格型自適應(yīng)濾波器

1、第四章 格型自適應(yīng)濾波器本章研究另一類線性自適應(yīng)濾波器， 其是設(shè)計(jì)基于階數(shù)更新和時(shí)間更新的遞 歸算法。這種新的自適應(yīng)濾波器與前面章節(jié)所研究的濾波器的不同之處在于階數(shù) 更新。而這可以利用均勻采樣后時(shí)間數(shù)據(jù)的時(shí)移特性來實(shí)現(xiàn)。 就結(jié)構(gòu)而言， 階更 新獲得一種計(jì)算高效、 模塊化以及格型的結(jié)構(gòu)； 它可將前面 m-1 階計(jì)算得到的 信息傳遞到更新后的m階濾波器。最后結(jié)果是實(shí)現(xiàn)其計(jì)算復(fù)雜度與濾波器 m階呈 線性關(guān)系的自適應(yīng)濾波器。與其他類型線自適應(yīng)濾波器相同， 階遞歸自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)也是基于下面 兩種方法：1 隨機(jī)梯度法 它建立在前向線性格型預(yù)測器和后向格型預(yù)測器的基礎(chǔ)上。2 最小二乘法 它建立在卡爾曼濾

2、波器與最小二乘濾波器之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的基 礎(chǔ)上。LMS和RLS濾波器同屬于橫向自適應(yīng)濾波器，在實(shí)際應(yīng)用中，一個(gè)橫向?yàn)V波 器的最優(yōu)階數(shù)通常是未知的， 這就需要通過比較不同階數(shù)的濾波器來確定最優(yōu)的 階數(shù)。但是，當(dāng)改變橫向?yàn)V波器的階數(shù)時(shí)，LMS和RLS算法必須重新運(yùn)行，這顯 然是很不方便且費(fèi)時(shí)，而格型濾波器解決了這一難題。格型濾波器最突出的特點(diǎn)是局部相關(guān)聯(lián)的?；瘔K結(jié)構(gòu)， 格型系數(shù)對(duì)于數(shù)值擾 動(dòng)的低靈敏性， 以及格型算法對(duì)于信號(hào)協(xié)方差矩陣特征值擴(kuò)散的相對(duì)惰性， 使得 其算法具有快速收斂和優(yōu)良數(shù)值特性，已被廣泛應(yīng)用于信號(hào)預(yù)測和濾波處理。4.1 梯度自適應(yīng)格型算法梯度自適應(yīng)格型( GAL， gradient-

3、adeptive lattice)濾波器具有對(duì)稱的格型結(jié)構(gòu)， 從隨機(jī)梯度法得出的階遞歸自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)簡單， 但在特性方面是 近似的；其設(shè)計(jì)的簡單性在于格型濾波器的每一級(jí)只有一個(gè)反射系數(shù)。 其設(shè)計(jì)準(zhǔn) 則和LMS算法一樣是使均方誤差為最小。圖 4.1 示出了一個(gè)單級(jí)格型預(yù)測器的方框圖：bm i(n)由反射系數(shù)Km 表征的第m級(jí)m【6圖4.1單級(jí)格型預(yù)測器其輸入輸出關(guān)系用單個(gè)參數(shù)一一反射系數(shù)Km來表征。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)廣義平 穩(wěn)且km為復(fù)值。對(duì)于km的估計(jì)，首先考慮代價(jià)函數(shù)1 2 2Jfb,-E| fm(n)|2|bm(n)|2(4-1)其中，fm(n)是第m級(jí)前向預(yù)測誤差，bm(n)是第m級(jí)后向預(yù)測

4、誤差。fm(n) 和bm(n)在第二章已有定義，它們都是在本級(jí)濾波器輸出端測量的；E為統(tǒng)計(jì)期望算子；引入1/2是為了簡化表達(dá)式。格型濾波器的輸入輸出關(guān)系為：fm(n) = fm(n)心(n-1)(4-2)bm( n) =bm( n-1)心仁(n)(4-3)把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)，并對(duì)代價(jià)函數(shù)求關(guān)于km的偏導(dǎo)數(shù)，我們得到：-Jfb,mKm(E fm_1(n)|2 + E bmdn -1) +2Ebm(n 1)爲(wèi)(n)(4-4)如令該梯度等于零，則當(dāng)代價(jià)函數(shù)Jb,m取得最小值時(shí)，即得反射系數(shù)最優(yōu)值為：Km(4-5)Ebm(nn)2e| 仁(n)|2|bm(n-1)|2式(4-5)

5、就是反射計(jì)算的計(jì)算公式。由于式(4-5)涉及使用集平均。設(shè)輸入信號(hào)u(n)是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m級(jí)格型預(yù)測器反射系數(shù)Km的估計(jì)為：n無 bm4(i -1)f；4(i)Km(n 心(4-6)才(| fm(i)f |bma(i -1)|2)2 y我們定義:1 J；22z( n)(|fmj(i)|bmj(i-1)|)(4-7)i 4；m(n)是直到時(shí)刻n (包含n)測得的m級(jí)輸入前向預(yù)測誤差和延遲的后向 預(yù)測誤差的總能量.將式(4-6)中的| fmi(i) |2 - |bmj(i -1)|2與其他和式分離，即得計(jì) 算和丄(n)總能量的遞歸公式： 2 2m 1 (

6、n _ 1)= ；mj(門-1)*1 fm J(i) 1|bm(i _ 1) 1(4-8)采用類似方式，可對(duì)6式中的分子寫出遞歸公式，它表示時(shí)間平均互相關(guān)nnd、bm(i -1)f；八 bm(i -1)fm(i)+bm_1(i -1)f；(n) (4-9)i 4i =4將式(4-8)和式(4-9)代入式(4-6)，可得反射系數(shù)估計(jì)值的遞歸關(guān)系式為： 心二心)/血曲n)嘰一1)(4-10)S(n)為了最終確定梯度格型濾波器算法的表達(dá)式，對(duì)式(4-8)和式(4-10)做如下兩點(diǎn)修改：1引入步長參數(shù)，用來控制從一次迭代到下一次迭代傳遞中每個(gè)反射系數(shù) 的調(diào)整量：Km(nr Km(n-1)(f；*n)b

7、m(n) bm(n- 1)f；(n)(4-11)zmA n)2修改式(4-8)的能量估計(jì)器，使之成為如下形式：名m*n) = Bgm(n1) + (1 B)( fm(“屮+監(jiān)上n 1)2)(4-12)式中是一個(gè)介于Ovl 1之間的新參數(shù)。導(dǎo)出式(4-10)的遞歸估計(jì)器，原來假設(shè)工作在平穩(wěn)情況下，為了處理非平穩(wěn) 情況下的統(tǒng)計(jì)變量，引入修改后的式(4-11)。修改的目的是使估計(jì)器具備記憶功 能，并借助預(yù)測能量最接近的過去值；m4( n)及現(xiàn)在值來計(jì)算反射系數(shù)的估計(jì)值。在GAL算法中，當(dāng)反射系數(shù)Km( n)的更新式中使用時(shí)變步長參數(shù)Jm(n)=時(shí)引入了一種類似于歸一化LMS算法的歸一化形式。由式(4

8、-12)%4(n)可以看出，對(duì)于較小的前后向預(yù)測誤差，參數(shù)；m：(n)相應(yīng)較小；或者等效地，步長參數(shù)(n)相應(yīng)較大。從實(shí)用觀點(diǎn)看，這種性能很比較需要。本質(zhì)上，小的預(yù)測誤差意味著自適應(yīng)格型預(yù)測器正在為它所運(yùn)行的外部環(huán)境提供一個(gè)精確的模型。因此，如果預(yù)測誤差增大，應(yīng)該是外部環(huán)境變化引起的；在這種情況下，能 夠?qū)@種變化作出快速響應(yīng)的自適應(yīng)格型器將是高度合乎需要的。事實(shí)上，可通過設(shè)定(n)為一個(gè)較大值來實(shí)現(xiàn)這一目的，這也使得 GAL算法中的式(4-10) 一 開始就能夠快速收斂到新的環(huán)境。但是，加到自適應(yīng)格型預(yù)測器的輸入數(shù)據(jù)含噪過多 (即有用信號(hào)上加有很強(qiáng) 的白噪聲成分)則由自適應(yīng)格型預(yù)測器所產(chǎn)生的

9、預(yù)測誤差相應(yīng)就大。 在這種情況 下，參數(shù)mi(n)取較大值，或者等效地，步長參數(shù) (n)取較小值。因此，這時(shí) GAL算法中式(4-10)并不恰好像我們所希望的那樣，能對(duì)外界環(huán)境的變化作出快 速相應(yīng)。GAL算法的流程歸納如下：參數(shù)：M最終預(yù)測階數(shù)mL(n -1)中的：=，0.09多級(jí)格型預(yù)測：對(duì)于階數(shù)m=1,2,M,置fm(0) =bm( n) =0(4-13)；m(0)取 0.01，Km(0)取為 0。.對(duì)于時(shí)間步：n=1,2,置fo( n) =6( n) =u( n)(4-14)對(duì)于預(yù)測階數(shù)m=1,2,M,和對(duì)于時(shí)間步：n=1,2,計(jì)算(4-15)= m(n-1)+(1- B)( fmu(

10、n)2 + bm(門- 1)fm(n)二 fmd(n) Kmbmd(n-1)(4-16)bm(n)二bm(n-1)心也(n)(4-17)Km(n) = Km(n -1) - (n)(憶(n)bm(n) bm4(nn)(4-18)4.2 GAL算法仿真分析用自適應(yīng)預(yù)測來驗(yàn)證新算法的收斂性能。自適應(yīng)預(yù)測示意圖如圖2.7所示。所示。計(jì)算機(jī)仿真條件為：設(shè)輸入信號(hào)x(n)由二階AR模型所產(chǎn)生x(n )=1.558x (n-1)-0.81x( n-2)+V( n)(4-19)其中a1=1.558，a2=-0.81,V(n)為一白噪聲，我們用一個(gè)二階LMS自適應(yīng)橫向預(yù)測器和一個(gè)二階梯度自適應(yīng)格型預(yù)測器分別對(duì)

11、 ai和a2作出估計(jì)，通過迭代, 這兩種方法的估計(jì)值3!和32分別分別趨于1.558和-0.81。需要注意的是，因?yàn)?自適應(yīng)格型預(yù)測器估計(jì)出的是反射系數(shù) 心(n)和心(n)，所以需要將其進(jìn)行換算， 也即a!和a2可按下式算出：AAAai(n)二Ki(n)1 K2(n)(4-20)AA32( n) n)(4-21)圖4.2示出了三種算法的a1n，a2 n曲線。-1E11IE1f1-二二_；_-亡”. 皿5-* 卞TJ C| / GAL 算法LMS算法/J Y /l .jri亠 L J +tirJiritg值權(quán)1.510.50-0.502004006008001000120014001600180

12、02000采樣點(diǎn)數(shù)圖4.2兩種算法權(quán)值收斂軌跡以上曲線均為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)100次取平均得來。由圖4.2可見，LMS算法和GAL 算法算得的a1和a2都分別趨于1.558和-0.81，但自適應(yīng)格型算法的收斂速度比 橫向自適應(yīng)算法快很多。梯度自適應(yīng)格型濾波器算法的反射系數(shù)用遞推算法得來，不涉及矩陣求逆， 其計(jì)算量比LMS略高，比RLS算法低。可應(yīng)用與比LMS算法要求高的場合。但是， 一些場合往往需要更高的收斂速度才能滿足要求。這就迫使我們研究一種收斂更快的格型算法。那就是下面要介紹的 LSL算法。4.3最小二乘格型算法基于最小二乘法的階遞歸自適應(yīng)濾波器比較精確； 但其算法表達(dá)式需要更多 的軟件編碼關(guān)系。

13、其算法的復(fù)雜性在于最小二乘格型預(yù)測器的每一級(jí)需要兩個(gè)不 同的反射系數(shù)來表征它，一個(gè)用于前向預(yù)測，另一個(gè)用于后向預(yù)測。這種非對(duì)稱 的格型濾波器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則采用最小二乘 (LS)方法，使預(yù)測誤差的平方和為最小。圖4.3是一個(gè)LS格型濾波器。其中m(n)和冷(n)分別為第m級(jí)格型濾波器 的前向殘差和后向殘差，rm稱為反射系數(shù)，p為濾波器的階數(shù)15。與只有一個(gè)反射系數(shù)rm的LMS格型濾波器不同的是，LS格型濾波器的前向反射系數(shù)kf,m(n -1) 和后向反射系數(shù)k*,m(n-1)是不相等的。o(n)、1(n)M(n)、 m (n)圖4.3 RLS自適應(yīng)格型濾波器19由上圖可以寫出前、后向預(yù)測誤差的方程，

14、即有m(n )= mH n)-k；,m( n)t_i( n-1)(4-22)：m(n)八m,n- 1)-kf,m(n) m(n)(4-23)式(4-22)和式(4-23)表明了以下事實(shí)：(1) 第m級(jí)濾波器在n時(shí)刻的前(后)向預(yù)測誤差不僅與前一級(jí)n時(shí)刻的前向預(yù)測誤差 m(n)有關(guān)，而且還決定于前一級(jí) n-1時(shí)刻的后向預(yù)測誤差m 4(n - 1)o(2) LS格型濾波器設(shè)計(jì)的核心問題就是推導(dǎo)前、后向反射系數(shù)的遞推公 式，即如何使用前級(jí)濾波器的有關(guān)參數(shù)推出本級(jí)的前、后向反射系數(shù)。(3) LS格型濾波器既含有階數(shù)遞歸(本級(jí)參數(shù)與前級(jí)參數(shù)有關(guān))，又包含 了時(shí)間遞推(當(dāng)前時(shí)刻的濾波器參數(shù)與前一時(shí)刻的參數(shù)

15、有關(guān))。定義以下參數(shù)：偏相關(guān)系數(shù):m1(n)巳 m(n)m(門 - 1)； = m(一1), m(門(4-24)前、后預(yù)測誤差剩余；m(n) = ： m(n), m(n);(4-25)；m( n) =m( n)m( n)；(4-26)前向反射系數(shù)kf,m(n)叮)m( n)(4-27)后向反射系數(shù)kb,m(ns(4-28)引入n個(gè)分量的單位向量（也叫抽取向量）量m（ n -1）的定義式為：Ym（n 1）=（算（n）, pmn（n二（n）=0,|H，0,1-，得到角度參(4-29)迭代公式為:mg1Z) -卅(4-30)LSL）自適應(yīng)濾波算法如下所以，可得到 LS格型(Least Square

16、Lattice,1015初始化：m(0H m(0)m(0) =0(4-31)m(0)=1(4-32)；m（0）= ；m（0）“(4-33)對(duì) n =1,2,|,計(jì)算0(n)仝0(n) =u(n)(4-34)；0f(n) = ；b(n)=詁(n -1)u2( n)(4-35)(4-36)0(n) =1對(duì)于m =0,1,H|,M -1計(jì)算=m(n) -，m(n -1) z(n) G(nT)m( n -1)(4-37)m( n) H：m4( n)-速 n- 1”m( n-1)m( n-1)(4-38)：m(n) J：m4(n T):m(n T) mJn)m（n）(4-39)(4-40)；m( n)=

17、爲(wèi)(n 1)-4(n)幕5)m 1(n -1) = m (n -1)m( n-1)2 -；m( n-1)(4-41)(4-42)其中，參數(shù).應(yīng)選擇接近穩(wěn)態(tài)預(yù)測誤差的平方值。4.4最小二乘格型算法特性分析格型算法與橫向算法最顯著的不同是它具有輸入信號(hào)正交化的功能。 首先考 慮格型濾波器第m階抽頭處，格型算法中前向預(yù)測誤差 m(n)必然與過去的數(shù)據(jù) 樣本正交以達(dá)到最小均方誤差值，即m(n) =u(n) ae(n -1) |( amu(n -m 1)(4-43)E md n)u( n-j) =0,1 Ej mm-1(4-44)其中E代表統(tǒng)計(jì)期望。同理，對(duì)于反向預(yù)測誤差巧(n)有:m4(n -1) =

18、u(n -m) bu(n -m 1) |l( bmu(n -1)(4-45)E：m(n-1)u(n-j) =0,仁 2m-1(4-46)這里bj的選取滿足正交條件，同樣兩個(gè)預(yù)測誤差滿足同樣的正交條件。然后考慮格型濾波器第m階抽頭處，m(n)表示由u(n T)|u(n-m)預(yù)測的 u(n)的誤差。因?yàn)閙 -1階預(yù)測誤差利用了 n -1n - m 1時(shí)刻的所有信息，所以， 第m階預(yù)測中必須包含從u(n- m，1)可以預(yù)測得到關(guān)于u(n)的信息，然而許多信 息已經(jīng)包含在u( n-1)|u( n-m，1)之中，而正交化就要求我們只考慮u( n - m)帶來的新信息。因此，考慮反向預(yù)測誤差-m( n-1)，它表示由u( n- m，1),HI,u( n-1) 預(yù)測u(n -m)的誤差，也就是說：m(n -1)代表了樣本u(n - m)中的新信息，于是 關(guān)于m(n)的一種可取的遞推表達(dá)式為m(n)二 m4(n)-k；,m(n) “(n -1)(4-47)E m(n)u(n-j) =0, j E m(n -1)u(n - m -1)七 (4-