點線面位置關(guān)系典型例題

1、點線面位置關(guān)系典型例題一，直線與平面平行的判定與性質(zhì)典型例題一 例1簡述下列問題的結(jié)論，并畫圖說明：（1）直線a 平面：，直線b a = A，則b和的位置關(guān)系如何?（2）直線a ，直線b/a，則直線b和的位置關(guān)系如何？分析：（1）由圖（1）可知：b二：；或b -二A ；說明：此題是考查直線與平面位置關(guān)系的例題，要注意各種位置關(guān)系的畫法與表示方法. 典型例題二 例2 P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，Q是PA的中點，求證：PC/平面BDQ .分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平 行就可以了.證明：如圖所示，連結(jié) AC ,交BD于點0 ,.四邊形AB

2、CD是平行四邊形AO =C0，連結(jié)0Q，則0Q在平面BDQ0Q是APC的中位線，PC / 0Q/ PC在平面bdq外,. PC/平面 BDQ .說明：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，怎樣找這一直線呢？由于兩條直線首先要保證共面，因此常常設(shè)法過已知直線作一平面與已知平面相交，如果能 證明已知直線和交線平行，那么就能夠馬上得到結(jié)論這一個證明線面平行的步驟可以總結(jié) 為：過直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行.典型例題三 例3經(jīng)過兩條異面直線a, b之外的一點P，可以作幾個平面都與 a , b平行？并證明你的結(jié)論.分析：可考慮 P點的不同位置分兩種情

3、況討論.解：（1）當P點所在位置使得a , P （或b , P ）本身確定的平面平行于 b （或a）時，過P 點再作不出與a , b都平行的平面；（2）當P點所在位置a, P （或b , P ）本身確定的平面與 b （或a ）不平行時，可過點 P 作alia , b /b 由于a , b異面，則a , b 不重合且相交于P 由于a b P , a , b 確定的平面:，則由線面平行判定定理知： a , b .可作一個平面都與 a , b平行.故應(yīng)作“ 0個或1個”平面.說明：本題解答容易忽視對 P點的不同位置的討論，漏掉第（1）種情況而得出可作一個平面 的錯誤結(jié)論.可見，考慮問題必須全面，應(yīng)區(qū)

4、別不同情形分別進行分類討論.典型例題四已知：直線a/b , all平面，b =:例4平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，那么另一條直線也平行于這個平面.求證：b/ -證明：如圖所示，過 a及平面內(nèi)一點A作平面：/ all -allc又a/b,b/c. b 二:-,c :,b ：.說明：根據(jù)判定定理，只要在 內(nèi)找一條直線c/b，根據(jù)條件ali i，為了利用直線和平面 平行的性質(zhì)定理，可以過 a作平面：與相交，我們常把平面 ：稱為輔助平面，它可以起到 橋梁作用，把空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化.和平面幾何中添置輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時，首先要確認這個平面是存在的，例如，本例中就是以“直線及直線

5、外一點確定一個平面”為依據(jù)來做出輔助平面的.典型例題五例5已知四面體S-ABC的所有棱長均為a 求:(1) 異面直線SC、AB的公垂線段EF及EF的長;(2) 異面直線EF和SA所成的角.分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線SC、AB的公垂線段，進而求出其距離；對于異面直線所成的角可 采取平移構(gòu)造法求解.解: (1)如圖，分別取 sc、AB的中點E、F ,連結(jié)SF、CF .由已知，得：SAB CAB.SF二CF , E是SC的中點,EF SC同理可證EF _ ABEF是SC、AB的公垂線段.SF=a SEa在 RtASEF 中，2 ,2. EF 二.SF2 -SE2(2)取AC的中點G

6、,連結(jié)EG，則EG/SA.EF和GE所成的銳角或直角就是異面直線EF和SA所成的角.連結(jié)FG，在RUEFG中,GFE-a22a411a4c 122 a a2 2由余弦定理，得cos GEFG2 EF2GF22 EG EFGEF =45故異面直線EF和SA所成的角為45 說明：對于立體幾何問題要注意轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，同時要將轉(zhuǎn)化過程簡要地寫出來, 然后再求值.典型例題六例6如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內(nèi)的一點且與這條直線平行的直線必在這個平面內(nèi).已知：直線 a/： , B : , B b, b/a.求證：b .分析：由于過點 B與a平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，

7、在平面:夕卜，不存在過B與a平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法.證明：如圖所示，設(shè) b二：，過直線a和點B作平面：，且 二b .I a/： b /：.這樣過B點就有兩條直線 b和b同時平行于直線a,與平行公理矛盾. b必在內(nèi).說明：(1)本例的結(jié)論可以直接作為證明問題的依據(jù).本例還可以用同一法來證明，只要改變一下敘述方式.如上圖，過直線a及點B作平面，設(shè)：=b . a/-b/-.這樣，b與b都是過B點平行于a的直線，根據(jù)平行公理，這樣的直線只有一條, b與b 重合bua ,. bucc .典型例題七例7下列命題正確的個數(shù)是().(1) 若直線1上有無數(shù)個點不在平面?內(nèi)，則丨；(2) 若

8、直線1平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則丨；(3) 若直線I與平面平行，則I與平面內(nèi)的任一直線平行；若直線1在平面夕卜，則丨/八.A. 0個 B. 1個C. 2個 D. 3個分析：本題考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系.對三種位置關(guān)系定義的準確理解是解本題 的關(guān)鍵.要注意直線和平面的位置關(guān)系除了按照直線和平面公共點的個數(shù)來分類，還可以按 照直線是否在平面內(nèi)來分類.解：(1)直線1上有無數(shù)個點不在平面?內(nèi)，并沒有說明是所在點都不在平面內(nèi)，因而直線可能與平面平行亦有可能與直線相交.解題時要注意“無數(shù)”并非“所有” .(2)直線I雖與內(nèi)無數(shù)條直線平行，但I有可能在平面內(nèi)，所以直線l不一定平行.(3)這是初學

9、直線與平面 平行的性質(zhì)時常見錯誤，借助教具我們很容易看到當1時，若m :且m/l，則在平面內(nèi)，除了與m平行的直線以外的每一條直線與I都是異面直線.(4)直線I在平面夕卜，應(yīng)包括兩種情況：I 和I與相交，所以I與不一定平行.故選A.說明：如果題中判斷兩條直線與一平面之間的位置關(guān)系，解題時更要注意分類要完整，考慮要全面如直線I、m都平行于:，則I與m的位置關(guān)系可能平行，可能相交也有可能異面；再如直線I /m、I/r ,則m與的位置關(guān)系可能是平行，可能是 m在內(nèi).典型例題八例8如圖，求證：兩條平行線中的一條和已知平面相交，則另一條也與該平面相交.已知：直線a/b , a 平面二P 求證：直線b與平面

10、相交.分析：利用a/b轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，由a/b可確定一輔助平面 :，這樣可以把題中相關(guān)元素集中使用，既創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，又將三維降至二維，使得平幾知識能夠運用.解：a/b, a和b可確定平面.a - 一 P平面和平面相交于過點P的直線I t在平面-內(nèi)I與兩條平行直線a、b中一條直線a相交， I必定與直線b也相交，不妨設(shè)b丨=Q ,又因為b不在平面-內(nèi)(若 b在平面內(nèi)，則- 和：都過相交直線b和I，因此與重合，a在內(nèi)，和已知矛盾).所以直線b和平面:相交.說明：證明直線和平面相交的常用方法有：證明直線和平面只有一個公共點；否定直線在平 面內(nèi)以及直線和平面平行；用此結(jié)論：一條直線如果經(jīng)過平

11、面內(nèi)一點，又經(jīng)過平面外一點， 則此直線必與平面相交（此結(jié)論可用反證法證明）典型例題九例9如圖，求證：經(jīng)過兩條異面直線中的一條，有且僅有一個平面與另一條直線平行.已知：a與b是異面直線求證：過 b且與a平行的平面有且只有一個.分析：本題考查存在性與唯一性命題的證明方法解題時要理解“有且只有”的含義.“有”就是要證明過直線 b存在一個平面，且all：, “只有”就是要證滿足這樣條件的平面是唯 一的存在性常用構(gòu)造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反證法或其它唯一性的結(jié)論.證明：（1）在直線b上任取一點 A，由點A和直線a可確定平面：在平面：內(nèi)過點A作直線a，使a/a，則a和b為兩相交直線，I所以過

12、a和b可確定一平面a / b :- , a與b為異面直線，a 二：-II又a/a , a ua ,all 】故經(jīng)過b存在一個平面與a平行.（2）如果平面 也是經(jīng)過b且與a平行的另一個平面，由上面的推導(dǎo)過程可知也是經(jīng)過相交直線 b和a的.由經(jīng)過兩相交直線有且僅有一個平面的性質(zhì)可知，平面與 重合，即滿足條件的平面是唯一的.說明：對于兩異面直線 a和b，過b存在一平面:且與a平行，同樣過a也存在一平面且與b平行而且這兩個平面也是平行的（以后可證）對于異面直線a和b的距離，也可轉(zhuǎn)化為直線a到平面的距離，這也是求異面直線的距離的一種方法. 典型例題十例10如圖，求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那

13、么這條直線和它們的交線平行.已知：一1 , a/ -. ,，求證：a/l .分析：本題考查綜合運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的能力.利用線面平行的性質(zhì)定理，可以先證明直線a分別和兩平面的某些直線平行，即線面平行可得線線平行.然后再用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來證明a與1平行.證明：在平面-內(nèi)取點P，使P門，過P和直線a作平面 交于b .a / 口 a u 丫 丫 Pl a = b*a/b.同理過a作平面交一于c . a/ - a 二； - 一c*a/c.b/c. b 二-c 二：b/l又* a/ba/l另證：如圖，在直線I上取點M ,過M點和直線a作平面和:-相交于直線11，和：相交于直線

14、12 ./ a口，. a/ li, a B . aS ， ,但過一點只能作一條直線與另一直線平行. 直線l1和l2重合.又.h 匸 C( J U P直線h、12都重合于直線1 , a/l .說明：“線線平行”與“線面平行”在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，這種轉(zhuǎn)化的思想在立體 幾何中非常重要.典型例題十一 例11正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于 AB，在AE、BD上各取一點P、Q ,且 AP=DQ 求證：PQ/面 BCE .分析：要證線面平行，可以根據(jù)判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行關(guān)鍵是在平面BCE中如何找一直線與PQ平行.可考察過PQ的平面與平面BCE的交線，這樣的平面位置不同，所找

15、的交線也不同.證明一：如圖，在平面 ABEF內(nèi)過P作PM / AB交BE于M ,在平面ABCD內(nèi)過Q作QN/AB交bc于N，連結(jié)MN ./ PM/ABAB AE又QN /AB/CDQN BQ QN BQDC BD，即 AB BD .正方形ABEF與ABCD有公共邊AB ,AE =DB .AP =DQ . PE =BQ ，. PM =QN .又 PM /AB , QN /AB ,. PM /QN .四邊形PQNM為平行四邊形. PQ/MN又 MN 面 BCE ,PQ/ 面 BCE .證明二：如圖，連結(jié)AQ并延長交BC于S，連結(jié)ES .AQ DQ- BS/AD - QS 一 QB* ? 又正方形A

16、BEF與正方形ABCD有公共邊AB , AE =DB ,-AP = DQ PE =QB ，AP DQ AQ PE 一 QB 一 QS PQ / ES ,又 ES 面 BEC ,PQ 面 BEC .說明：從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平 行，此時常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動、補形等方法，具體用何種方法 要視條件而定此題中我們可以把“兩個有公共邊的正方形”這一條件改為“兩個全等的矩 形”，那么題中的結(jié)論是否仍然成立？典型例題十二 例12 三個平面兩兩相交于三條交線，證明這三條交線或平行、或相交于一點.已知：a仃 0 = a PClY = b

17、f 仃 a = c求證：a、b、c互相平仃或相交于一點.分析：本題考查的是空間三直線的位置關(guān)系，我們可以先從熟悉的兩條交線的位置關(guān)系入手, 根據(jù)共面的兩條直線平行或相交來推論三條交線的位置關(guān)系.證明:arip=a0門丫 =b a與b平行或相交.若a/b，如圖 b a 二 a/又.f 門口 = c , a u a a/ca/b/c.又.a =g 門 P b = P 仃 YO 三：；-,O又=c O 三 c直線a、b、c交于同一點o.說明：這一結(jié)論常用于求一個幾何體的截面與各面交線問題，如正方體ABCD中，M、N分別是CCi、AiBi的中點，畫出點D、M、N的平面與正方體各面的交線，并說明截面多邊

18、形是幾邊形？典型例題十三例13已知空間四邊形ABCD，ABAC，AE是ABC的BC邊上的高，DF是BCD的BC邊上的中線，求證:AE和DF是異面直線.證法一：（定理法）如圖由題設(shè)條件可知點 E、F不重合，設(shè)BCD所在平面-DF actA更aE 二jE :.E - DFAE和DF是異面直線.證法二：（反證法）若AE和DF不是異面直線，則 AE和DF共面，設(shè)過AE、DF的平面為：.若E、F重合，貝U E是BC的中點，這與題設(shè) AB = AC相矛盾.若E、F不重合，/ B EF , C e EF , EF u 0 BC u P .D B A、B、C、D四點共面，這與題設(shè) ABCD是空間四邊形相矛盾.

19、綜上，假設(shè)不成立.故AE和DF是異面直線.說明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學問題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用.首先看一個有趣的實際問題：“三十六口缸，九條船來裝，只準裝單，不準裝雙，你說怎么裝？” 對于這個問題，同學們可試驗做一做.也許你在試驗幾次后卻無法成功時，覺得這種裝法的可能性是不存在的那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？用反證法可以輕易地解決這個問題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個單數(shù)之和仍為單數(shù)，與 36這個雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個問題.典型例題十四例14已知AB、BC、CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，E、F、G分別是AB、BC、CD的中點，求證

20、：平面 EFG和AC平行，也和BD平行.分析：欲證明AC /平面EFG，根據(jù)直線和平面平等的判定定理只須證明AC平行平面EFG內(nèi)的一條直線，由圖可知，只須證明AC/EF .證明：如圖，連結(jié)AE、EG、EF、GF 在ABC中，E、F分別是AB、BC的中點. AC/EF .于是 AC / 平面 EFG .同理可證，BD /平面EFG .(1)根據(jù)直線和平面平行定義；(2)說明：到目前為止，判定直線和平面平行有以下兩種方法: 根據(jù)直線和平面平行的判定定理.典型例題十五 例15已知空間四邊形ABCD , P、Q分別是ABC和BCD的重心，求證：PQ平面ACD .分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證

21、明PQ與平面ACD中的某條直線平行，根據(jù)條件，此直線為AD，如圖.證明：取BC的中點E .P是ABC的重心，連結(jié)AE ,則 AE：PE =3：1，連結(jié) DE ,/ Q為BCD的重心， DE ：QE =3：1在 AED 中，PQAD又AD u平面ACD PQ広平面ACD. PQ/ 平面 ACD .說明：(1)本例中構(gòu)造直線AD與PQ平行，是充分借助于題目的條件：P、Q分別是ABC和BCD的重心，借助于比例的性質(zhì)證明 PQ/AD，該種方法經(jīng)常使用，望注意把握.(2) “欲證線面平行，只須證線線平行”判定定理給我們提供了一種證明線面平等的方法根據(jù)問題具體情況要熟練運用.典型例題十六 例16正方體AB

22、CD -AiBiCiDi中，e、G分別是BC、CD的中點如下圖.求證.EG /平面BB1D1D分析：要證明EG/平面BB1D1D ,根據(jù)線面平等的判定定理，需要在平面BB1D1D內(nèi)找到與EG平行的直線，要充分借助于 E、G為中點這一條件.證明：取BD的中點F ,連結(jié)EF、D1F .E為BC的中點，1EF *CDEF為BCD的中位線，貝U EF / DC，且 2.G為GD1的中點，1. D1G/CD 且 DQ = 2cd ,. EF / D1G 且 EF D1G四邊形EFDG為平行四邊形，D1F / EG 而 DjF u 平面 BDD1B1 EG 広 平面 BDD1B1. EG / 平面 BDD

23、iB典型例題十七例17如果直線a/平面，那么直線a與平面內(nèi)的（）.A. 條直線不相交B.兩條相交直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交解：根據(jù)直線和平面平行定義，易知排除A、B.對于C,無數(shù)條直線可能是一組平行線，也可能是共點線，.C也不正確，應(yīng)排除 C.與平面:內(nèi)任意一條直線都不相交，才能保證直線a與平面平行，.D正確.應(yīng)選D.說明：本題主要考查直線與平面平行的定義.典型例題十八).例18分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是A. 一定平行C. 一定異面B. 定相交a、解：如圖中的甲圖，分別與異面直線b平行的兩條直線c、d是相交關(guān)系;D.相交或異面如圖中的乙圖，分別與異

24、面直線a、b平行的兩條直線c、d是相交關(guān)系.綜上，可知應(yīng)選 D.說明：本題主要考查有關(guān)平面、線面平行等基礎(chǔ)知識以及空間想象能力. 典型例題十九例19 a、b是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）.A.過不在a、b上的任一點，可作一個平面與a、b平行B.過不在a、b上的任一點，可作一個直線與a、b相交C. 過不在a、b上的任一點，可作一個直線與a、b都平行D. 過a可以并且只可以作一平面與 b平行解：A錯，若點與a所確定的平面與b平行時，就不能使這個平面與:平行了.B錯，若點與a所確定的平面與b平等時，就不能作一條直線與 a, b相交.C錯，假如這樣的直線存在，根據(jù)公理4就可有ab，這與a , b

25、異面矛盾.D正確，在a上任取一點A,過A點做直線cb ,則c與a確定一個平面與b平行，這個平面是惟一的.應(yīng)選D.說明：本題主要考查異面直線、線線平行、線面平行等基本概念. 典型例題二十例20 直線a/b , a平面,則b與平面口的位置關(guān)系是 .（2）A是兩異面直線a、b外的一點，過 A最多可作個平面同時與a、b平行.解：當直線b在平面外時，b/八；當直線b在平面內(nèi)時，b :-.應(yīng)填：b/八或b :-.因為過A點分別作a , b的平行線只能作一條，IIII（分別稱a , b）經(jīng)過a , b的平面也是惟一的.所以只能作一個平面；還有不能作的可能，當這個平面經(jīng)過a或b時，這個平面就不滿足條件了.應(yīng)填

26、：1.說明：考慮問題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵.典型例題二十一例21如圖，a/八,A是的另一側(cè)的點，B，C, D a，線段AB , AC , AD交：于E ,F , G ,若 BD =4, CF = 4, AF = 5，則 EG =.解alia, EG =o（門平面 ABDall EG ,即卩 BDllEG ,EFFGAFEF FGEGAFBC_ CD_ AC-BC CD-BD-AF FCAFBD5 420EG 則 AF FC 5 49 .20應(yīng)填：9 .說明：本題是一道綜合題，考查知識主要有：直線與平面平行性質(zhì)定理、相似三角形、比例 性質(zhì)等.同時也考查了綜合運用知識，分析和

27、解決問題的能力.二，面面平行的性質(zhì)與判定典型例題一底i例1：已知正方體ABCD - AiBQiDi 求證：平面ABl D111平面ClBD .證明： ABCD - AiBiCiDi為正方體,C1B平面C1BDD1AllC1B故Di All平面Ci BD同理Di Bi 平面CiBD 又 Di A DiBi = Di平面AB1D1 / 平面 C1BD說明：上述證明是根據(jù)判定定理1實現(xiàn)的本題也可根據(jù)判定定理2證明，只需連接 AC即可，此法還可以求出這兩個平行平面的距離.典型例題二 例 2:如圖，已知:/ :, A a, A : a/ :求證：a二：-證明：過直線a作一平面二b.：/ -.a1 /b.

28、 a/b在同一個平面內(nèi)過同一點 A有兩條直線a，ai與直線b平行.a與印重合，即a : 說明：本題也可以用反證法進行證明.典型例題三 例3 :如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交.已知：如圖，:/ ： , I ：一 A .求證：1與相交.R,y y丫 B證明：在 上取一點B，過I和B作平面，由于 與a有公共點A , 與 有公共點B . . 與、-都相交.設(shè) YPla =a PClY = bbya/b又I、a、b都在平面內(nèi)，且I和a交于A .I與b相交.所以I與：相交.典型例題四例4 :已知平面? / ： , AB , CD為夾在a , 中占I 八、求證：EF： , EF

29、 .證明：連接AF并延長交-于G .AG CD 二 FAG , CD確定平面，且 二AC:=DG P，所以 AC / DG ,ACF GDF ,又厶 AFC =NDFG , CF =DF , ACF 也厶 DFG .AF 二 FG .又 AE 二 BE ,EF/BG BGU0故EF/-.同理EF /:說明：本題還有其它證法，要點是對異面直線的處理.典型例題六 例6如圖，已知矩形ABCD的四個頂點在平面上的射影分別為 A、Bi、G、Di，且A、B1、C1、D1互不重合，也無三點共線.求證：四邊形 AiBiCiDi是平行四邊形.證明.AA丄。 DDi丄aAAi / DDi不妨設(shè)AAi和DDi確定同

30、理BBi和CCi確定又 AAi / BBi，且 BBi u 丫.AAi/同理ad /又 AA AD 二 A .-/又AiDi，二飛 - BiCi.Ai Di / BiCi同理 AiBi /CiDi.四邊形AiBiCiDi是平行四邊形.典型例題七例7設(shè)直線l、m，平面、，下列條件能得出-的是（）.A., mua，且 I/P , m Pb. lua ,，且 |/mD. 1：ml/-且 |/m分析：選項A是錯誤的，因為當lm時，：與：可能相交選項 B是錯誤的，理由同 A.選 項C是正確的，因為1 , m/l，所以m ，又 m ,/ ： 選項D也是錯誤的，滿足條件的-可能與：相交.答案：C說明：此題極

31、易選 A,原因是對平面平行的判定定理掌握不準確所致.本例這樣的選擇題是常見題目要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對定理、公理的 準確掌握、深刻理解，同時要考慮到各種情況.典型例題八例8設(shè)平面平面，平面一平面，且、一分別與 相交于a、b , allb 求 證：平面/平面一.分析：要證明兩平面平行，只要設(shè)法在平面上找到兩條相交直線，或作出相交直線，它們分別與：平行（如圖）.證明：在平面:內(nèi)作直線PQ -直線a,在平面：內(nèi)作直線MN 一直線b .平面平面 ，PQ _平面，MN 平面，. PQ/MN .又a/p , PQa=Q , MN“b = N ,平面/平面.說明：如果在:、：內(nèi)分別作PQ ,

32、 MN - ,這樣就走了彎路，還需證明PQ、MN在、內(nèi)，如果直接在、內(nèi)作a、b的垂線，就可推出PQMN .由面面垂直的性質(zhì)推出“線面垂直”，進而推出“線線平行”、“線面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行” 其核心是要形成應(yīng)用性質(zhì)定理的意識，在立體幾何證明中非 常重要.典型例題九例9如圖所示，平面:/平面B、D :, AB =a是：、：的公垂線，CD 是斜線.若 AC = BD = b, CD = c , M、N分別是AB和CD的中點,求證：MN / -;，取AD的中點P，只要證明MN所在的平面PMN 為此證明PM / - , PN -即可.要求MN之長，在 CMA中，CM、CN的

33、長度易知，關(guān)鍵在于證明MN 一CD，從而由勾股定理可以求解.證明：連結(jié)AD，設(shè)P是AD的中點，分別連結(jié) PM、PN/ M 是 AB 的中點， PM /BD .又 BD u B . PM / $同理 N是CD的中點， PN /AC .- AC 匸。 PN /a* ? .a / 0 , PN PM = P .平面 PMN / PMN 匸平面 PMN MN / P .(2)分別連結(jié)MC、MD .1 AM = BM = a/ AC = BD =b,2,又；AB 是 a、P 的公垂線， NCAM =NDBM =90,RtAACM 也 RtABDM , CM = DM , DMC是等腰三角形.又N是CD的

34、中點， MN _ CD .MN “CM $ CNP =丄 J4 c2在 RtACMN 中，2.說明：證“線面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質(zhì)，推證“線面平行”，這是一種以退為進的解題策略.(2) 空間線段的長度，一般通過構(gòu)造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來求解.(3) 面面平行的性質(zhì)：面面平行，則線面平行；面面平行，則被第三個平面所截得的交線 平行.線線平行埸線面平行埸面面平行典型例題十例10如果平面:內(nèi)的兩條相交直線與平面 ：所成的角相等，那么這兩個平面的位置關(guān)系是分析：按直線和平面的三種位置關(guān)系分類予以研究.解：設(shè)a、b是平面內(nèi)兩條相交直線.(1)若a、b都在平面內(nèi)

35、，a、b與平面:所成的角都為0，這時與：重合，根據(jù)教材 中規(guī)定，此種情況不予考慮.若a、b都與平面：相交成等角，且所成角在(，90)內(nèi)；a、b與-有公共點，這時與相交.若a、b都與平面一成90角，則ab，與已知矛盾此種情況不可能.(3)若a、b都與平面平行，則a、b與平面所成的角都為0 , 內(nèi)有兩條直線與平面 平行，這時：.綜上，平面、：的位置關(guān)系是相交或平行.典型例題十一例11 試證經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行.已知：A平面，求證：過 A有且只有一個平面 ：.分析：“有且只有”要準確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可.證明：在平面:內(nèi)任作兩條相交直線 a

36、和b，則由A知，A a , A b .點A和直線a可確定一個平面 M，點A和直線b可確定一個平面 N .在平面M、N內(nèi)過A分別作直線a /a、b/b ,故a、b是兩條相交直線，可確定一個平面：.a 二：,a : , a/aa /八.同理b /.又 au B bu B af = A 0 -又,.所以過點A有一個平面/y .假設(shè)過A點還有一個平面,則在平面內(nèi)取一直線c. A c，點A、直線c確定一個平面”，由公理2知：pClP = m 了 np = nm/c, n/c ,又 m A%這與過一點有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設(shè)不成立，所以平面只有一個.所以過平面外一點有且只有一個平面與

37、已知平面平行.典型例題十二例12已知點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且 SA=SB = SC, SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF內(nèi)的位置關(guān)系，并 給予證明分析1：如圖，觀察圖形，即可判定 SG/平面DEF，要證明結(jié)論成立，只需證明 SG與平面 DEF內(nèi)的一條直線平行.觀察圖形可以看出：連結(jié) CG與DE相交于H，連結(jié)FH , FH就是適合題意的直線.怎樣證明SG/FH ?只需證明H是CG的中點.B證法1 ：連結(jié)CG交DE于點H ,DE是ABC的中位線，DE / AB .在ACG中，D是AC的中點，且DH / AG , H為CG的中點. FH

38、 是 SCG 的中位線， FH / SG .又SG二 平面DEF , FH u平面DEF , SG/平面 DEF .分析2：要證明SG/平面DEF，只需證明平面SAB/平面DEF，要證明平面DEF /平面SAB，只需證明SA/ DF , SB/ EF而SA/ DF , SB/ EF可由題設(shè)直接推出.證法2: EF為SBC的中位線，EF /SB./ EF 二平面 SAB, SB 二平面 SAB ,EF/ 平面 SAB.同理：DF /平面 SAB, EF DF = F平面SAB/平面DEF，又:SG 平面SAB, SG/ 平面 DEF .典型例題十三 例13如圖，線段PQ分別交兩個平行平面、：于A

39、、B兩點，線段PD分別交、：于C、D兩點，線段QF分別交:于F、E兩點，若PA=9，AB =12，BQ ,2，：ACF的面積為72,求 BDE的面積.分析：求BDE的面積，看起來似乎與本節(jié)內(nèi)容無關(guān)，事實上，已知ACF的面積，若BDE與ACF的對應(yīng)邊有聯(lián)系的話，可以利用ACF的面積求出 BDE的面積.解：平面 QAF ：，AF，平面 QAF BE ,又 口 卩，. AF / BE .同理可證：AC / BD ,. FAC 與 一 EBD 相等或互補，即 sin FAC = sin EBD .由 FA/BE，得 BE： AF =QB：QA=12：24=1：2 ,1BE AF27BD = AC由 B

40、D / AC，得：AC： BD = PA： PB=9：21=3：73.1AF AC sin FAC 二 72又/ ACF的面積為72,即2.S .DBEBE BD2sin EBD1 17AF AC sin /FAC2 237 1AF AC sin 一FAC6 2772 =846ABDE的面積為84平方單位.說明：應(yīng)用兩個平行的性質(zhì)一是可以證明直線與直線的平行，二是可以解決線面平行的問 題注意使用性質(zhì)定理證明線線平行時，一定第三個平面與兩個平行平面相交，其交線互相 平行.典型例題十四 例14在棱長為a的正方體中，求異面直線 BD和B1C之間的距離.分析：通過前面的學習，我們解決了如下的問題：若a

41、和b是兩條異面直線，則過 a且平行于b的平面必平行于過b且平行于a的平面.我們知道，空間兩條異面直線， 總分別存在于兩個 平行平面內(nèi).因此，求兩條異面直線的距離，有時可以通過求這兩個平行平面之間的距離來 解決.具體解法可按如下幾步來求：分別經(jīng)過BD和BjC找到兩個互相平等的平面；作出兩個平行平面的公垂線；計算公垂線夾在兩個平等平面間的長度. 解：如圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)，易證:bd/b1d1a1b/d1c平面ABD/平面cb1d1連結(jié)AC1，分別交平面ABD和平面CBP于M和N因為CCi和AC1分別是平面ABCD的垂線和斜線，AC在平面ABCD內(nèi)，AC BD由三垂線定理：ACi丄BD 同理.AC

42、i丄AQACi丄平面ABD，同理可證：AC1丄平面CB1D1平面ABD和平面CBP間的距離為線段MN長度.如圖所示：在對角面AC1中，Ol為AQ的中點，O為AC的中點AM -M -NC-AC a33a BD和Bic的距離等于兩平行平面 AiBD和CBiDi的距離為 3說明：關(guān)于異面直線之間的距離的計算，有兩種基本的轉(zhuǎn)移方法：轉(zhuǎn)化為線面距.設(shè) 是兩條異面直線，作出經(jīng)過 b而和a平行的平面:，通過計算a和的距離，得出a和b距 離，這樣又回到點面距離的計算；轉(zhuǎn)化為面面距，設(shè) a、b是兩條異面直線，作出經(jīng)過 b而 和a平行的平面，再作出經(jīng)過a和b平行的平面，通過計算：之間的距離得出a和 b之間的距離.

43、典型例題十五 例15正方體ABCD - A-B-C-Di棱長為a，求異面直線AC與BCi的距離.解法1:（直接法）如圖：DC取BC的中點P，連結(jié)PD、PBi分別交AC、BC-于M、N兩點,易證：DB1 / MN , DB1 丄 AC , DB1 丄 B。. MN為異面直線AC與BCi的公垂線段，易證：132嚴亍小結(jié)：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解但通常尋找公垂線段時, 難度較大.解法2:（轉(zhuǎn)化法）如圖：/ AC/平面 AGB ,AC與BCi的距離等于AC與平面ACiB的距離,在RtQB。1中，作斜邊上的高0E，則0E長為所求距離,OOr = a00i OB0rB小結(jié)：這種

44、解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離.解法3:（轉(zhuǎn)化法）如圖:.平面 ACDi / 平面 AiCiB ,. AC與BC1的距離等于平面ACDl與平面AlClB的距離.DB1 一平面ACD1，且被平面ACDi和平面AQB三等分;.所求距離為小結(jié)：這種解法是線線距離轉(zhuǎn)化為面面距離. 解法4:（構(gòu)造函數(shù)法）如圖：任取點Q BC1，作QR BC于r點，作PK _ AC于K點，設(shè)RC=X，則 BR=QR=a_x，CK=KR，且 KR2+CK2=CR2KR2= -CR2QK2丄2(a -x)2= 3(x2a)223-a2一-a23故QK的最小值，即AC與BC-的距離等于3 小結(jié)：這種解法是恰當?shù)倪x擇未知量，構(gòu)造

45、一個目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的最小值來得到 二異面直線之間的距離.解法5:（體積橋法）如圖：當求AC與BC-的距離轉(zhuǎn)化為求AC與平面A-C-B的距離后,設(shè)C點到平面A-C- B的距離為貝y Vc亠c-BNA _BCC-h 3 .2a)2a/ 34333haa3 即AC與BC1的距離等于3.小結(jié)：本解法是將線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，再將線面距離轉(zhuǎn)化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之.這種方法在后面將要學到.說明：求異面直線距離的方法有：（1）（直接法）當公垂線段能直接作出時，直接求此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關(guān)鍵.（2）（轉(zhuǎn)化法）把線線距離轉(zhuǎn)化為線面距離，如求異面直線

46、a、b距離，先作出過a且平行于b的平面，則b與距離就是a、b距離.（線面轉(zhuǎn)化法） 也可以轉(zhuǎn)化為過a平行b的平面和過b平行于a的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線 距離.（面面轉(zhuǎn)化法）.（3）（體積橋法）利用線面距再轉(zhuǎn)化為錐體的高用何種公式來求.（4）（構(gòu)造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構(gòu)造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解.兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學有余力的同學探求.典型例題十六 例16如果 ：，AB和AC是夾在平面:與：之間的兩條線段，AB AC，且AB =2 ,直線AB與平面所成的角為3，求

47、線段AC長的取值范圍.解法1 ：如圖所示：作 AD :于 d，連結(jié) BD、CD、BC2 2 2/ AB BD , AC DC , AB AC 二 BC ,.在BDC中，由余弦定理，得:cos BDC =BD2 CD2 -BC22BD CDAB2 AC2 - BC22BD CD/ ad -ABD是AB與：所在的角.又二二 / 一 . ABD也就等于AB與所成的角，即 ABD =30 ./ AB =2 , AD 9 BD=J3 DC=jAC2-13 AC2-1-4-AC21 蘭一:：:0 0，即:AC, 3嚴3,即AC長的取值范圍為IL 32,3 AC2-1 AC必在過點A且與直線AB垂直的平面

48、內(nèi)設(shè)咽 R，則在 內(nèi)，當AC _ I時，AC的長最短，且此時 AC = AB tan. ABCAB tan 30 二3而在 內(nèi)，C點在1上移動，遠離垂足時，AC的長將變大，AC從而3,3,+J31即AC長的取值范圍是-說明：(1)本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系，對于運算能力和空間 想象能力有較高的要求，供學有余力的同學學習.(2) 解法1利用余弦定理，采用放縮的方法構(gòu)造出關(guān)于AC長的不等式，再通過解不等式得到AC長的范圍，此方法以運算為主.(3) 解法2從幾何性質(zhì)角度加以解釋說明，避免了繁雜的運算推導(dǎo)，但對空間想象能力要求很高，根據(jù)此解法可知線段 AC是連結(jié)異面直線 AB

49、和I上兩點間的線段，所以AC是AB與I的 公垂線段時，其長最短. 典型例題十七 例17如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行. 已知：，求證 分析：本題考查面面平行的判定和性質(zhì)定理以及邏輯推理能力由于兩個平面沒有公共點稱 兩平面平行，帶有否定性結(jié)論的命題常用反證法來證明，因此本題可用反證法證明另外也 可以利用平行平面的性質(zhì)定理分別在三個平面內(nèi)構(gòu)造平行且相交的兩條直線，利用線線平行 來推理證明面面平行，或者也可以證明這兩個平面同時垂直于某一直線.證明一：如圖，假設(shè)、：不平行，則:和：相交.和：至少有一個公共點 A，即A : , A ： y / Y P / Y ? ?.A FyB

50、y于是，過平面 外一點A有兩個平面-、都和平面 平行，這和“經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”相矛盾，假設(shè)不成立。.:-/ - 證明二：如圖，在平面 內(nèi)任取一點 A，過A點作直線I與相交.:/也相交.過I作兩相交平面分別與交于直線mi、“I，且與m2、匕，交 于直線m3、g .a Y . g / m3，.B /i . m2 / m3，.m1 / m2-mi u 0 m2 u B* ? ?.m / ：同理n/-.又一 n = A m1 n u ot/ :證明三：如圖，任作直線 I -， G 丫 丨丄Y ， . P / Y 丨丄 0 ， ./ -.說明：證明兩個平面平行，可根據(jù)定義、應(yīng)

51、用判定定理來證明.典型例題十八例18 如圖，已知a、b是異面直線，求證：過 a和b分別存在平面和，使/ ：.分析：本題考查面面平行及線面垂直的判定和綜合推理能力根據(jù)前面學過的知識，過異面 直線中的一條有且僅有一個平面與另一條平行.這樣過a和b分別有平面與另一條線平行.么這兩個平面是不是互相平行呢？這兩個平面是不是就是我們所要找的和：？證明：在直線a上任取一點P，過P點作直線b/b 故過a和b可確定一平面記為:,在直線b上任取一點Q 過Q點作直線a /a 同理過b和a可確定一平面，記為 ：.I- a / a a u aaa .同理 b/a .-a 二， b 二. a b = Q./ -說明：由此題結(jié)論可知，兩異面直線必定存在于兩個互相平行的平面中所以兩異面直線間的距離就可轉(zhuǎn)化為兩平行平面間的距離（本