專題04平面向量的應(yīng)用(一)正弦定理和余弦定理(知識(shí)精講)(解析版)

1、2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講練測(cè)(人教A版2019必修第二冊(cè))12 I 13專題04平面向量的應(yīng)用()正弦定理和余弦定理本節(jié)知識(shí)點(diǎn)與題型快速預(yù)覽氽弦定理正余弦定PE次臺(tái)正弦定理本節(jié)重要知識(shí)點(diǎn)利用余弦定理解:角形利用正弦定理解：角形利用E余弦定理爾現(xiàn)邊角互化典型例題與解期方法判定三角形的形狀正、余弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用平面向量的應(yīng)用(一)正弦定理和余弦定理知識(shí)點(diǎn)課前預(yù)習(xí)與精講精析杖心知識(shí)點(diǎn)1:正弦定理:1 .回顧學(xué)過的三角形知識(shí)填空(1)任意三角形的內(nèi)角和為180。：三條邊滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，并且大邊對(duì)大 角，小邊對(duì)小角.(2)直角三角形的三邊長

2、6;、b、c(斜邊)滿足勾股定理，即病+=不.2 .正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即仁=旦=磊.siiLi sui2> smC3 .由正弦定理導(dǎo)出的結(jié)論(1) ： b : c=smJ : siiiff : sinC.由等比性質(zhì)和圓的性質(zhì)可知，忌=益=志=金今舞氤=2丘其中，氏為乂5c外接圓的半徑.(3)4 v80v60siil4 Vsm5.4 .解三角形(1)一般地，把三角形三個(gè)角£ B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求 其他元素的過程叫做解三角形.(2)用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題？已知任意兩角與一邊，求其他兩邊

3、和一角.已知任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).(3)兩角和一邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？兩邊和其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 嗎？下圖中，JC=.W： AABC與的邊角有何關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)已知兩邊及其中一邊對(duì)角，怎樣判斷三角形解的個(gè)數(shù)？應(yīng)用三角形中大邊對(duì)大角的性質(zhì)以及正弦函數(shù) 的值域判斷解的個(gè)數(shù).在八姐。中，已知和X,以點(diǎn)。為圓心，以邊長。為半徑畫弧，此弧與除去頂點(diǎn),4的射線.43的公 共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見下表：A為鈍角,4為直角工為銳角a>b一解一解一解a = b無解無解一解a<b無解無解>

4、dsiii4兩解4 = bsinJ一解KbsinJ無解己知白、b、A, AJ3C解的情況如下圖示.(i M為鈍角或直角時(shí)解的情況如下：(ii以為銳角時(shí)，解的情況如下:° Mb時(shí).有一解bsiiiA <n vb時(shí)，右兩墻a=6sin/l 時(shí).有一解avbsin/4時(shí)工解核心知識(shí)點(diǎn)2:余弦定理:1 .余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的 余弦的積的兩倍符號(hào)語言在ASC中，a2=b2+c2- 26ccosJ b2=c2a2 - 2cacosB,c2=a2-b2-labcosC推論在4SC中，b2-1-c2-a2c2-c2b2coszl-

5、 26c，cosB- 2aea2b2c2cosC- 2ab2 .利用余弦定理及其推論解三角形的類型(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角：(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角.3 .余弦定理和勾股定理的關(guān)系在人"。中，由余弦定理得/二+拄-2abeosC,若角C=90。,則cosC=0,于是這說明勾 股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.設(shè)c是中最大的邊(或C是AABC中最大的角)，則5c是鈍角三角形，且角。為鈍角：東+乂二今人"。是直角三角形，且角C為直角：/+按5c是銳角三角形，且角C為銳角.權(quán)心知識(shí)點(diǎn)3:正余弦定理球合1 .正弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為急=備=

6、恚 (2)余弦定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 02 =按+/ 26ccoT、b2=a2+c2laccosBc2=tz2+62 2abcosC.2 .應(yīng)用正弦定理可以解決怎樣的解三角形問題？(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，解三角形.(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.3 .應(yīng)用余弦定理可以解決怎樣的解三角形問題？(1)已知三角形的兩邊及其夾角，解三角形.(2)已知三角形的三邊，解三角形.4 .三角形的面積公式由正弦定理可得三角形的而積S=$6sinC=；acsiiiB.【解析】解：由余弦定理可得，= 49+ 64 2 X 7 X 8 X捻=9.所以c=3.所以cosB=49+9-64 _

7、1-2x3x7"" -7故答案為:-y.2.在 A15C 中，已知=遍+«, 6=26，c= V6 - V2,那么 3=【解析】解：*.*。= x/6 + x/2t b=2技 c=V5-夜，n_ a2+c2-b2 _ (v,6+)2+G6-；2)2-(2vl)2 _ 1,22(v16+v2)(v6-；2) 天:BW (0, it),(1)若,4=45° , C=30° , c=5,貝ij=(2)若,4 = 75° , 8=45° , c=10根，貝ij b=【解析】解：由正弦定理得矣z=肅,sin4505sin 300b c

8、由正弦定理得，-=> sinB sinCb !Gf3.：.=，解得 b= 10/2.s “ 2450sfn60°故答案為：Sj2t 10/2.4 .在中，內(nèi)角乂，B,。所對(duì)的邊分別為a, b, c,若cos2B+co/=l-co£4cosC則角8的取值范【解析】解：cos2B+cos5= 1 - cosJcosC>即為 cosB+co$u4cosC= 1 - cos251即有-cos (A+C) +cos-JcosC= sin"5t -cos-4cosC+siii4smC+cocosC=sin25,即有 sinJsuiC=sin%,由正弦定理可得ac=

9、b2,由余弦定理可得：cosB= 一壤7" 2 筆耳=勁可=力，當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)等號(hào)成立,Zac Zac 20 乙由于 （0, it）.可得：Be （0, ".故答案為：（0,5 .在八鋁。中，已知,4>3>C ,4=2（7,且a+c=26,求ZUBC的三邊之比.【解析】解：:由正弦定理得：-= =2cosCt即cosC=2. c sinC sinCzc.由余弦定理得cosC=Q焉匕=（。+嚼。）+廬, ZabZabVa+c=25,2(qc)+華2a.2b(a-c)+b .法COsC=-2ba2c2(a-c)+等整理得2/-5。什3c2=0,解得a=c （舍去因

10、為X=2C）,又： a+c=2b.b=6： 5.，a： b： c=6： 5： 4六可得三角形的三邊之比為：6： 5： 4.典型題型與解題方法強(qiáng)皆強(qiáng)會(huì)題型1:利用余弦定理解三角形【典型例題】在包438中，已知H8=6, 4C=V5, NC£5=3(T ,那么JZ>=.【解析】解：,空。中，/鋁=6, HC=dJ, NC擔(dān)=30° ,，根據(jù)余弦定理，得：BC1=.1B2-AC1 - 2£B*JCcos450 =36+3 - 2X6x 遍X 9=21, :.BC=四邊形XBCD是平行四邊形，:.AD=BC= V21.故答案為：V21.【題型強(qiáng)化】在人/。中，若sm

11、J： shiB： smC= 1 ： V5： b則C=【解析】解：VshlJ： smB： smC= 1 ： V2： 1,由正弦定理可得:a： b: c=l： V2： 1 不妨取 a = l，6= c=l. a2+b2-c21+2-1 cosC= x； = = 丁.2ab 2x1x722VCG (0, n),故答案為:一.4【收官驗(yàn)收】已知三角形內(nèi)角d, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c且滿足/-兒=川+/,則4【解析】解：由，加=小小,得：廬+。2 -=- be.由余弦定理得：+- - J = 2brcos£cos-4=又乂為三角形,45c的內(nèi)角，.X=爭.故答案為：3【名師點(diǎn)睛】利

12、用余弦定理解三角形的注意點(diǎn)：1 .已知兩邊及夾角時(shí)，先用余弦定理建立關(guān)于第三邊的方程，求出第三邊.2 .已知三邊時(shí)，一般先用余弦定理的推論求出最大角的余弦值.3 .已知兩邊及一邊的對(duì)角時(shí)，既可以用正弦定理也可以用余弦定理.利用余弦定理是求第三邊長，利用正弦定 理是求另一個(gè)角，因此根據(jù)需要選擇即可.注意利用正弦定理求角時(shí)，需根據(jù)大邊對(duì)大角進(jìn)行三角形個(gè)數(shù)的 判斷.強(qiáng)考強(qiáng)會(huì)題猊2:利用正弦定理解三角形【典型例題】在中，己知月=45° , 8=60° , b=6,那么。=.a b【解析】解：由4=45° , 3=60° , b=6結(jié)合正弦定理可得，,sinA s

13、inB_ 6x4 _ 6v,2 r-a=F=F=2"T故答案為：276【題型強(qiáng)化】在中，若 心="，4C=1, NC=$ 則8C= 【解析】解：設(shè)BC=x (x>0),由余弦定理得，/鋁Z.wd+BC? - 2AC*BCcos/C,W)AB=p7, JC=b NC= 所以 7=l+2 X 1 X % X cosjt 化簡得 F - x - 6=0,解得x=3或x= - 2 (舍去)，即8C=3, 故答案為：3.【收官驗(yàn)收】在A"。中，已知4=1, b=yj2, A=30J ,則8=【解析】解：:在ZU5c中，a=bd = 30。，由正弦定理訴=福得：smB=

14、 則8=45°或1350.故答案為:45°或135°【名師點(diǎn)睛】已知兩角和任意一邊解三角形的方法：事實(shí)上，所謂解三角形本質(zhì)上就是解基于邊角的內(nèi)蘊(yùn)方程，已知三角形的兩角與一邊解三角形時(shí), (1)由三角形內(nèi)角和定理d-B+C=180?？梢杂?jì)算出三角形的第三個(gè)角；(2)由正弦定理上=，一=上可計(jì)算出三角形的另兩邊. sinA sinB sinC已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角，則利用三角形中“大邊對(duì)大角“看能否判 斷所求這個(gè)角是銳角，當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小

15、邊 所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷，此時(shí)就有兩解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角：最后 根據(jù)正弦定理求出第三條邊.說明：利用正弦定理解三角形本質(zhì)上是強(qiáng)化對(duì)三角形內(nèi)角和定理及互補(bǔ)的兩角的正弦值相等的認(rèn)識(shí)，在用正 弦定理解三角形時(shí)，要注意“大邊對(duì)大角”的運(yùn)用.強(qiáng)等必行題型3:利用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊向互化【典型例題】在中，已知£ B： C=3： 4： 5,那么a： b： c=.【解析】解：由$B： C=3： 4： 5,可得，3=45° , 5 = 60° , C=75° ,那么b： c sin-1 ： siiiB： sinC=v =2f2： 2y/

16、3： (P1 + 6)»故答案為： 2后：石)，a+b【題型強(qiáng)化】在15。中，若sinJ： sin5=2： 3,則一;一=.b【解析】解：在A5C 中，VsiilJ： siiiB=2： 3, a b又；=2R, sinA sinB ° sinA2uh2b 一 = 一，即：。=，b sinB33.a+b _ 丁+匕 _5"iT = b=3*故答案為：3sinAcosBcosC【收官驗(yàn)收】在A"。中，邊a，b, c所對(duì)角分別為工，B, C,且=-=，則NM = a b c,b csinAcosBcosC【解析】解：在,通。中，由正弦定理可得f又一=-=.si

17、nA sinB sinC a b csinB=cosB t 且 sinC=cosC>故 B=C=g 乂=%故答案為：一. 2【名師點(diǎn)睛】I邊化角是正弦定理齊次比例關(guān)系非常重要的應(yīng)用，其主要特點(diǎn)是將混有邊角關(guān)系的條件問題 轉(zhuǎn)化為三角恒等變換問題，并從角的角度來審視三角形的特征，這在高考的全國卷中比較常見，因此要熟練 掌握邊化危的三角形考題的特征，一般來說，當(dāng)條件中含有特殊數(shù)，如百(往往和特殊角有關(guān))或者齊次特征 明顯時(shí)，常進(jìn)行邊化角處理.對(duì)于正弦定理與三角恒等變換的綜合問題，大多是基于三角形內(nèi)角和定理展開的，故一般有兩種類型：一是 利用相應(yīng)半角的互余關(guān)系、角的互補(bǔ)關(guān)系研究三角恒等變換，進(jìn)而

18、達(dá)到減元的目的，也就可以盯著目標(biāo)進(jìn)行 三角恒等變換：二是利用正修定理求得相應(yīng)的角或者尋找相應(yīng)的邊角關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用三南恒等變換轉(zhuǎn)化為一 個(gè)角的三角函數(shù)問題.強(qiáng)者必余題型4:判定三角形的形狀【典型例題】在ZU5c中，若等式l+cos2c=cos4+cos2§成立，求證：AABC為直角三角形.【解析】證明：*.* 1 +cos2C= cosl+cos-3, .1 - cos4 = co$25 - cos2a1 - cos4= (cos2B - 1) + (1 - cos2C)>= - sin'5+siirC>/一川=/,故：AzLSC為直角三角形，得證.【題型強(qiáng)化】在Z

19、U5c中，(1)若。的而積為更，c=2, -4=60)，求b, 2(2)若bcsA=acosB,試判斷A/C的形狀，并證明你的結(jié)論. -y/31【解析】解：(1)由已知得=bcsmJ = bsin60 ,22：.b=l.由余弦定理 a2=b2+c2 - 23ccosJ = 3, :*a= l3.(2)為等腰三角形；證明：若 beg*=acosB,則 sniBcoSul = sulicosB , 故 tanJ = tan3.由已知K、8為三角形內(nèi)角，: A=B .ZU5C為等腰三角形.【收官驗(yàn)收】在ZXJ5c中，已知/-必=(flcosB+5coU) 2試判斷此三角形的形狀.【解析】解：由正弦定

20、理。2占2= (acosB+bcoD- siirB= ( shl-1cos5+skiScos.-1 ) 一,.sm2J - sin2B=sm2 (A+B),/. sin-J - siir5=siirCt./ -乒=。2,.Az®7為直角三角形.【名師點(diǎn)睛】判斷三角形形狀的思路：1 .轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷：(1)aABC 為直角三角形=a2 = b2 +/或 / = a2 + c?或 / = a2 + b2 :(2)AJBC 為脫角三角形=。2 +62 > c2且/ + c2> /且c2 + a2 > b2;(3) A ABC為鈍角三角形Q a2 + b2 <

21、 c?或川+ c2 < /或屋+ a2 < b2 :(4)按等腰或等邊三角形的定義判斷.2 .轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)(值)來判斷：若cos<=0,則<=90, ZU3C為直角三角形；若cosA<Q9 9U-18C為鈍角三龜形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosOO 9則aABC為銳角三角形：(4)若 sin?力 + sin2B = sin2C9 則 C=90, A ABC 為直角角形;(5)若 sinA=sinB 或 S7(MB)=O,則 A=Bt aABC 為等腰三角形；(6)若sinU=sin2B,則工=3或4+3=90。，&ABC為等

22、腰三角形或直角三角形.在具體判斷的過程中，應(yīng)注意靈活地應(yīng)用正、余賅定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化，究竟是角化邊還是邊化角應(yīng)依具體 情況決定.強(qiáng)一興金題鯉5:正、余弦定理與三角恒等交換的球合應(yīng)用 【典型例題】在中，已知】= 30° , cos5=2sinB-V3smC.(1)求證：ZU5c為等腰三角形；(2)設(shè)。為,18。外接圓的直徑3E與且。的交點(diǎn)，且乂8=2,求,切：。的值.【解析】（1）證明：VcosB=2sHiB-V3smC> ,4 = 30° ,1 J3 .sinB= 嚴(yán)os8+ -y-sin （,1 .-sinB- 2/.sin（5-60c ） =cos5,：.B=75

23、Q , AC=75° , AJ8C為等腰三角形；(2)解：如圖示：過a點(diǎn)作5。的垂線，交BD于O,顯然。是外接圓的圓心，04 = OB,則N，BO=NA4O=15° ,故/8。=45° ,結(jié)合（1）, AB=2=AC, ZBAC=3Q ,BC2=AB2+AC1 - 2Qcos/AC/.5C2=4+4 - 2X2X2X q=8 - 4技 在3DC 中，ZBDC=45° , NDBC=60° ,BCDC sin£.BDC sinzDBC.BC _ DC運(yùn)=亙：.DC=毋BC=4/8 -4於=V12-6V3 =3-后，/.W=JC-DC= V3-1,.AD !3-l5/3DC - 3-x/3 - 3【題型強(qiáng)化】設(shè)&鋁c的內(nèi)角<，B, C的對(duì)邊分別為a, b, C,且。cosB=gbsiiL4=5.（I）求邊長。的值：（II ）若ZU5c的而積S=30,求的周長.cacosB S【解析】解：（I）在AMC中，由s5=立如但5,可