幾何最值與函數(shù)最值(共15頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上幾何最值與函數(shù)最值“最值”問(wèn)題大都?xì)w于兩類(lèi)：幾何最值與函數(shù)最值、歸于幾何“最值”，這類(lèi)又分為兩種情況：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一類(lèi)型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一類(lèi)型。 、歸于函數(shù)類(lèi)型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值一、求兩線段和的最小值問(wèn)題 (運(yùn)用三角形兩邊之和小于第三邊)基本圖形解析：1在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)： （2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)： 二、求

2、兩線段差的最大值問(wèn)題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（1）解析：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PAPBAB，而PAPB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：（2）解析：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB，PA-PB最大值為AB一、 應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值1.（貴港）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，

3、則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 _ 2.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8， M在DC上，DM=2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值=_3.（貴港）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過(guò)A作ACMN于點(diǎn)C，過(guò)B作BDMN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是。4如圖，已知直線ab，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿(mǎn)足MNa且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB= （ ）A6B.8C.10D.12二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：1.（四川） 如圖，A（-1，0），

4、點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（，） 2.（萊蕪）在ABC中，ABAC5，BC6若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是 3.（樂(lè)山）如圖，ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)4.（自貢）如圖，在菱形ABCD

5、中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲?三、應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值：1.（青島）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm 四、應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)求最值： 1某校運(yùn)動(dòng)會(huì)需購(gòu)買(mǎi)A

6、、B兩種獎(jiǎng)品若購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品3件和B種獎(jiǎng)品2件，共需60元；若購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品5件和B種獎(jiǎng)品3件，共需95元（1）求A、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)各是多少元？（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種獎(jiǎng)品共100件，購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用不超過(guò)1150元，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種獎(jiǎng)品m件，購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用為W元，寫(xiě)出W（元）與m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量m的取值范圍，并確定最少費(fèi)用W的值2.端午節(jié)期間，某校“慈善小組”籌集到1240元善款，全部用于購(gòu)買(mǎi)水果和粽子，然后到福利院送給老人，決定購(gòu)買(mǎi)大棗粽子和普通粽子共20盒，剩下的錢(qián)用于購(gòu)買(mǎi)水果，要求購(gòu)買(mǎi)水果的錢(qián)數(shù)不少于180元但不超過(guò)240元.已知大棗粽子比普通粽子

7、每盒貴15元，若用300元恰好可以買(mǎi)到2盒大棗粽子和4盒普通粽子（1）請(qǐng)求出兩種口味的粽子每盒的價(jià)格；（2）設(shè)買(mǎi)大棗粽子x盒，買(mǎi)水果共用了w元請(qǐng)求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；求出購(gòu)買(mǎi)兩種粽子的可能方案，并說(shuō)明哪一種方案使購(gòu)買(mǎi)水果的錢(qián)數(shù)最多3.（自貢）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BCCD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2 4.（揚(yáng)州）如圖，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是 5.（寧夏）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上

8、的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作APPE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.(1)連接AE，當(dāng)APE與ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(2)設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng). 6.（湖南）如圖， A（8，0）、B（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0t）秒解答如下問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQBO？（2）設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求

9、出S的最大值；若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2x1，y2y1）稱(chēng)為“向量PQ”的坐標(biāo)當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo) 7.（宜賓）如圖，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF與ABC重合在一起，ABC不動(dòng)，ABC不動(dòng)，DEF運(yùn)動(dòng)，并滿(mǎn)足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)（1）求證：ABEECM；（2）探究：在DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積 8.（南充）在RtPOQ中，OP=OQ=4

10、,M是PQ中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B，(1)求證：MA=MB(2)連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中，AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請(qǐng)說(shuō)明理由。 9.（南昌）如圖，O的半徑為2，弦BC=2，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)除外）（1）求BAC的度數(shù)； （2）求ABC面積的最大值（參考數(shù)據(jù)： ，.）10.如圖，直線y=x+1與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）

11、動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P；（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)參考答案一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值1.要使PBG的周長(zhǎng)最小，而B(niǎo)G=1一定，只要使BP+PG最短即可，如圖：連接AG交EF于M，因?yàn)榈冗匒BC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，所以AGBC，EFBC，則AGEF，AM=MG，A、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即PBG的周長(zhǎng)最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案為：32解：如下圖所示，正

12、方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接BNBD，則直線AC即為BD的垂直平分線BN=NDDN+MN=BN+MN連接BM交AC于點(diǎn)P 點(diǎn) N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，由三角形兩邊和大于第三邊 知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)， BN+MN= BP+ PM=BM，BN+MN的最小值為 BM的長(zhǎng)度。 四邊形ABCD為正方形    BC= CD= 8，CM= 8-2= 6，BCM= 90°    BM= 即DN十MN的最小值為10。3.解MN20，O的半徑10。連接OA、OB，在RtOBD中，OB10

13、，BD6，OD8。同理，在RtAOC中，OA10，AC8，OC6。CD8614。作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，則AB即為PAPB的最小值，BDBD6，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。在RtABE中，AEACCE8614，BECD14，AB14。4.如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB交直線b與點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NM直線a，連接AM，A到直線a的距離為2，a與b之間的距離為4，AA=MN=4。四邊形AANM是平行四邊形。AM+NB=AN+NB=AB。由兩點(diǎn)之間線段最短，可得此時(shí)AM+NB的值最小。過(guò)點(diǎn)B作BEAA，交AA于點(diǎn)E，易得AE=2+4+3=9，AB=，AE=2+3=5

14、，在RtAEB中，在RtAEB中，。故選 B.二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：1. B2.解：如圖，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BPAC時(shí)，BP取得最小值。設(shè)AP=x，則由ABAC5得CP=5x，又BC6，在RtAB P和RtCBP中應(yīng)用勾股定理，得。，即，解得。，即BP的最小值是。3. 解：連接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45°，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，由三角

15、形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90°，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯(cuò)誤。 如圖2，分別過(guò)點(diǎn)D，作DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N，由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。RtADERtCDF（HL）。由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)， EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為

16、。故此結(jié)論正確。故正確的有2個(gè)：。故選B。4.解：（1）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAE

17、C+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點(diǎn)，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短故AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時(shí)CEF的面積就會(huì)最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。三、應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求最值：1. 解：圓柱形玻璃杯展開(kāi)（沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi)）后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交剖開(kāi)線MA于點(diǎn)D。由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知APPC為螞蟻到達(dá)蜂蜜

18、的最短距離，且AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=12。在RtBCD中，由勾股定理得。APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm。四、應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)求最值：典型例題： 1.解：（1）設(shè)A、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)分別為元、元，由題意，得，解得：答：A、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)分別為10元、15元由題意，得由，解得：因?yàn)閙為整數(shù)，所以m的值為70、71、72、73、74、75由一次函數(shù)w=1500-5m 可知，w隨m增大而減小當(dāng)m=75 時(shí)，W最小，最小為w=1500-575 =1125 （元）2.解：（1）設(shè)大棗粽子每盒x 元，普通粽子每盒y 元，根據(jù)題意得 解得：

19、答：大棗粽子每盒60元，普通粽子每盒45 元. （2）解：W124060x 45（20x） 15x340 根據(jù)題意，得 解得x x是整數(shù)x取7,8,9,10 20x 取13,12,11,10 共有四種購(gòu)買(mǎi)方案：方案：購(gòu)買(mǎi)大棗粽子7盒，普通粽子13盒 購(gòu)買(mǎi)大棗粽子8盒，普通粽子12盒購(gòu)買(mǎi)大棗粽子9盒，普通粽子11盒 購(gòu)買(mǎi)大棗粽子10盒，普通粽子10盒 根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì), W隨x的減小而增大 x7時(shí)W有最大值購(gòu)買(mǎi)大棗粽子7盒，普通粽子13盒時(shí)，購(gòu)買(mǎi)水果的錢(qián)數(shù)最多. 3.解：設(shè)BM=xcm，則MC=1xcm，AMN=90°，AMB+NMC=90°，NMC+MNC=90°

20、，AMB=90°NMC=MNC。ABMMCN，即，解得CN=x（1x）。0，當(dāng)x=cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是cm2。4.解：設(shè)ACx，則BC2x，ACD和BCE都是等腰直角三角形，DCA45°，ECB45°，DC，CE 。DCE90°。DE2DC2CE2（）22x22x2(x1)21。當(dāng)x1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。5.解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 當(dāng)時(shí)，y的值最大，最大值是。（3）設(shè)BP=x, 由（2）得。PEBD，CPEC

21、BD。， 即，化簡(jiǎn)得。 解得或（不合題意，舍去）。當(dāng)BP= 時(shí)， PEBD。6.解：（1）A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。如圖，當(dāng)PQBO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=103t。PQBO，即，解得t=。當(dāng)t=秒時(shí)，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸于點(diǎn)D，則PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0t）。當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。如圖所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此時(shí)PD為OAB的中位線，則OD=OA=4

22、。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（4，03），即（，3）當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，3）。7.（1）證明：AB=AC，B=C。ABCDEF，AEF=B。又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE。ABEECM。（2）解：能。AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF。AEAM。當(dāng)AE=EM時(shí)，則ABEECM（SAS）。CE=AB=5。BE=BCEC=65=1。當(dāng)AM=EM時(shí)，則MAE=MEA。MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA。又C=C，CAECBA，。BE= BCEC =6。綜上所述，當(dāng)BE=1或時(shí)，

23、重疊部分能構(gòu)成等腰三角形。（3）解：設(shè)BE=x，則CE=6xABEECM，即：，。當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為。又當(dāng)BE=x=3=BC時(shí)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，AEBC。此時(shí)，EFAC，。當(dāng)線段AM最短時(shí)，重疊部分的面積為。8.解：（1）證明：連接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周長(zhǎng)存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，則y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。當(dāng)x=2時(shí)y2