幾種特殊類型行列式及其計算

1、11 行列式的定義及性質(zhì)1.11.1定義3n級行列式a11a12IIIa1na21*a22qqIIIa2n*an1qan2IIIann這里v表示對所有n級排列求和.j1j2| IIjn1.21.2性質(zhì)4性質(zhì)1.2.1行列互換，行列式的值不變.性質(zhì)1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符號外.性質(zhì)1.2.3如果某行（列）的所有元素都可以寫成兩項的和,則該行列式可以寫成兩行列式的和；這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應(yīng)的兩個加數(shù)之一，其余各行（列）與原行 列式相同.性質(zhì)1.2.4兩行（列）對應(yīng)元素相同,行列式的值為零.性質(zhì)1.2.5兩行（列）對應(yīng)元素成比例，行列式的值為零.性質(zhì)1.2.

2、6某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）對應(yīng)的元素上,行列式的值不變.性質(zhì)1.2.7交換兩行（列）的位置,行列式的值變號.等于所有取自不同行不同列的個n元素的乘積aijla2jj|anjn（1）的代數(shù)和,這里 川2川jn是1,2j|,n的一個排列,每一項（1）都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)jij2川jn是偶排列時,帶正號，當(dāng)jlj2川jn是奇排列時，（1）帶有負號這一定義可寫成aiia21ffaran1a22an2IllIIIa2nann、_1心jnj1j2“l(fā)jnj1a2jl Ianjn22 行列式的分類及其計算方法2.12.1箭形（爪形）行列式這類行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）

3、對角線上元素外的其他元素均 為零，對這類行列式可以直接利用行列式性質(zhì)將其化為上（下）三角形行列式來計算即利用對 角元素或次對角元素將一條邊消為零.例1計算n階行列式2.22.2兩三角型行列式這類行列式的特征是對角線上方的元素都是c,對角線下方的元素都是b的行列式，初看, 這一類型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由這類行列式變換而來，對這類行列式，當(dāng)b二c時可以化為上面列舉的爪形來計算，當(dāng)b = c時則用拆行例）法來計算.Dn二解將第一列減去第二列的a11川a20III0a3IIIIIIIIIIIIIII100IIIan倍，第三列的a2倍第n列的丄倍，得a3ana11 - IIIa200III

4、0320II 033 I I inHI HI00 inn二.aii =2n31-二i=2丄3i丿3例2計算行列式4b川b b川ba3川b111 IIIHI b川an將第2行到第行n都減去第1行，則Dn化為以上所述的爪形，即n：l丨 - b bia bi_ab-i ia川bai =i當(dāng)bc時，用拆行（列）法9，則xia a川a為a a HIa + 0b x2a川abx2a III a + 0Dn =b b x3川ab bx3III a + 0川III HI III IIIlli III III III HIb b b川x,b b b川b + Xn-b解當(dāng)b=c時aicc川ba2c川Dn= bba

5、3川IIIIIIIII IIIb b b|l|cccHIan用上述特征1的方法，則有aiab一aba?- bb0IIIIIIb06 =b _ a0a3-bIII0IIIIII川IIIb a00IIIanbn1i =2ai- b0 IIIb -aib- aiIIIb -aia2 - b0 1)10a3 - b 1)1IIIHIHI00III000IIIan _bDna1bb a2b bIII IIIb b5X1aaIIIaXa aIH0bX2aIIIabX2aIH0bbX3川a+bb X3IH0川III HIHIIHIH HI HIIIIHIbbb川bbb bINXn-bX1 -a0IHIHab

6、 -aX2 a川IHaIIIIIHIHIa+(Xn b)Dn_pb -ab_a川XnA一a a00IH0b化簡得Dn二b祕一a2X丨aa x_b1D而若一開始將Xn拆為a Xn-a，則得Dn= aiXb2XlbJ X bnXa-iD由1& -b -2XnT，得1 -nn1Dn = ,n(X -b)-bn (Xj -a ).a -b - yjm有一些行列式雖然不是兩三角型的行列式，但是可以通過適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化成兩三角型行列式進行計算例3計算行列式dcbXb川a川baDn =caXIH a 52)IHIHIII HcaaIII X解將第一行b，第一列a，得bca2dbc aaXaaIHIHaa

7、D =11JaaaXHI aIIIIH HI HIi6aaaIH X7即化為上2一1情形，計算得ndDn=d x-a i亠i n-1 ad-be x-a而對于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一樣在保持行列式不變的基礎(chǔ)上提出公共因子的，則用升階法8來簡化.例4計算行列式將第i行減去第一行的人i =2,川,n倍，得這就化為了爪形，按上述特征1的方法計算可得n二1二i =1解將行列式升階，得1+X12X1X2卅X212mDn二_X1-X2III片10HI0X201HI0IIIIIIIIIIIIIIIX00HI1Dnn1亠一Xii =100IIIXi10III001III0IIIXnIIIIII

8、IHIII00II12DnDn82.32.3兩條線型行列式這類行列式的特征是除了主（次）對角線或與其相鄰的一條斜線所組成的任兩條線加四個9頂點中的某個點外，其他元素都為零，這類行列式可直接展開降階，對兩條線中某一條線元素全為0的，自然也直接展開降階計算例5計算行列式aiIIIa2Dn =川III川HIbnIII解按第一行展開可得a2b2 IIIIHlliIII a3 baIIIIIIDn =ai III IIIIIIIIIIIIIII1III IIIan / L.IIIIII HIIIIanIIIIIIIHPIIIIIIIIIIIIIII.IIIan/bnIIIIHanIllinIHIHa2b

9、2IHIIIIII-m+0(-)HIIIIIHHIHIIIIHIanA.IIIHInHIanVbn_1pa2川an_1n1blb山bn例6計算行列式anan JD2n +Cn Jcn解方法1直接展開可得anJ-Ibnj044a-biD2n =anc-dIi+Cn 4卜dn J0dntn+a biCdidn1dn0andbn 441a-tbi-七+ *(-)c.d-i+CnX卜dn 4Cn01011bndanJbnd二And.aiGbidiaiCibididnjdnj= (andn bnCn JDn i yD2nN.andn -06D2 na.dn- 砧8n jdn J- bn jCn JD2n

10、2詡I八ajdj-bC.方法2 （拉普拉斯定理法）按第一行和第2n行展開得bn+abi di+dn-（andn -bnCn）D2（n4j其余的同法i.2.42.4 Hessenberg型行列式這類行列式的特征是除主（次）對角線及與其相鄰的斜線，再加上第i或第n行外，其他元 素均為零，這類行列式都用累加消點法，即通常將第一行（列）元素化簡到只有一個非零元素，以便于這一行或列的展開降階計算例7計算行列式anJD2nanbidnH2n卅七nIaiCii23HIn ini-i0HI00Dn =02-21*100IIIIIIIIIHIIHIIIIIIIIIIIIIHn -22 n0000HIn ii -

11、 n解將各列加到第一列得1213000川n11n的行列式，這類行列式的特征是除這三條斜線上元素外，其ba他元素均為零， 這是一遞推結(jié)構(gòu)的行列式， 所有主子式都有同樣的結(jié)構(gòu)，從而以最后一列展開，將所得的n-1階行列式再展開即得遞推公式.對這類行列式用遞推法 例8計算行列式a bcabDn =CIS+ + bc a解按第一列展開有Dn=aDnd-bcDnq解特征方程x2-ax be =0得n (n +1 )220-1Dn =02IIIHIillH3川n1n0III00-2III00IHIIHIIIIIinIIIn 22n0按第一列展開得III 002.52.5三對角型行列式22n( n +1 6=

12、七川川III III0 IIIHI 00III III IHn -2 2-n 00 n11na b cab形如Dn = C I + +4Hc14a+yja2-4bcx,X2 -2n 1 n 1（為-X2）Dn,xix2 |.Xr_X2分別使n =1,2得a - -16,b =25,則Dn=5n 14n r.2.62.6各行（列）元素和相等的行列式加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都減去第一行 例），即可使行列式中 出現(xiàn)大量的零元素.例10計算行列式1+ara1卅aDn =a21+ a2IIIa2nIIIIIIHIIIIa -、a24bc例9計算行列式解按第一行展開得解特征方

13、程得則Dn_9Dn20 =0.Xi 4, X2= 5.Dna4nJn Jb5這類行列式的特征是其所有行（列）對應(yīng)元素相加后相等，對這類行列式，將其所有例）15解將第2行到第n行都加到第1an1行，得anIII 1+anIII16=1 aiIII an.2.72.7相鄰兩行（列）對應(yīng)元素相差1的行列式這類行列式的特征是大部分以數(shù)字為元素且相鄰兩行（列）元素相差1的行列式，對這類行列式，自第一行（列）開始，前行例）減去后行（列），或自第行n（列）開始，后行例）減去前行（列）,現(xiàn)大量的零元素.例11計算行列式n -2Dn1aJU ana2III1 a1川an1 a2IIIanHIIIIIIIIII1

14、 a1川ana2III1 an=0=0 + +a ai+川+a+an n a2IIIan11 a2IIIanIIIIIIIIIIIIa2III1 an10=(1 +a1+ 川+an川011HIIIIIIIIIIIII0III1即可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式,若相鄰兩行（列）元素相差倍數(shù)再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素則前（后）行（列）減去后（前）行（列）的-k倍，可Dn012IIIn _2n-101IIIn _3n-210IIIn _4n -4 IIIIIIDn二-1-1-111-11*1-1n T-1n -2-1n -31III17n -1解依次用前行減去后行，可得現(xiàn)將第1列加到第2列至第n列，得18例11計算階n行列式這是相鄰兩行（列）相差倍數(shù)a，可采用前行減去后行的/ n1 a0Dn=0+0a=1 - an2.82.8范德蒙德型行列式這類行列式的特征是有逐行（列）元素德行列式來計算-100Ill00-1-20III00-1+-2i-2rhIII04404i+-1-2r-2III4-240n -12n -32n 4IIInn 1（叮Fn-1.Dn2IIIn_2n Aaaaa1IIInJ3n_2aaanA1IIIn_4naAaa13a