導數(shù)題型總結(解析版)

1、導數(shù)題型總結(解析版)導數(shù)題型總結(解析版)體型一：關于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：(1)對稱軸(重視單調區(qū)間)與定義域的關系(2)端點處和頂點是最值所在其次，分析每種題型的本質，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數(shù)形結合思想”， 創(chuàng)建不等關系求岀取值范圍。注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令F(X)O得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數(shù)的最值

2、問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論(0,二0,0)第二種：變更主元(即關于某字母的一次函數(shù))(已知誰的范圍就把誰作為主元);例1：設函數(shù)y f (x)在區(qū)間D上的導數(shù)為f (x), f (x)在區(qū)間D上的導數(shù)為g(x),若在區(qū)間D上，g(x) 0恒成立，則稱函數(shù)y f (x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實數(shù)m是常數(shù)，Y 4 mx3 3x2f(X)-CC 126 2(1 )若y f (x)在區(qū)間0, 3為“凸函數(shù)”,求m的取值范圍；(2)若對滿足m 2的任何一個實數(shù)m,函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上都為“凸函數(shù)”,求b a的最大解:由函數(shù)f

3、(X)4X123x63x22X3得 f (X)32mx3x2g (x) x2 mx 3(1)Q y f()在區(qū)間o,3上為“凸函數(shù)”則g(x) X2 mx30在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價于gma(x)g(0)030m 2g(3) 09 3m 3 0解法二：分離變量法:當 X 0 時，g(x) X2 mx 330恒成立,當 0x3 時，g(x)2X mx 3X2 3等價于m X 3的最大值X0x3)恒成立,F( 2)0F(2)0再等價于F (m) mx x2例 2:設函數(shù) f (x)1 x 2ax 3ax b (O a 1, b R)3(I)求函數(shù)f ()的單調區(qū)間

4、和極值；2,不等式f（X）3恒成立，求8的取值范圍（n）若對任意的X a l,a（二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）2 2g (X) X 4ax 3a 的對稱軸 X 2a令f (x)0,得f (x)的單調遞增區(qū)間為(a, 3a)令f (x)0,得f (x)的單調遞減區(qū)間為,玄)和(3a,x=a 時*, f (x)極小值二a34當x=3a時,f (x)極大值二b.由f(X)色得：對任意的4ax 3a &恒成立則等價于g (x)這個二次函數(shù)gmax(X) gmin(X) aQOal, a 12a(放縮法)即定義域在對稱軸的右邊，g(x)這個二次函數(shù)的最值問題：單調增函數(shù)的最值問題。2 2g (x) X4ax

5、 3a在a 1, a 2上是增函數(shù)g (x) max g (a 2) 2a 1.g (x) min g (a 1) 4a 4.于是，對任意X a l,a 2,不等式恒成立，等價于g(a 2)g(a 1)Ia,解得 4 a 1.2a 1 a 5XOal,4a 1.5點評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調區(qū)間)與定義域的關系第三種：構造函數(shù)求最值題型特征：f(x) g(x)恒成立h(x) f (x) g(x) 0恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3 :已知函數(shù)f(x) X3 QX?圖象上一點P(Ib)處的切線斜率為3,3 t 62g(x) XX (t I)X 3 (t 0)2()求Eb的

6、值;(n)當X 1,4時,求f(x)的值域;(川)當X 1,4時，不等式f(x) g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。解： F(X)2ax f/解得*b(n)由(i)知,f()在1,0上單調遞增，在0, 2上單調遞減，在2, 4上單調遞減又 f(1)4, f(0)0, f(2)4, f (4)16f (x)的值域是4, 16_(川)令 h(x) f (X) g(x)-X2 (t 1)x 3 X 1,42思路1 :要使f(x)2q(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x 2x) 2x 6分離變重思路2 :二次函數(shù)區(qū)間最值二、參數(shù)問題題型一：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性求參數(shù)的范解法1：轉化為F(

7、X) 0或f x) 0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎題型 解法2:利用子區(qū)間(即子集思想)；首先求出函數(shù)的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；a, b),要弄清楚兩句話的區(qū)別:做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調減區(qū)間是( 前者是后者的子集1 3 a 1 2例 4:已知 a R,函數(shù) f(x) xX (4a I)X .12 2(I)如果函數(shù)g(x) f (x)是偶函數(shù)，求f (x)的極大值和極小值;(n)如果函數(shù)f (X)是()上的單調函數(shù)求a的取值范圍.1 2解:f(X)-X31 2 例 5、已知函數(shù) f (x) -X -(2 a) X (1 a)X(a

8、 O). 2(D求f(x)的單調區(qū)間;(II )若f (x)在O, 1上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想 f(X)X (2 a)x 1 a (X 1) (X 1*)1、當 a O 時,f (x) (X I)2O 恒成立，當且僅當X 1時取“二”號， f(x)在(,)單調遞增。2、當 a O 時，由 f (x) 0,得 Xi 1,X2 a 1,且 X1X2, (a 1 )x(4a1).此時f()13 3x , f(X)X124(i)v f (X)是偶函數(shù)，a 1.今f (X) O，鯉得：X 2、3 列表如下：X(-8,- 2 品)-243(-2J3 ,2 73)2yf3(21/3, + 8)f

9、(X)+OO+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增可知：f (x)的極大值為 f ( 2 3)4 3,f(x)的極小值為f(2.3)4 3- f (x) x (a4則G D2I)X (4 a 1) O ,在給定區(qū)間R上恒成立判別式法41$ a21) a 2a O,解得：O a 2.綜上，a的取值范Rl是a a2.(n) V函數(shù)f (x)是()上的單調函數(shù),:(11A/亍單調增區(qū)間：(1,a1)則0,1是上述增區(qū)間的子_/a 1(II )當Qf(X)在0,1上單調遞增隹1、a 0 時，f (X)在()單調遞增符合題意2、0, 1 a 1, a 1 0綜上，a的取值范圍是0, 1。三、題型二：根的個數(shù)

10、問題題1函數(shù)f()與g()(或與X軸)的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組)；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式(組)即可；例6、已知函數(shù)f (x) X3 k 2, g(x) 1 kx,且f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù).323(1) 求實數(shù)k的取值范圍；(2) 若函數(shù)f (x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù) k的取值范圍.解：由題意f (x) X2 (k I)X / f(x)在區(qū)間(2,)為增函數(shù)，f

11、 (X) X2(k I)X 0 在區(qū)間(2,)上恒成立(分離變量法)即k1 X恒成立，又X 2 , k 12,故k1k的取值范圍為k1(2)設 h(x) f (X)g(x)kxh(x)2 (k I)X k(X k) (X 1)令h (x)0得Xk或X1 由，(1 )知 k 1 ,當k 1時，h (x) (X D2 0 , h(x)在R上遞增，顯然不合題意當k 1時，h(x), h (x)隨X的變化情況如下表:0,即(k1)(k2 2k 2)3k 10Ck2 2k 2 0,解得k 1,3X(,k)k(k, 1)1(1,)h(x)00h(x)/極人值k3k21623極小值k 12/k 1由于0,欲

12、使f (x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，即方程h (x) 0有三個不同的實根， 故2綜上，所求k的取值范圍為k 1,3根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。1例7、已知函數(shù)f(x) a3X2 2x C2(1) 若X 1是f (x)的極值點且f (x)的圖像過原點，求f (x)的極值；1 2(2) 若g(x) bx X d,在(1)的條件下，是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f (x)的2圖像恒有含X 1的三個不同交點？若存在,解：(I)V f(x)的圖像過原點，貝Uf (0)又T X 1是f(x)的極値點，貝U f ( 1)0C 0f (x) 3axX2 ,3 a1 2 0a132X

13、 2(3x 2) (X 1)0f(3占占2221)f林小值00f()“9Q7求出實數(shù) b的取值范圍；否則說明理由。(2)設函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù)f (x)的圖像恒存在含X1的三個不同交點,1尹312 C 1,21x x 2x bxX (b2 2 2即：x3 (b Dx2 X 12-(b 1)2(計算難點來了： )h(x)I31X (b 則h (x)必可分解為(X1)(二決式)1)整理得：O恒有含X 1的三個不等實根l)x XJ (b D O有含X I的根2Kb2I)X Xb21)1)2 3m 31.210) (1)求 f (X)的單調區(qū)間；(2)令 g(x)二-X4+ f (X) 3 a 1

14、 O例9、已知函數(shù)f (x) X X , (a R, a3 2(Xe R)有且僅有3個極值點，求8的取值范圍.解： f (x) ax2 X X (ax 1)當a 0時，令f, (x)解得X1，丄X 0,3XXZ,/ZXX -TT /Ltaa所以f(x)的遞增區(qū)間為(,丄)(0,1Zaa當Q 0時，同理可得1Z/1 )C ()aa1a1(2) 4xl ax3 2吃有且僅有3個極值點3222g (x) XaXXX(XaX1)二0 有 3個根，則X 0或XaXI0 , a 2方程F ax 1 0有兩個非零實根，所以a2 4 0,而當a 2或a 2時可證函數(shù)y g(x)有且僅有3個極值點其它例題:1、

15、(最值問題與主元變更法的例子)已知定義在R上的函數(shù)f(x) ax3 2ax2 b (a 0)在區(qū)間2, 1 上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(n)若t 1,1時，f (x) tx 0恒成立，求實數(shù)X的取值范圍.解：(I) Q f (x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax (3x 4)4令 f (x)二0,得人 OX 2, 13因為a 0,所以可得下表:X2,0O0,1f,(X)+Of(x)/極人因此 f (O)必為最大值， f (0 5 因此 b 5 , Qf( 2) 163 5,f(l) a 5, f(l) f( 2),即 f (2)1

16、6a 511 , a 1 , f (x) x3 2x 5.2 2(n) V f (x) 3x 4x ,. f (x) tx O 等價于 3x 4x tx O,2令g(t) Xt 3x 4x,則問題就是g(t) O在t 1, 1恒成立時，求實數(shù)X的取值范圍,為此只需S,即篤x ,g (1) OX2 X O解得O X 1,所以所求實數(shù)X的取值范圍是0 , 1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)2(1)已知函數(shù) f(x) X3 a2 bx C3(0,1)處的切線與直線3x y O平行,求(I )若函數(shù)f(x)在X 1時有極值且在函數(shù)圖象上的點f ()的解析式;a 1)所在平面(n )當f (x)在X (0

17、,1)取得極大值且在X (1, 2)取得極小值時,設點M(b 2,區(qū)域為S,經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分,求直線L的方程.解：(I ).由f (x) 2x 2ax b ,函數(shù)f (x)在X 1時有極值,2a b 2 Of(O)1 C 1又彳仗)在(0,1)處的切線與直線3xy 0平行,231X2 3Xf(X)3x(n)解法一：由f(X)2ax bf(X)在 Xf (0)f (1)2af(2)4 af (0) b(0, 1)取得極大值且在X (12)取得極小值,令 M(x, y),貝IJ2y故點M所在平面區(qū)域S為如圖 ABC,4y易得 A( 2,0),B( 2,1)2),D(0

18、,1) E(O 2)S ABC同時DE ABC的中位線，SDEC四邊形ABED3所求一條直線L的方程為：X 0另一種情況設不垂直于X軸的直線L也將S分為面積比為AC, BC 分別交于F、G,則k 0, S四邊形DEGF 1y kx2yy kx4y得點F的橫坐標為XF2k 1得點G的橫坐標為4k 11:3的兩部分，設直線L方程為y kx ,它與S四邊形DEGFOGE2 4k 12I 11 即 16k22k52k解得：k(舍去故這時直線方程為綜上，所求直線方程為:(n)解法由f ()2x22ax b及f(X)在(0,1)取得極大值且在X (1,2)取得極小值f0b 0Xb2f0即2a b20令 M

19、(x, y),則a1f(2)04a b80yX 20a y 1X 20b X 22y故點M所在平面區(qū)域6力如囹 Ab4yX 60易得A( 2,0),B( 2,1),C (2,2),3D(0，1),E(0.-) SABC2同時DE ABC的中位線,S DEC 3S四邊形ABED所求一條直線L的方程為：X0另一種情況由于直線BO方程為yx,設直線BO與AC交于H ,-S ABC1 -Xy 2x22y得直線與AC交點為：H(SDECSABHSABOA 0S1OH2 1O(OrI)A1, I)所求直線方程為0(i)由圖可知函數(shù)f ( X )的圖像過點(0,3 ),且f 1二0d 3得3a 2b c 3

20、a 2b 0(n)依題意f 2 = -3 且 f(2)二 5612a 4b 3a 2b 38a 4b 6a 4b 3 5 解得所以 f ( X )二 x -6j + 9x + 3(川)依題意 f ( X )二 ax + bx -( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 ) f X - 3ax + 2bx 3a 2b 由 f 5 二 Ob 二-9aV 8a V f ( 1 )(2)若方程f ( X ) = 8a有三個不同的根，當且僅當滿足f ( 5 )1V av 311由得 -25& + 3v 8av 7a + 31所以當一 V a V 3時，方程f (X)= 8a有二個不同的根。114、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)f (x) 3 ax X 1 (a312分R)求Q的值及f()的單調區(qū)間;Ca1,討論曲線心與如-X-(2 a I)X22 X 1)的交點個數(shù).解：2f (x) X 2ax 1(1)若函數(shù)f (x)在X X1, X X2