三角形中線專題

1、中線：頂點到對邊中點的連線段 第一、中線等分面積;1 .能將一個三角形分成面積相等的兩個三角形的一條線段是A .中線 B.角平分線 C .高線 D.三角形的角平分線2 .如圖，在 ABC中，D、E分別為BC上兩點，且 BD=DE=EC,則圖中面積相等的三角形有（）A . 4對 B . 5對 C. 6對 D. 7對（注意考慮完全，不要漏掉某些情況）3. A ABC的周長為16cm長相等的兩個三角形.若,AB BD = AC, BC邊上的中線 AD把AABC分成周 3cm,求AB的長.z.4 . 一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四個良種進行對比實驗，需將這塊土地分成面積相等的 四塊.請你制訂出兩種

2、以上的劃分方案.第二、 中線提供了對應(yīng)全等的一組邊 倍長中線構(gòu)造全等; 實例： ABC中AD是BC邊中線方式1:延長 AD到E,使DE=AD ,連接BE方式2:間接倍長 延長MD至ij N,使DN=MD ,連接CN方式3:過點C作CF LAD于F,過點B作BEX AD的延長線于 E;【經(jīng)典例題】例1: ABC中，AB=5 , AC=3,求中線 AD的取值圍例2:已知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延長線上， DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE例3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC ,延長BE交AC 于 F,求證：AF=EF提

3、示：倍長 AD至G,連接BG,證明A BDe A CDA三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如圖，在 ABC中，AB 交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BAC提示：方法1:倍長AE至G,連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CHAC , D、E 在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA例 5:已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的中線，求證：/ C= / BAE提示：倍長AE至F,連結(jié)DF證明 A ABEi A FDE (SAS進而證明A AD庭A ADC (SAS)例6:在 ABC中，AD是AABC的中線，求證： AB+AC>2AD

4、【融會貫通】1、在四邊形ABCD中, 相交于點F。試探究線段AB / DC, E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長線AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G 證明 AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如圖，AD為證：BE CFABC的中線，DE平分EFBDA交AB于E, DF平分 ADC交AC于F.求第14題圖AT平分 BAC交CM于D,交BC3、已知:如圖,ABC 中， C=90 , CM AB 于 M于T,過D作DE/AB 交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TNLAB于N證明 A BTN A ECDC4.如圖

5、， ABC中，D是BC的中點，動點 E在AB邊上，DF，DE交AC于F,連接EF, 猜想：BE+CF與EF的大小關(guān)系為 ,并請加以證明.5 .如圖1,在正方形 ABCD和正方形BEFG中，點A, B, E在同一條直線上，P是線段 DF的中點，連接PG, PC.(1)探究PG與PC的位置關(guān)系及弓的值(寫出結(jié)論，不需要證明)；(2)如圖2,將原問題中的正方形 ABCD和正方形BEFG換成菱形ABCD和菱形BEFG ,且/ ABC= / BEF=60度.探究PG與PC的位置關(guān)系及 高的值，寫出你的猜想并加以證明;(3)如圖3,將圖2中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形 BEFG的邊BG恰好與菱

6、形ABCD的邊AB在同一條直線上，問題(2)中的其他條件不變.你在(2)中得到的兩 個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.6 .如圖，點 B、C、E在同一條直線上， ABC、DCE都為等邊三角形， M為BD的中 點，N為AE的中點，求證： CMN為等邊三角形.第6題圖第7題圖7 .如圖，在 ABC中，經(jīng)過BC的中點M,有垂直相交于 M的兩條直線，它們與 AB、AC 分別交于 D、E,求證：BD+CE > DE .第三、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；1 .如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90 °, D, E, F分別是 AB , BC, CA 的中點，若 C

7、D=5cm , 則 £5為（）A . 5 B. 10 C. 15 D. 20第1題圖第2題圖第3題圖2 .如圖， ABC中，BD、CE是4ABC的兩條高，點 F、M分別是DE、BC的中點.求 證：FMXDE.8 .如圖，/ ABC= Z ADC=90 °, M、N 分別是 AC、BD 的中點.求證： MN ±BD .第四、 兩邊中點連線，為三角形的中位線 平行于第三邊且等于第三邊的一般；（一）、已知三角形的三邊為 6、8、10,順次連結(jié)各邊中點， 所得到的三角形的周長為多少？變形題：已知三角形的三邊為 a、b、c,順次連結(jié)各邊中點，所得到的三角形的周長為多少？（二

8、）在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是 AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形變形題1:已知如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形 EFGH是平行四邊形BC變形題2:已知E為平行四邊形 ABCD邊的延長線上的一點，且 CE=DC,連結(jié)AE ,分別 交BC、BD于F、G,連結(jié) AC交BD于O點，連AF。求證：AB=2OF（三）如圖，在四邊形 ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點，連結(jié) EF并延長, 分別與BA、CD的延長線相交于 M、N。求證：/ BME=/CNEM變形題：在四邊形 ABCD中，ACBD相交于。點，AC=BD,E、F分別是AB、CD的中點， 連接EF分另1J交AC、BD于M、N,判斷三角形 MON的形狀，并說明理由。第五、三中線交于一點，該點稱為“重心”，將中線長度分為 2：1;三角形的重心將三角形的每條中線都分成1 : 2兩部分，其中重心到三角形某一頂點的距離是到該頂點對邊中點距離的2倍。證法1:取GA、GB中點M、N,連接MN、ND、DE、EM。（如圖1）證法2:延長BE至F,使GF=GB ,連接FC。D是斜邊AB的中點，當G是Rt例1如圖 ABC的重心，3 所示，在 RtAABC 中，/ A=30°，點GEXAC 于點 E,若 BC=6cm,貝U GE二cm 。求面積例2