2020年安徽省宿州市十三所重點中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1、期中數(shù)學(xué)試卷題號一二三總分得分、選擇題（本大題共 12小題，共 60.0 分）1.若一個數(shù)列的前三項依次為 A. an=4n-2B. an6，18，54，則此數(shù)列的一個通項公式為（）=2n+4C. an=2×3nD. an=3×2n2.不等式1的解集是（）A. ( -，1B.( 0， 1C. 0，1D.（-， 0）1，+)3.ABC 的內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c已知 a= ，b=3，cosA= ，則 c=(）A. 3B.C.2D.4.在等差數(shù)列 an 中， a1+3a8+a15=60，則 a2-a8+a14 等于（）A. 10B. 12C.11D. -45.

2、若點 A（ -2，1），點 B（2，-1）在直線 x+ay-1=0 的兩側(cè)，則 a 的取值范圍是 （）A. ( 1，3）B.（-， 1）（3，）C. ( -3，-1）D.（-， -3）（-1，+）6.若 x， y滿足線性約束條件，則 z=x+y 的最大值是（）A. -1 B. 1 C. 2 D. 37. 已知 0<x< ，則 x（ 3-5 x）取最大值時 x 的值為（ ）8.A.C.設(shè)ABC 的內(nèi)角 A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 acosB+bcosA=csinC ，則 ABC的形狀為（ ）A. 銳角三角形C. 鈍角三角形9. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列B. 等腰直角三角

3、形D. 直角三角形an ，且 3a1， a3，2a2成等差數(shù)列，則()A. 6B.C. 910. ABC的內(nèi)角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c，若 a=4，b=3，c=2，則ABC邊 BC 的中線 AD 的長為（ ）A.B.C.D.11. 不等式 x2-2ax+2-a0，在 x-1，+）上恒成立，則 a 的取值范圍是（）A. -3 ， 1B. -2，1C. -3，+）D. -3 ，-212. 已知函數(shù)的定義域為（ 0，+），當(dāng) x>1時， f（ x）> 0，對于任意的 x，y（0， +），f（x）+f（y）=f（xy）成立，若數(shù)列 an 滿足 a1=f（1），且 f（ an+1

4、）= f（ 2an+1）， nN+，則 1+a2019 的值是（）A. 22016B. 22017C. 22018D. 22019二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分）13. 設(shè) x，yR，且 x+y=4，則 3x+3y 的最小值是 14. 在三角形 ABC中， A= ，b=1，SABC= ，則 a的值為 15. 若等比數(shù)列 an的前 n 項和 Sn=2n+1+c，則 c=16. 若 1n2，ln（ex-1）， ln（ex+3）成等差數(shù)列，則 x的值等于 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70.0 分）17. 在等比數(shù)列 an 中， a1 a2a3=8，a2+a4=10 （1）求

5、首項 a1 及公比 q； （2）求該數(shù)列的前 8 項和 S818. ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a， b，c，向量 =（ a， c）與 =（ cosA，sinC）共線，（ 1）求角 A；（2）若 a= ， c=2，求ABC 的面積19. 若 Sn是各項均為正數(shù)的數(shù)列 an 的前 n項和，且 Sn2-（n2-1）Sn-n2=0 （ 1）求 a1， a2的值；（2）設(shè) bn=，求數(shù)列 bn的前 n 項和 Tn20. 宿州泗縣石龍湖國家濕地公園是保存完好的典型濕地生態(tài)系統(tǒng)， 具有得天獨厚的旅 游資源某日一游船在湖上游玩航行中突然遇險，發(fā)出呼救信號，駐湖救援隊在 A 處獲悉后，立即測出

6、該游船在北偏東45°方向上，距離 A有 4千米的 C處，并測得游船正沿東偏南 15°的方向，以 10千米/時的速度向湖心小島 B 靠攏，救援艦艇立 即以 10 千米 /時的速度前去營救，若想用最短的時間營救游船，求艦艇的航行方 向和所需時間21. 已知不等式 ax2-3x+b<0 的解集為（ 1， 2），設(shè)函數(shù) f（x）=ax2+（ c-b） x-bc （1）求 a，b 的值（2）求 f（x）< 0的解集22. 在數(shù)列 an中，1）設(shè) bn= ，求數(shù)列 bn 的通項公式；2）求數(shù)列 an 的前 n項和 Sn答案和解析1. 【答案】 C 【解析】 解：依題意， 6

7、=1×6=30×6，18=3×6=31×6，54=9 ×6=32×6，所以此數(shù)列的一個通項公式為 an=2×3n， 故選： C6=1×6=30×6，18=3×6=31×6，54=9×6=32×6，可以歸納出數(shù)列的通項公式本題考查了數(shù)列的通項公式，主要考查歸納法得到數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題2. 【答案】 B解析】 解： 1，0< x1故選： B由已知可得 ，結(jié)合分式不等式即可可求本題主要考查了分式不等式的解法的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題3. 【答案】 C【解析】

8、解： ABC的內(nèi)角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、ca= ， b=3， cosA= ， ，即 ，解得 c=2 故選： C利用余弦定理直接求解即可本題考查三角形邊長的求法，考查余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解 能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題4. 【答案】 B【解析】 解：等差數(shù)列 an中， a1+3a8+a15=60，可得： 5a8=60，解得 a8=12，則 a2-a8+a14=a8=12，故選： B利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5. 【答案】 B【解析】 解：點 A（-2，1），點 B

9、（2，-1）在直線 x+ay-1=0的兩側(cè)， （-2+a-1）（ 2-a-1）< 0，即（ a-3 ）（ 1-a）< 0 ，得（ a-3 ）（ a-1）> 0 ，得 a> 3 或 a< 1，即實數(shù) a 的取值范圍是（ -，1）（3， ），故選： B 根據(jù)點與直線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式進行求解即可 本題主要考查二元一次不等式表示平面區(qū)域， 根據(jù)點與直線的關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式關(guān)系是 解決本題的關(guān)鍵解析】 解：先根據(jù) x， y滿足線性約束條件6. 【答案】 C，畫出可行域，當(dāng)直線 z=x+y過點 A（ 2， 0）時， z最大值為 2 故選： C先根據(jù)約束條件畫出可行域，再

10、利用幾何意義求 最值，只需求出直線 z=x+y 過點 B（1，1）時， 最大值即可本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何 意義求最值，屬于基礎(chǔ)題7. 【答案】 A解析】 解： 0<x< ，則 x（3-5x）= ×5x（ 3-5x）= ， 當(dāng)且僅當(dāng) 5x=3-5 x 即 x= 時取最大值 故選： A由 x（3-5x）= ×5x（ 3-5x），利用基本不等式可求本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題8. 【答案】 D 【解析】 解：由 acosB+bcosA=csinC，結(jié)合正弦定理可得： sinAcosB+sinBcosA=sin2C，sin

11、（B+A）=sin2C，即 sinC（ sinC-1）=0，在 ABC 中， sinC0， sinC=1，又 0< C< ，C= 故選： D 由正弦定理把已知的等式化邊為角， 結(jié)合兩角和的正弦化簡， 求出 sinC，進一步求得 C， 即可判斷得解本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，是中檔題9. 【答案】 D 【解析】 解：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的公比設(shè)為 q，q>0，3a1， a3， 2a2 成等差數(shù)列，可得 a3=3a1+2a2，即 a1q2=3a1+2a1q，即為 q2-2q-3=0 ，解得 q=3，（ -1 舍去），故選： D 各項均為正數(shù)的等比

12、數(shù)列 an 的公比設(shè)為 q，q> 0，運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)和等比數(shù) 列的通項公式，解方程可得公比q，再由等比數(shù)列的通項公式，計算可得所求值本題考查等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式， 考查方程思想和運算能力， 屬于基 礎(chǔ)題10. 【答案】 D【解析】 解：由題意，在 ABC 中，由余弦定理可得： 在 ABD 中，由余弦定理可得：cosB=AD= = = 故選： D 在 ABC 中，由余弦定理可得 cosB 的值，在 ABD 中，由余弦定理即可求得 AD 的值 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題11. 【答案】 A 【解析】 解：由于 f（ x） = x

13、2-2ax +2-a 的對稱軸為 x=a，當(dāng) a-1 時， f（ x）在 -1， a遞減，在（ a， +）遞增，則 f（x） min= f（ a） =2- a-a20，? -1a 1當(dāng) a< -1 時， f（ x）在-1 ， +）遞增，則 f（x）min=f（ -1）=3+a0? -3a< -1綜上，則 a 的取值范圍是 -3，1故選： A不等式 x2-2ax+2-a0，在 x-1，+）上恒成立， 則（ x2-2ax+2-a）min0，即可得到范圍； 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值， 注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系， 考查分類討論的思想 方法，考查運算能力，屬于中檔題12. 【答案】 C

14、 【解析】 解：當(dāng) x>1時 f（x）> 0 在（ 0， +）上任意取兩個數(shù) x1， x2，且 x1<x2，令 ，則 f（k）> 0f（x2）=f（kx1）=f（k）+f（x1）> f（x1），f（x）在（ 0，+）上是單調(diào)增函數(shù)令 x= y=1 ，則 f（1）+f（ 1）=f（1），解得 f（1）=0數(shù)列 an滿足 a1=f（1）=0，且 f（ an+1） = f（ 2an+1）， nN+，an+1 =2 an+1，an+1 +1=2 （ an+1 ）數(shù)列 an+1 是等比數(shù)列，公比為 2，首項為 1故選： C當(dāng) x>1 時 f（x）> 0在（ 0，

15、 +）上任意取兩個數(shù) x1，x2，且 x1< x2，令，則 f（k）> 0，結(jié)合已知關(guān)系式可以判斷單調(diào)性令x=y=1，則 f（1）+f（1）=f（1），解得 f（ 1）=0因數(shù)列 an 滿足 a1=f（1）=0，且 f（an+1）=f（2an+1），nN+，利用單調(diào)性可得關(guān)系式， 繼而得出數(shù)列 an+1 是等比數(shù)列，可以求出結(jié)果本題考查了單調(diào)函數(shù)定義和數(shù)列的遞推關(guān)系式，屬于中檔題13. 【答案】 18【解析】 解： x， yR，且 x+y=4，3x+3y的2=18，（ x=y=2等號成立）故答案為： 18根據(jù)不等式 3x+3y的 2=18，求解即可本題考查了基本不等式的求解問題，屬

16、于中檔題，指數(shù)冪的運算性質(zhì)14.【答案】【解析】 解： A= ， b=1， SABC= = bcsinA= ，解得： c=4，由余弦定理可得： a= = = 故答案為： 由已知利用三角形的面積公式可求c 的值，根據(jù)余弦定理即可解得 a 的值本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想， 屬于基礎(chǔ)題15. 【答案】 -2【解析】 【解答】 解：依題意，該等比數(shù)列的公比不為1，所以 Sn= - ·qn=c+2×2n，所以 q=2， =-2，c= =-2，故填： -2【分析】顯然該等比數(shù)列的公比不為 1，所以 Sn= - ·qn=c+2&#

17、215;2n，所以 q=2， =-2 ，c=-2，本題考查了等比數(shù)列的前 n 項和，主要考查公式的運用和處理能力，屬于基礎(chǔ)題16. 【答案】 ln5【解析】 解： 1n2，ln（ex-1）， ln （ ex+3）成等差數(shù)列，2ln（ ex-1） =ln2+ln （ ex+3），（ex-1）2=2（ex+3），化為：（ ex） 2-4ex-5=0，ex> 0解得 ex=5，可得 x=ln5 故答案為： ln5 1n2，ln（ex-1），ln（ex+3）成等差數(shù)列，可得 2ln（ex-1）=ln2+ln （ex+3），利用對數(shù) 運算性質(zhì)即可得出本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用、 對數(shù)運算

18、性質(zhì)， 考查了推理能力與計算能力， 屬于中檔題17. 【答案】 解：（ 1）根據(jù)題意，等比數(shù)列 an中， a1a2a3=8，則 a23=8，解可得 a2=2 ，又由 a2+a4=10，則 a4=8，則 q2= =4 ，則 q=±2，當(dāng) q=2 時， a1=1 ，當(dāng) q=-2 時， a1=-1 ；（ 2）由（ 1）的結(jié)論，當(dāng) q=2 時， a1=1，此時 S8=255 ，當(dāng) q=-2 時， a1=-1 ，此時 S8=85【解析】 （ 1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a23=8，解可得 a2 的值，進而可得 a4的值，據(jù)此可得 q 的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得a1的值，（ 2）根據(jù)

19、題意，由（ 1）的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列的前 n 項和公式分析可得答案 本題考查等比數(shù)列的前 n 項和公式以及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題18. 【答案】 （本題滿分為 12 分）解：（ 1）因為向量 =（ a， c）與 =（cosA，sinC）共線，所以 asin C- ccos A=0，（ 2 分） 由正弦定理，得 sin Asin C- sin Ccos A=0 ， 又 sin C 0，從而 tan A= 由于 0<A< ，所以 A= （ 6 分）（ 2）由余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccos A，而 a= ，c=2， A= ，得 7=4+b2-2b，即 b2-2b-3=

20、0 因為 b> 0，所以 b=3故ABC 的面積為 bcsinA= （ 12分）【解析】 （ 1）利用平面向量共線的性質(zhì)，正弦定理結(jié)合sinC0，可求 tanA= 結(jié)合范圍 0< A< ，可求 A 的值（ 2）由已知及余弦定理可得 b2-2b-3=0，解得 b 的值，根據(jù)三角形的面積公式即可得解 本題主要考查了平面向量共線的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三 角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題19. 【答案】 解：（ 1）當(dāng) n=1 時， -1=0，解得 S1=±1數(shù)列 an 為正項數(shù)列， a1=S1=1 當(dāng) n=2 時，-4=0，又

21、S2> 0，解得 S2=4 由 S2=4=a1+a2，解得 a2=3（ 2） Sn2-（ n2-1） Sn-n2=0 （ Sn-n2）（ Sn+1）=0，Sn> 0Sn=n2當(dāng) n=1 時， S1=a1=1當(dāng) n2時， an=Sn-Sn-1=n2-（ n-1）2=2n-1n=1 時也符合上式an=2n-1bn= = 故 Tn=b1+b2+ +bn= = 【解析】（ 1）當(dāng) n=1 時， -1=0 ，解得 S1=±1由數(shù)列 an為正項數(shù)列， 可得 a1=S1=1當(dāng)n=2 時，-4=0 ，又 S2> 0，解得 S2由 S2=4= a1+ a2，解得 a2；（ 2）由 S

22、n2-（n2-1）Sn-n2=0可得（ Sn-n2）（Sn+1）=0，Sn> 0可得 Sn=n2當(dāng) n=1 時， S1= a1=1當(dāng) n2時， an= Sn-Sn-1 ，可得 anbn= = 利用裂項求和方法即可得出本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬 于中檔題20. 【答案】 解：設(shè)艦艇靠近游船所需最短時間為t 小時，所以 BC=10 t千米， AB=10 t千米，cosACB=（ 2 分）可化為（ 5t-2）（ 5t+1）=0，所以 t= 或 t=- （舍去）（ 6 分）所以最短時間為 小時；又由 BC=4 千米， AB=4 千米得cosCAB

23、= = （ 10 分）所以 CAB =30°，故艦艇的航行方向為北偏東 75°方向（ 12 分） 【解析】 設(shè)艦艇靠近游船所需最短時間為 t 小時，通過余弦定理求解時間，由 BC=4 千 米， AB=4 千米，通過余弦定理求解 cosCAB 即可求出角的大小本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用 解題的關(guān)鍵是利用了余弦定理， 利用已知的邊和 角建立方程求得時間21. 【答案】 解：（ 1）因為不等式 ax2-3x+b<0 的解集為（ 1，2）所以 1和 2是關(guān)于 x的方程 ax2-3x+b=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以 a=1，b=2（ 4 分）（ 2）由（ 1）知： f（x）=ax2+（ c-b）x-bc=x2+（c-2）x-2c因為 f（x）<