初二數(shù)學(xué)培優(yōu)之等腰三角形的判定

1、初二數(shù)學(xué)培優(yōu)之等腰三角形的判定閱讀與思考在學(xué)習(xí)了等腰三角形性質(zhì)與判定后，我們可以對(duì)等腰三角形的判定、證明線段相等的方法作出歸納 總結(jié).1等腰三角形的判定：從定義入手，證明一個(gè)三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等.2 證明線段相等的方法：當(dāng)所證的兩條線段位于兩個(gè)三角形，通過(guò)全等三角形證明；當(dāng)所證的兩條線段位于同一個(gè)三角形，通過(guò)等角對(duì)等邊證明；尋找某條線段，證明所證的兩條線段都與它相等.善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，是解幾何題的一個(gè)常用技 巧常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：平分線 +平行線、平分線+垂線、中線+垂線如圖所示：例題與求解【例1如圖，在 ABC中，

2、AB=7, AC=11 ,點(diǎn) M是BC的中點(diǎn)，AD是/ BAC的平分線，MF / AD，貝U CF的長(zhǎng)為（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解題思路：角平分線+平行線易構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵是利用條件“中點(diǎn)M ”.【例2如圖，在A AC > 2ABC. ACW 2ABCABC中，/ B=2/ C,貝U AC與2AB之間的關(guān)系是（B AC = 2ABD AC V 2AB）（山東省競(jìng)賽試題）解題思路：如何條件/ B=2 / C,如何得到2AB,這是解本題的關(guān)鍵A【例3】?jī)蓚€(gè)全等的含300, 600角的三角板 ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在 一條直線上，連結(jié) BD，取BD中點(diǎn)M

3、，連結(jié)ME , MC,試判斷 EMC的形狀，并說(shuō)明理由.（山東省中考試題）解題思路：從厶ADE BAC出發(fā)，先確定厶ADB的形狀，為判斷厶EMC的形狀奠定基礎(chǔ).D【例4】如圖，已知在厶 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且 BE=AC，延長(zhǎng)BE交 AC 于 F，求證：AF=EF .（天津市競(jìng)賽試題） 解題思路：只需證明/ FAE=Z AEF，利用中線倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形、等腰三角形.【例5】如圖，在等腰厶 ABC中，AB=AC ,Z A=20°，在邊 AB上取點(diǎn)D，使AD=BC，求/ BDC度 數(shù).（“祖沖之杯”競(jìng)賽試題） 解題思路：由條件知底角為30°，這些

4、角并不是特殊角，但它們的差卻為60°, 60°使我們聯(lián)想到等邊三角形，由此找到切入口.如圖1，以BC為邊在 ABC內(nèi)作等邊厶BCO ;如圖，以 AC為邊作等邊 ACE.A圖1能力訓(xùn)練A級(jí)1已知 ABC為等腰三角形，由頂點(diǎn) A所引BC邊的高線恰等于 BC邊長(zhǎng)的一半，則/ BAC =.2.如圖，在Rt ABC中，/ C=90°,/ ABC=66°,A ABC以點(diǎn)C為中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 A'B'C的位置，頂點(diǎn)B在斜邊A B '上，A C與AB相交于D，則/ BDC=.（第2題）（第4題）A(第 3 題)4.如圖，一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是120&

5、#176;，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是那么這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)是 cm .5.如圖， ABC 中，AB=AC,Z B=36°, D、 等腰三角形共有（）A. 3個(gè)C. 5個(gè)E是BC上兩點(diǎn),使/（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）ADE= / AED=2/ BAD，則圖中6.若 ABC的三邊長(zhǎng)是a , b , c ,44且滿足a b,2 2, 4442 2b c , b a c a c ,3.如圖， ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，DE丄BC于E,EF丄AC于F, FD丄AB于D，則AD=（天津市競(jìng)賽試題）1 cm , 9 cm , 9 cm , 5 cm ,44422c a b a b ,則厶 ABC (

6、D .等邊三角形 （“希望杯” 等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長(zhǎng)度的一半，則其頂角等于（300B . 300 或 1500A .鈍角三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形7.A.邀請(qǐng)賽試題）C . 1200 或 1500D . 300 或 1200 或 1500(“希望杯”8.三角形,如圖，已知Rt ABC中，/ 則符合條件的A. 2個(gè)P點(diǎn)有（B . 4個(gè)C=900,/ A=30°,)C. 6個(gè)邀請(qǐng)賽試題） 在直線BC或AC上取一點(diǎn)P,使得 PAB是等腰（江蘇省競(jìng)賽試題）第5題圖第8題圖B第9題圖9. 如圖在等腰 Rt ABC中，/ ACB=90°, D為BC

7、中點(diǎn)，DE丄AB，垂足為E,過(guò)點(diǎn)B作BF / AC 交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連接CF交AD于G.求證：AD丄CF ;連結(jié)AF，度判斷厶ACF的形狀，并說(shuō)明理由.10. 如圖， ABC 中，AD丄 BC 于 D，/ B=2/C,求證：AB+BD=CD .（天津市競(jìng)賽試題）B11. 如圖，已知 ABC是等邊三角形，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn) D，使得 CDE是等邊三 角形，如果 M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，求證： CMN是等邊三角形.（江蘇省競(jìng)賽試題）A12. 如圖1, Rt ABC中，/ ACB=900, CD丄AB,垂足為 D, AF平分/ CAB，交CD于點(diǎn)E,交 CB于點(diǎn)F

8、.圖1C圖2B求證：CE=CF; 將圖1中的 ADE沿AB向右平移到 A'D'E的位置，使點(diǎn)E落在BC邊上，其他條件不變，如圖2所示，試猜想：BE與 CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（山西省中考試題）B級(jí)1 如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC, AB+BD=AC，則/ B:Z C 的值=（第2題）2. 如圖， ABC的兩邊AB、AC的垂直平分線分別交 BC于D、E,若/ BAC+ / DAE=1500,則/BAC的度數(shù)是.3. 在等邊厶ABC所在平面內(nèi)求一點(diǎn) 卩，使厶FAB、 PBC、A PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì) 的點(diǎn)F有個(gè).4.如圖，在 ABC 中，/

9、ABC=60°,/ ACB=45°,AD、CF都是高，相交于P,角平分線BE分別交AD、CF于Q、S,則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（第4題）第5題NM5.如圖，在五邊形ABCDE 中，/ A=Z B=120°,EA=AB=BC =1 DC=1 DE，則/ D=(2 2A . 30°B. 45°C. 60°D . 67.5°（“希望杯”競(jìng)賽試題）6. 如圖，/ MAN =16° , Ai點(diǎn)在AM上，在 AN上取一點(diǎn) A2,使A2Ai=AAi,再在 AM上取一點(diǎn) A3,使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作為止

10、，那么作出的最后一點(diǎn)是（）A . A5B . A6C . A7D . A87. 若PABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且/ APB = Z BPC= / CPA=12°°,則點(diǎn)P叫作 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)， 如圖1 .若點(diǎn)P為銳角 ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，且/ ABC=6°°, FA=3 , PC=4，貝U PB的值為.如圖2，在銳角厶ABC外側(cè)作等邊 ACB；連結(jié) BB求證：BB過(guò)厶ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn) P,且BB =PA+PB+PC.（湖州市中考試題）8 如圖， ABC 中，/ BAC=60°,/ ACB=4O0, P、Q 分別在 BC、AC 上，并且 AP、BQ

11、分別是/ BAC、/ ABC 的角平分線，求證： BQ+AQ=AB+BP.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9.如圖，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，過(guò) M作ME / AD交BA延長(zhǎng)線1于 E,交 AC 于 F，求證：BE = CF= （AB+AC）.2（重慶市競(jìng)賽試題）10.在等邊 ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D ,作/ DAE=60°, DE交/ C的外角平分線于 E,那么 ADE 是什么三角形？證明你的結(jié)論.（學(xué)習(xí)報(bào)公開(kāi)賽試題）11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線I : y1x m與x軸、y軸的正半軸分2別相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)C( 4, 4)作平行于y軸的直線交AB于點(diǎn)D, CD=10 .求直線|的解析式；求證： ABC是等腰直角三角形；y軸分別相交于點(diǎn) A'、B',在直將直線I沿y軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與線CD上存在點(diǎn)P,使得 A'B'P是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(寧波市江東區(qū)模擬題)x12.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中， AOB為等腰直角三