獨立性檢驗的思想及應用

1、3.2獨立性檢驗的獨立性檢驗的基本思想及其初基本思想及其初步應用步應用高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例2 2定量變量回歸分析（畫散點圖、相關系數(shù)r、定量變量回歸分析（畫散點圖、相關系數(shù)r、變量 相關指數(shù)R 、殘差分析）變量 相關指數(shù)R 、殘差分析）分類變量分類變量研究兩個變量的相關關系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨立性檢驗獨立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨立性檢驗

2、問題。在日常生活中，我們常常關心在日常生活中，我們常常關心分類變量之間是否有關系分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？例如，吸煙是否與患肺癌有關系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等。 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結果

3、（單位：人）人，得到如下結果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例. 等高條形圖等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征 由圖可知，在吸煙樣本中患病的頻率要高一些，因此直觀上認為吸煙更容易引發(fā)

4、患病，即“吸煙與患病有關吸煙與患病有關”能有多大把握認為吸煙與患病有關呢？能有多大把握認為吸煙與患病有關呢？ 獨立性檢驗第一步：第一步：H H0 0： 吸煙吸煙和和患病患病之間沒有關系之間沒有關系 通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結論是：結論是：吸煙與患病有關吸煙與患病有關結論的可靠結論的可靠程度如何？程度如何？ 患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙a ab ba+ba+b不吸煙不吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d第二步：列出第二步：列出2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表 用用K K2 2統(tǒng)計量研究這統(tǒng)計量研究這類問題的方法類問題的方

5、法步驟步驟第三步：引入一個隨機變量：第三步：引入一個隨機變量：第四步：查對臨界值表，作出判斷。第四步：查對臨界值表，作出判斷。dcban其中P( K0) 0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001K00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828)()()()(22dcbadbcabcadnK2K患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙a ab ba+ba+b不吸煙不吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d列出列出2 22 2

6、列聯(lián)表列聯(lián)表 假設假設H H0 0：吸煙和患病吸煙和患病之間沒有關系之間沒有關系 即即H H0 0：P(AB)P(AB)P(A)P(B) P(A)P(B) 其中其中A A為某人吸煙，為某人吸煙，B B為某人患病為某人患病 設設n na ab bc cd d 則則P(A) P(A) nba P(B) P(B) nca 故故P(AB) P(AB) ncanba怎樣的關系？有關吸煙與患病之間有通過這個式子你能得到化簡得其中即bcaddcbanncanbana之間關系越強。越大，說明吸煙與患病之間關系越弱越小，說明吸煙與患病bcadbcad-;-作為統(tǒng)一的評判標準構造隨機變量)()()()(22dcb

7、adbcabcadnK應該很小。則沒有關系”，成立，即“吸煙與患病若20KH 獨立性檢驗通過公式計算通過公式計算患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙49492099209921482148不吸煙不吸煙42427775777578177817總計總計91919874987499659965632.5691987421487817209942497775996522KH H0 0： 吸煙吸煙和和患病患病之間沒有關系之間沒有關系解解：P( K0) 0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001K00.455 0.708 1.323 2.072 2.70

8、6 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8282K故在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下斷定吸煙與患病有關現(xiàn)在的 =56.632的值遠大于10.828，所以有理由判定 不成立，即認為“吸煙與患病有關系”，但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.0012K即在 成立的情況下， 大于6.635概率非常小，近似為0.01，是個小概率事件。0H2K已知在已知在 成立的情況下，成立的情況下，0H01.0)635.6(2KP0H反證法原理與假設檢驗原理反證法原理： 在一個已知假設下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設不成立。假設檢驗原理：在一個已知假設下，如果一個與該假設矛盾的小概

9、率事件發(fā)生，就推斷這個假設不成立。22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd 5、獨立性檢驗獨立性檢驗0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0)k2P(K臨界值表臨界值表828.102K635. 62K706. 22K22.706K 0.1%0.1%把握認為把握認為A A與與B B無關無關1%1%把握認為把握認為A A與與B B無關無關99.9%99.9%把握認把握認A A與與B B有關有關99%

10、99%把握認為把握認為A A與與B B有關有關90%90%把握認為把握認為A A與與B B有關有關10%10%把握認為把握認為A A與與B B無關無關沒有充分的依據(jù)顯示沒有充分的依據(jù)顯示A A與與B B有關，但也不能顯示有關，但也不能顯示A A與與B B無關無關第一步：第一步：H H0 0： 吸煙吸煙和和患病患病之間沒有關系之間沒有關系 患病患病不患病不患病總計總計吸煙吸煙a ab ba+ba+b不吸煙不吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d第二步：列出第二步：列出2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表 6、獨立性檢驗的步驟、獨立性檢驗的步驟第三步：計算第三

11、步：計算第四步：查對臨界值表，作出判斷。第四步：查對臨界值表，作出判斷。)()()()(22dcbadbcabcadnKP(k kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人名男性病人中，有中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有住院的男性病人中有175人禿頂。人禿頂。(

12、1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關系？利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關系？(2)能否在犯錯誤的概率不超過能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂?shù)那疤嵯抡J為禿頂與患心臟病有關？與患心臟病有關？患心臟病患其他病總計禿頂不禿頂總計66521445177217559738910481437題型一題型一有關有關“相關的檢驗相關的檢驗”解。根據(jù)已知的數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表解。根據(jù)已知的數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表患心臟病患心臟病 不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437例例1 在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的6

13、65名男性病人中，有名男性病人中，有214人禿頂；而另外人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。人禿頂。(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關系？利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關系？(2)能否在犯錯誤的概率不超過能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟的前提下認為禿頂與患心臟病有關？病有關？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437 根據(jù)聯(lián)表根據(jù)聯(lián)

14、表1-13中的數(shù)據(jù)，得到中的數(shù)據(jù)，得到221437 (214 597 175 451)16.3736.635.389 1048 665 772K所以有所以有99%的把握認為的把握認為“禿頂患心臟病有關禿頂患心臟病有關”。所以，在犯錯誤的概率不超過所以，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟病有關。的前提下認為禿頂與患心臟病有關。你所得的結論在什么范圍內(nèi)有效？你所得的結論在什么范圍內(nèi)有效？例例2.2.在在500500人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的人身上試驗某種血清預防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外感冒記錄與另外500500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果

15、如名未用血清的人的感冒記錄作比較，結果如表所示。表所示。未感冒未感冒感冒感冒合計合計使用血清使用血清252248500未使用血清未使用血清224276500合計合計4765241000試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預試畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷這種血清能否起到預防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。防感冒的作用？并進行獨立性檢驗。解：設解：設H0：感冒與是否使用該血清沒有關系。：感冒與是否使用該血清沒有關系。075.7500500526474216242284258100022K因當因當H0成立時，成立時，K26.635的概率約為的概率約為0.01，故有，故有99%的把

16、握認的把握認為該血清能起到預防感冒的作用。為該血清能起到預防感冒的作用。P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828有效有效無效無效合計合計口服口服585840409898注射注射64

17、6431319595合計合計1221227171193193解：設解：設H0：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關系。：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關系。3896.19598711224064315819322K因當因當H0成立時，成立時，K21.3896的概率大于的概率大于15%，故不能否定假設，故不能否定假設H0，即不能作出藥的效果與給藥方式有關的結論。，即不能作出藥的效果與給藥方式有關的結論。例例3 3：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效：為研究不同的給藥方式（口服與注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關，進行了相應的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結果列與無效）是否有關，進行了相應的抽樣調(diào)查，調(diào)查的結果

18、列在表中，根據(jù)所選擇的在表中，根據(jù)所選擇的193193個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果個病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果和給藥方式有關的結論？和給藥方式有關的結論？P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828例例4：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人：氣管炎是一種常見的呼吸道疾病，醫(yī)藥研究人員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行對比，員對兩種中草藥治療慢性氣管炎的療效進行對比，所得數(shù)據(jù)如表所示，問：它們的療效有

19、無差異？所得數(shù)據(jù)如表所示，問：它們的療效有無差異？有效有效無效無效合計合計復方江剪刀草復方江剪刀草18461245膽黃片膽黃片919100合計合計27570345解：設解：設H0：兩種中草藥的治療效果沒有差異。：兩種中草藥的治療效果沒有差異。098.11100245702759161918434522K因當因當H0成立時，成立時，K210.828的概率為的概率為0.001，故有，故有99.9%的把握的把握認為，兩種藥物的療效有差異。認為，兩種藥物的療效有差異。 為了探究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關，為了探究學生選報文、理科是否與對外語的興趣有關，某同學調(diào)查了某同學調(diào)查了361名高二在

20、校學生，調(diào)查結果如下：理科名高二在校學生，調(diào)查結果如下：理科對外語有興趣的有對外語有興趣的有138人，無興趣的有人，無興趣的有98人，文科對外語人，文科對外語有興趣的有有興趣的有73人，無興趣的有人，無興趣的有52人試分析學生選報文、人試分析學生選報文、理科與對外語的興趣是否有關？理科與對外語的興趣是否有關？題型題型二二有關有關“無關的檢驗無關的檢驗”【例例1】解解列出列出22列聯(lián)表列聯(lián)表理理文文總計總計有興趣有興趣13873211無興趣無興趣9852150總計總計236125361P(kk0)0.500.400.250.150.100.050.025 0.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【例【例2】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：單位：mm)的值落在的值落在(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個分廠生的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，結果如下表：件，量其內(nèi)徑尺寸，結果如下表：甲廠甲廠 題型題型三三獨立性檢驗的基本思想獨立性檢驗的基本思想