被它的等價無窮小量 取代.求極限20(1 cos )sin2lim

9、.ln(1)(e1)xxxxx解0,x 當時211 cos,2xx與等價sin22.xx與等價22ln(1),xx與等價 e1.xx 與等價220122lim1.xxxxx) 1e)(1ln(2sin)cos1 (lim20 xxxxx于是用等價無窮小代換之后得到)4cos1 (arctan) 121(tanlim320 xxxxx例2.5.42208)32(limxxxxx1.12 例2.5.3求極限過程中,加減項不能隨意用等價無窮小代替!例2.5.5下面的做法是錯誤的!30sintanlimxxxx,0時當 x,sintan等價都與和xxx30limxxxx300lim0.xx于是正確的做

10、法是:30sintanlimxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxxxxcos21lim3202300112limcoslim.2xxxxxx無窮小解答1.問題:下列運算是否正確?00sinlim( )lim1.xxuf xu1sin,uxx令00.xu時所以不對!0lim( )xxf x極限存在的前提條件是000(,)(, ).fxxx在的某個去心鄰域中有定義1sin0.nx則1(1,2,),nxnn記1(1,2,),nxnn在點列1sin( sin)( ).1sinxxf xxx令( ).f x 沒有定義2.5.4 問題研究2. 除去恒等于零的函數(shù)之外, 有沒有最高階

11、或者最低階的2. 有關(guān)無窮小的討論題1. 在同一過程中, 是否任意兩個無窮小量都可以比較階?沒有!2( ).o10sin.xxxx時與不能互相比階不一定!設(shè)在某個變化過程中 是不等于零的正無窮小量.則有3. 無窮大量與無界變量有什么區(qū)別?無窮大量和無界變量都是處在某個變化過程中的函數(shù),無窮大量一定是無界變量, 但反之未必然.2,.xx 當時是無窮大量2sin.xx 是無界變量無窮小量?那么對于任意正數(shù)M (不論它有多么大),以x+的情形為例說明無窮大量與無界變量的區(qū)別.將 x 看作時間 , f(x) , g(x) 是隨時間變化的函數(shù).如果 f(x) 是無窮大量,都存在某個時刻 T , 在這個時

12、刻以后恒有 | f(x) | M.那么對于任意正數(shù)M,如果 g(x) 是無界函數(shù),都存在某個時刻 T , 使得| g(T) | M .但是在時刻 T 以后 , 不一定永遠有| g(T) | M .2xy xxysin2e)1 (lim .1xxxAe)11 (lim .-xxxBe)1 (lim .5xxxCe)111 (lim .1xxxD 2. 下列極限中存在的是1lim.2xxAxxxB211lim.xCx1arctanlim.0 xxxDxcosln1arcsinlim.2201. 下列哪個等式正確?3.一組選擇題, 設(shè)在某個變化過程中是等價無窮小,求下列變量的極限:cos1)6(si

13、ntan)4(sin) 1 ()2() 3(1)1 ()5(ee)7(212100e1211(.)設(shè)1cos)8(411sin1)9(211ln)10(414. 一組計算題1)1lim( 假設(shè),是同一變化過程中的兩個無窮小量.lim為了求極限只需要求極限0lim) 1 ( k0lim)2()3()4(1)1lim(ke1)1lim(11)1 (0)1 (15. 一組計算題利用上述結(jié)果求下列極限:xxxxcot0)sin(coslimxxxxcot0sin) 1(cos1 lim10)1 (limxsin(cos1),tan .xxx其中00sin(cos1)limlim1,tanxxxxxco

14、t0lim(cossin )e.xxxx所以1)1ln(lim0ttt并且記住一些常用極限掌握兩個重要極限, . 1 21cos1lim20 xxx11elim0uuu)0(ln1lim0aauauu以及例題和習題中某些重要結(jié)論.kxxkx111lim0mxxmx1)1 (lim02.5.5 小結(jié)：怎樣熟練地求極限xxxxxxsinsin11)sin1()sin1 ( 例11sinsin00lim(1 sin )lim(1 sin )e.xxxxxxxx1sinsin0,(1 sin )e,1,xxxxx當時所以2. 將所求表達式變形為兩個重要極限或者已知極限0arctanlim.sinxxx

15、又如考察arctan,tan .uxxu令則xxuuxxuxsintanlimsinarctanlim00 xxuuuuusintantansinsinlim0000sintanlimlimlim1.sintansinuuxuuxuux3. 熟練地運用極限運算法則2420sin21coslimxxxx242200cos1121limlim.xxxxxx2202420sinlim21coslimxxxxxxx242021coslimxxxx4. 熟練地運用等價無窮小互相代替23220sintantansin)211)(21ln(lim) 1 (xxxxxx0,x 當時sintantanxx與等價

16、sintan;xx與等價22tansinsinxx與等價22tansin xx與等價;ln(12 )2xx與等價.33220)211)(2(limxxxxx原式23220211lim2xxxx) 121(lim) 11(lim 22320220 xxxxxx1272.233 常用等價無窮小sin;xxtan;xx21 cos;2xxarctan;xxarcsin;xxln(1);xxe1;xx1ln ;xaxa(1)1.xx例2.5.6 計算11110lim,0,0,0.xxxxxabcabcabc解1111111100()limlim 1xxxxxxxxxxabcabcabcabcabc10(1)(1)(1)lim 1xxxxxa ab bc cabc(1)(1)(1)()(1)(1