中考專題培優(yōu)訓(xùn)練-專題9《費馬點》

1、快樂學(xué)數(shù)學(xué)9費馬點6破解策略費馬點是指平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，這個最小的距禽叫做費馬距 離.若三角形的內(nèi)角均小于120° ,那么三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在 的周角；若三角形內(nèi)有一個內(nèi)角大于等于120° ,則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和 最小的點.1 若三角形有一個內(nèi)角大于等于120。，則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點如圖在遊中，ZO120° ,求證：點月為遊的費馬點 證明： C'如圖，在磁內(nèi)有一點F延長用至G使得AC=AC.作ZCAP= ZCAP,并且使得廿 =AP.連結(jié)則桃竺PC=PC因為 ZBAC 120

2、76;所以 ZPAP=ZCAC：6Q所以在等腰妒中，APPP所以 pa+pb+pcpf+pb+fobc=ab+ac所以點月為磁的費馬點2.若三角形的內(nèi)角均小于120° ,則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊 三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點即為該三角形的費馬點.如圖，在磁中三個內(nèi)角均小于120°,分別以曲、EQ為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在遊內(nèi)的交點為0、求證：點0為遊的費馬點證明：在月兀內(nèi)部任意取一點Q :連接加、OB、OC將繞著點月逆時針旋轉(zhuǎn)60° ,得到ZUO'。連接則O' D=OC所以月為等邊三角形，00' =

3、AO所以 OA+OC+OB=OO +05+0 D則當(dāng)點萬、0、0、Q四點共線時，OA+OB-iOC最小此時砂C為邊向外作等邊三角形,兩個等邊三角形的外接圓在磁內(nèi)的交點即為點0如圖，在磁中，若ABAC. ZABC、ZACB均小于120° , 0為費馬點，則有£AOB= ABOC = ZC=120° ,所以三角形的費馬點也叫三角形的等角中心例1 如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，點£的坐標(biāo)為（一 6, 0）,點萬的坐標(biāo)為（6, 0）, 點C的坐標(biāo)為（6, 4、行），延長M至點D使得CD=AC,過點作加/曲，交慮的延長 線于點E設(shè)G為y軸上的一點，點尸從直線尸一厲+6

4、上與y軸的交點"出發(fā)，先沿 y軸到達點G,再沿GA到達點A.若點尸在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2 倍，試確龍點G的位置，使點尸按照上述要求到達月所用的時間最短鮭一 GM GA 2GA + GMW： tF=2v v2v.當(dāng)2GA+GM最小時，時間最短如圖，假設(shè)在0"上存在一點G，則BG=AG:.MG+ 2AG= 滋+ AG+ BG把飭繞點萬順時針族轉(zhuǎn)60° ,得到G' B,連結(jié)&G' , W：.GG' B、.府 萬都為等邊三角形則 GG = Gf B=GB又" Gf = MG:.MG+AG+BG= G +GG

5、f +AG點4 "為定點&與0"的交點為G、此時MG+AG+BG最小點G的坐標(biāo)為（0, 2x/3 ）例2 A、B、C、D四個城幣恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每 兩個城市之間都有公路相通，并是整個公路系統(tǒng)的總長度為最小則應(yīng)當(dāng)如何修建？解：如圖，將月歹繞點川逆時針旋轉(zhuǎn)60° ,得到£5加同樣，將ZT0繞點C順時針旋 轉(zhuǎn)60° ,得到尸e；連結(jié)血、DF,則遊、處均為等邊三角形，連結(jié)刊、CV；則朋", QQV均為等邊三角形所以當(dāng)點伐弘只Q. A；尸共線時，整個公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段疔的長,如圖，此時點只

6、0在EF匕 1= 2= 3= 4 = 30進階訓(xùn)練1如圖，在 磁中， 磁=60 , AB=5,及7=3, F是 ABC內(nèi)一點,求PA+PB+FQ的最小值，并確疋當(dāng)PA+PB+PC取得最小值時， 遊的度數(shù).答案：PA+PB+ PC的最小值為7,此時近=120【提示】如圖，將 加繞點萬逆時針旋轉(zhuǎn)60 ，得到 才朋，連結(jié)過點 才作才E萬C,交彷的延長線于點E解Rt才應(yīng)求Q的長，所得即為PA-PB+PC的最 小值.2.如圖，四邊形A56是正方形， 遊是等邊三角形，"為對角線加上任意一點， 將繞點萬逆時針旋轉(zhuǎn)60得到連結(jié)川/, CM, EN.（1）當(dāng)M在何處時，AMrCM的值最小？（2）當(dāng)”在何處時，的值最??？請說明理由；（3）當(dāng)?shù)淖钚≈禐辂? 1時，求正方形的邊長.答案：（1）當(dāng)點“落在助的中點時，冊+G