北京市2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-專題突破訓(xùn)練-數(shù)列-理(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上北京市2016屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練數(shù)列一、選擇、填空題1、（2015年北京高考）設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則2、（2014年北京高考）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)_時，的前項和最大.3、（2013年北京高考）若等比數(shù)列an滿足a2a420，a3a540，則公比q_；前n項和Sn_.4、（朝陽區(qū)2015屆高三一模）設(shè)S n為等差數(shù)列的前n 項和。若，則通項公式。5、（東城區(qū)2015屆高三二模）已知為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，若，則（A） （B）（C） （D）6、（豐臺區(qū)2015屆高三一模）在等比數(shù)列中，則公比等于(A) -

2、2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀區(qū)2015屆高三二模）若等比數(shù)列滿足，則公比_； 8、（石景山區(qū)2015屆高三一模）等差數(shù)列中，則該數(shù)列前項之和為（ ）A B C D9、（西城區(qū)2015屆高三一模）若數(shù)列an滿足a1 = 2，且對于任意的m, nN，都有 , 則= ；數(shù)列 an 前10 項的和S10 = .10、（大興區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的前項和_11、（豐臺區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）等差數(shù)列的前n項和為，如果，那么等于_12、（北京四中2015屆高三上學(xué)期期中）在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項和 .13、（東城區(qū)示范校2015屆高三上

3、學(xué)期綜合能力測試）數(shù)列的前項和記為，若，則數(shù)列的通項公式為_14、（東城區(qū)2015屆高三4月綜合練習(xí)（一）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差 15、（）已知是等差數(shù)列，那么=_；的最大值為_二、解答題1、（2015年北京高考）已知數(shù)列滿足：， ，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個數(shù)的最大值2、（2014年北京高考）對于數(shù)對序列，記，其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù)，（1） 對于數(shù)對序列，求的值.（2） 記為四個數(shù)中最小值，對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和，試分別對和的兩種情況比較和的大小.（3）在由5個數(shù)對組成的所有數(shù)

4、對序列中，寫出一個數(shù)對序列使最小，并寫出的值.（只需寫出結(jié)論）.3、（2013年北京高考）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an1，an2，的最小值記為Bn，dnAnBn.(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，an4an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dnd(n1,2,3，)的充分必要條件為an是公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a12，dn1(n1,2,3，)，則an的項只能是1或者2，且有無窮多項為1.4、（朝陽區(qū)2015屆高三一模）若數(shù)列 中不超過 f (m)的項數(shù)

5、恰為b m (mN * )，則稱數(shù)列是數(shù)列 的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù) f (m)是生成 的控制函數(shù)。設(shè) f (m) = m2。（1）若數(shù)列單調(diào)遞增，且所有項都是自然數(shù)， b1 =1，求a1；（2）若數(shù)列單調(diào)遞增，且所有項都是自然數(shù)， a 1= b1 ，求a1 ；（3）若an = 2 n (n =1 ，2 ，3 ) ，是否存在 生成 的控制函數(shù) g(n) = pn2 + qn + r （其中常數(shù)p，q，rZ），使得數(shù)列也是數(shù)列 m b 的生成數(shù)列？若存在，求出 g (n)；若不存在，說明理5、（東城區(qū)2015屆高三二模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，設(shè)，()求證：數(shù)列是等比數(shù)列；()若，求實數(shù)的最

6、小值；（）當(dāng)時，給出一個新數(shù)列，其中設(shè)這個新數(shù)列的前 項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由6、（房山區(qū)2015屆高三一模）下表給出一個“等差數(shù)陣”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù).（I）寫出的值；（II）寫出的計算公式；（III）證明：正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是可以分解成兩個不是的正整數(shù)之積.7、（豐臺區(qū)2015屆高三一模）如果數(shù)列：，且，滿足：，； ，那么稱數(shù)列為“”數(shù)

7、列（）已知數(shù)列：-2，1，3，-1；數(shù)列：0，1，0，-1，1試判斷數(shù)列，是否為“”數(shù)列；（）是否存在一個等差數(shù)列是“”數(shù)列？請證明你的結(jié)論；（）如果數(shù)列是“”數(shù)列，求證：數(shù)列中必定存在若干項之和為08、（海淀區(qū)2015屆高三二模）對于數(shù)列，經(jīng)過變換交換中某相鄰兩段的位置（數(shù)列中的一項或連續(xù)的幾項稱為一段），得到數(shù)列.例如，數(shù)列（，）經(jīng)交換兩段位置，變換為數(shù)列.設(shè)是有窮數(shù)列，令.（）如果數(shù)列為，且為. 寫出數(shù)列；（寫出一個即可）（）如果數(shù)列為，為，為，為.寫出數(shù)列；（寫出一組即可）（）如果數(shù)列為等差數(shù)列：，為等差數(shù)列：，求的最小值.9、（石景山區(qū)2015屆高三一模）設(shè)數(shù)列滿足：；所有項；設(shè)集合

8、，將集合中的元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值我們稱數(shù)列為數(shù)的伴隨數(shù)列例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3()若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列；()設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和；()若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和 10、（西城區(qū)2015屆高三一模）已知點列 (kN*，k2)滿足P 1（1，1），中有且只有一個成立寫出滿足k = 4且P 4（1，1）的所有點列；證明：對于任意給定的k (kN*，k2)，不存在點列T ，使得；當(dāng)k = 2n 1且 時，求 的最大值11、（朝陽區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）若有

9、窮數(shù)列，（是正整數(shù)）滿足條件：，則稱其為“對稱數(shù)列”例如，和都是“對稱數(shù)列”（）若是25項的“對稱數(shù)列”，且，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列求的所有項和；（）若是50項的“對稱數(shù)列”，且，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列求的前項和，.12、（東城區(qū)2015屆高三上學(xué)期期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且（）求數(shù)列和的通項公式；（）求數(shù)列的前項和13、（北京四中2015屆高三上學(xué)期期中）已知數(shù)列滿足：，.數(shù)列的前項和為，.（）求數(shù)列，的通項公式；（）設(shè)，.求數(shù)列的前項和.14、（東城區(qū)示范校2015屆高三上學(xué)期綜合能力測試）給定正奇數(shù)，數(shù)列：是1，2，的一個排列，定義E（，）為

10、數(shù)列：，的位差和。（I）當(dāng)時，求數(shù)列：1，3，4，2，5的位差和；（II）若位差和E（，）=4，求滿足條件的數(shù)列：，的個數(shù)；（III）若位差和，求滿足條件的數(shù)列：的個數(shù)。15、（北京市朝陽區(qū)2015屆高三第二次綜合練習(xí)）已知數(shù)列，是正整數(shù)1，2，3，n的一個全排列若對每個都有或3，則稱為H數(shù)列（）寫出滿足的所有H數(shù)列；（）寫出一個滿足的數(shù)列的通項公式；（）在H數(shù)列中，記若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，求證：或參考答案一、選擇、填空題1、C解析： 2、 由等差數(shù)列的性質(zhì)，于是有，故故，為的前 項和中的最大值3、答案：22n12解析：由題意知.由a2a4a2(1q2)a1q(1q2)20，a12.Sn

11、2n12.4、答案：5、B6、B7、2， 8、C9、答案：8，68210、11、1512、8813、14、115、二、解答題1、解析:（），（）因為集合存在一個元素是的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是的倍數(shù)由 可歸納證明對任意，是的倍數(shù)如果，則的所有元素都是的倍數(shù)如果，因為或，所以是的倍數(shù)，于是是的倍數(shù)類似可得，都是的倍數(shù)從而對任意，是的倍數(shù)因此集合的所有元素都是的倍數(shù)綜上，若集合存在一個元素是的倍數(shù)，則集合的所有元素都是的倍數(shù)（）由，可歸納證明因為是正整數(shù)， 所以是的倍數(shù)從而當(dāng)時，是的倍數(shù)如果是的倍數(shù)，由（）知對所有正整數(shù)，是的倍數(shù)因此當(dāng)時，這時的元素的個數(shù)不超過如果不是的倍數(shù)，由（）知對所有正整數(shù)，不是

12、的倍數(shù)因此當(dāng)時，這時的元素的個數(shù)不超過當(dāng)時，共個元素綜上可知，集合元素個數(shù)的最大值為2、,;當(dāng)時：，；，；因為是中最小的數(shù)，所以，從而；當(dāng)時，；，；因為是中最小的數(shù)，所以，從而。綜上，這兩種情況下都有。數(shù)列序列，的的值最小；，.3、解：(1)d1d21，d3d43.(2)(充分性)因為an是公差為d的等差數(shù)列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因為dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn.又因為anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差為d的等差數(shù)列(3)因為

13、a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故對任意n1，anB11.假設(shè)an(n2)中存在大于2的項設(shè)m為滿足am2的最小正整數(shù)，則m2，并且對任意1km，ak2.又因為a12，所以Am12，且Amam2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，與dm11矛盾所以對于任意n1，有an2，即非負(fù)整數(shù)列an的各項只能為1或2.因為對任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足mn，且am1，即數(shù)列an有無窮多項為1.4、5、解：() 因為，且，所以是首項為，公比為等比數(shù)列所以 4分() 由()可得，因為，所以

14、，且所以的最小值為 9分（）由()當(dāng)時，當(dāng)時，所以對正整數(shù)都有 由，(且)，只能是不小于3的奇數(shù) 當(dāng)為偶數(shù)時，因為和都是大于1的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，,，所以且，相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”； 當(dāng)為奇數(shù)時，由于是 個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以 不成立，此時沒有“指數(shù)型和” 14分6、（I）解：a45=49. 3分（II）解：該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：a1j=4+3（j1），第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：a2j=7+5（j1），第i行是首項為4+3（i1），公差為2i+1的等差數(shù)列，因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j

15、=i（2j+1）+j. 7分（III）證明：必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i、j使得N=i（2j+1）+j，從而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），從而N=k（2l+1）+l=akl，可見N在該等差數(shù)陣中.綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積 13分7、解：（）數(shù)列不是“”數(shù)列；數(shù)列是“”數(shù)列 2分（

16、）不存在一個等差數(shù)列是“”數(shù)列證明：假設(shè)存在等差數(shù)列是“”數(shù)列，則由 得，與矛盾， 所以假設(shè)不成立，即不存在等差數(shù)列為“”數(shù)列 7分（）將數(shù)列按以下方法重新排列：設(shè)為重新排列后所得數(shù)列的前n項和（且），任取大于0的一項作為第一項，則滿足，假設(shè)當(dāng)時，若，則任取大于0的一項作為第n項，可以保證，若，則剩下的項必有0或與異號的一項，否則總和不是1，所以取0或與異號的一項作為第n項，可以保證如果按上述排列后存在成立，那么命題得證；否則，這m個整數(shù)只能取值區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù)，因為區(qū)間內(nèi)的非0整數(shù)至多m-1個，所以必存在，那么從第項到第項之和為，命題得證綜上所述，數(shù)列中必存在若干項之和為0 13分8、解：（

17、）或. 2分.（）； 4分. 6分（）考慮數(shù)列，滿足的數(shù)對的個數(shù)，我們稱之為“順序數(shù)”則等差數(shù)列：的順序數(shù)為，等差數(shù)列：的順序數(shù)為 首先，證明對于一個數(shù)列，經(jīng)過變換，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2實際上，考慮對數(shù)列，交換其相鄰兩段和的位置，變換為數(shù)列.顯然至多有三個數(shù)對位置變化假設(shè)三個數(shù)對的元素都改變順序，使得相應(yīng)的順序數(shù)增加，即由變?yōu)榉謩e將三個不等式相加得與，矛盾所以 經(jīng)過變換，數(shù)列的順序數(shù)至多增加2 其次，第一次和最后一次變換，順序數(shù)均改變1設(shè)的最小值為，則，即 10分最后，說明可以按下列步驟，使得數(shù)列為對數(shù)列，第1次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列：；第2次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列：；第3次交換

18、和位置上的兩段，得到數(shù)列：；，以此類推第次交換和位置上的兩段，得到數(shù)列：；最終再交換和位置上的兩段，即得：所以 的最小值為1008. 13分9、（）1,4,7 3分（）由，得當(dāng)時， 4分當(dāng)時， 5分當(dāng)時， 6分當(dāng)時， 7分 8分（III） 當(dāng)時， 9分由得：因為使得成立的的最大值為，所以 當(dāng)時： 11分當(dāng)時： 12分所以 13分10、11、（）依題意，.則，.則 .6分（）依題意，因為是50項的“對稱數(shù)列”，所以， 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上， .13分12、 13、解: （）由得，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，于是，.當(dāng)時，當(dāng)時，又時，所以，. （）由（）知，所以.所以 (1)等

19、式兩邊同乘以得(2)(1)-(2)得所以.14、解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（II）若數(shù)列：，的位差和E（，）=4，有如下兩種情況：情況一：當(dāng)，且，其他項（其中）時，有種可能；（5分）情況二：當(dāng)分別等于，或，或，其他項（其中）時，有種可能；（7分）綜上，滿足條件的數(shù)列：的個數(shù)為。（8分）例如：時， 情況一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3種：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情況二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3種：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3

20、； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3種：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3種：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（III）將去絕對值符號后，所得結(jié)果為的形式，其中恰好有個數(shù)前面為減號，這表明，（10分）此不等式成立是因為前面為減號的個數(shù)最小為：2個1，2個2，2個和1個。（11分）上面的討論表明，題中所求的數(shù)列是使得E（）最大的數(shù)列，這樣的數(shù)列在時，要求從1，2，中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的個數(shù)的排列作為，的對應(yīng)值，較小的個數(shù)的排列作為，的對應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為。綜上，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為（14分）例如：時，E（）。此不等式成立是因為前面為減號的5個數(shù)最小為：2個1，2個2和1個3。若E（）=12，此時時，要求從1，2，3，4，5中任選一個數(shù)作為，將剩余數(shù)中較大的2個數(shù)的排列作為，的對應(yīng)值，較小的2個數(shù)的排列作為的對應(yīng)值，于是所求數(shù)列的個數(shù)為。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1