保險(xiǎn)精算例題

1、保險(xiǎn)精算例題第二章【例 2.1】 某人 1997年 1月 1日借款 1000元，假設(shè)借款年利率為 5% ，試分別以單利和復(fù)利計(jì)算：（1）如果 1999年 1月 1日還款，需要的還款總額為多少？（2）如果 1997年 5月 20日還款，需要的還款總額為多少？（ 3）借款多長時(shí)間后需要還款 1200 元。 解：（1）1997年 1月 1日到 1999年 1月 1日為 2年。 在單利下，還款總額為：A（2）=A（0）（1+2i）=1000 （1×+2 ×5%）=1100（元） 在復(fù)利下，還款總額為：A（2）=A（0）（1+i）2 =1000×（1+5%）2=1102.5

2、（元）（2）從 1997年 1月 1日到 1997年 5月 20日為 140天，計(jì)息天數(shù)為 139 天。在單利下，還款總額為：139 1000×（1+ 365 ×5%） =1019.04（元） 在復(fù)利下，還款總額為：1391000（× 1+5%）365 =1018.75（元） （4）設(shè)借款 t 年后需要還款 1200 元。 在單利下，有1200=1000×（1+0.05t）可得：在復(fù)利下，有1200=1000×(1+0.05)t可得：t 3.74（年）【例 2.2】以 1000元本金進(jìn)行 5年投資，前 2 年的利率為 5%，后 年的利率為 6%

3、 ，以單利和復(fù)利分別計(jì)算 5 年后的累積資金。 解：在單利下，有A(5)=1000 ×(1+2 ×5%+3×6%)=12800(元)在復(fù)利下，有A(5)+1000 ×(1+5%)2 ×(1+6%)3=13130.95(元 )【例 2.3】計(jì)算 1998年 1月 1日 1000元在復(fù)利貼現(xiàn)率為 5%下 199 年 1 月 1 日的現(xiàn)值及年利率。解：（1）1995年 1月 1日的現(xiàn)值為：1000×（1-0.05） 3=857.38（元）（2）年利率為：di=1-d=0.05=0.95=0.053例 2.4】1998 年 8 月 1 日某投

4、資資金的價(jià)值為 14000 元，計(jì)算：1）在年利息率為 6%時(shí)，以復(fù)利計(jì)算，這筆資金在 1996年 8月 1日的現(xiàn)值2）在利率貼現(xiàn)率為 6%時(shí)，這筆資金在 1996年 8月 1 日的現(xiàn)值 解：（1）以知利率時(shí)，用折現(xiàn)系數(shù)計(jì)算現(xiàn)值， 14000元 2 年前的現(xiàn)值為：114000×（ 1.06 ） 2=12459.95（元）3）用貼現(xiàn)率計(jì)算現(xiàn)值， 14000元 2 年前的現(xiàn)值為：14000×（1-0.06）2=12370.4（元）6%年實(shí)際利率下一年不同結(jié)算次數(shù)的名義年貼現(xiàn)率m1234612d（m0.05660.057430.057710.057850.057990.05813

5、0.0582）0【例 2.5】某人以每月 3%的利率從銀行貸款 1000 元，那么在復(fù)利計(jì) 息下， 3 年后他欠銀行都少錢？解：3%是月結(jié)利率， 3 年后的累積欠款額可以直接按 36個(gè)月的復(fù)利 計(jì)算本息，有1000×（ 1.03） 36=2898.28（元）故三個(gè)月后他欠款 2898.28 元?！纠?2.6】（1）求每月結(jié)算的年利率為 12% 的實(shí)際利率。（2）求每月結(jié) 算的年貼現(xiàn)率為 10% 的實(shí)際貼現(xiàn)率。（3）求相當(dāng)于每月結(jié)算的年利 率為 12% 的半年結(jié)算的貼現(xiàn)率。解：（1）實(shí)際利率為：（m）i=（1+i ）m1m12%1+ 12121=12.68%故實(shí)際利率為 12.68%2

6、）實(shí)際貼現(xiàn)率為：d=1（1(m) d ) m m=1(110% 44 ) 4=9.63%因此，實(shí)際貼現(xiàn)率為 9.63%。（3）由（ 1+i）-1=1d，有（ m）（ n）（1+i ）-m =（1 d ）nmn（1+1122% ）-12=（1 d（22）2（ ） 12%d（2）=2×1 （1+ 12 ）-6=11.59%【例 2.7 】某人從銀行借款 4000元，這筆借款的利息每年結(jié)算 4 次， 年利率為 16%。那么，他在借款 21 個(gè)月后欠銀行的歀為多少？ 解：年利率為 16%，每年結(jié)算 4次，也就是每 3 個(gè)月結(jié)算一次，每次 結(jié)算的利息率為 4%（16%/4=4%），21個(gè)月共結(jié)

7、算 7 次（ 21/7=7 ）。這 樣， 4000元本金在結(jié)算 7 次后的本利和為：4000×（ 1+4%）7=5263.73 （元）值得注意的是，在單利下，由于利率只在本金上計(jì)量，故沒有名 義利率和實(shí)際利率的區(qū)別。例 2.8 】某人在 1998 年 7 月 22 日貸款 4000 元，如果利息力是 14%，在復(fù)利下，試求解以下問題：（1）貸款額在 2003年 7 月 22日的價(jià)值。（2）年利率 i 。（3） 名義利率 i（12） 解：（1）如果一致年利率 i，4000元貸款額在 2003年 7月 22日的值 為 4000（ 1+i）5。有公式（ 2.20），利息力與利率有如下關(guān)系：

8、e&=1+i從而5 0.74000×（ 1+i ）5=4000×e0.7 =8055.01 （元）（2）由（1+i）= e 0.14，的年利率為：i= e 0.14 1=0.15027（3）由（ 2.14a ）式和（ 2.20 ）式，有（12）（1+i ）12=1+i= e0.1412i12=12×（ e0.14/12 1）=0.14082【例 2.9 】某人以每半年結(jié)算一次的年利率 6%借款 50000元，兩年后 他還了 30000元，又過了 3年再還了 20000元，求 7年后的欠款額為 多少？解：設(shè)他在 7 年后的欠款額為 X，有X=50000

9、15;1.03 1430000×1.03 1020000×1.034=12801.82（元） 【例 2.10 】某人在 1995年 1月 1 日存入銀行 8000元，兩年后又存 入 6000 元， 2001年 1 月 1 日取出 12000元。如果利率為 5%，計(jì)算2004年 1月 1日其賬戶上的余額。解：依題意X=8000 ×1.059+6000×1.05712000×1.05 3=6961.73 （元）【例 2.11 】某人在 1996年 1月 1日存款 4000元，在 2000年 1月 1 日存款 6000元， 2003年 1月 1日存款

10、 5000元。如果年利率為 7%， 計(jì)算在 2002年 1月 1日賬戶中的存款總額。解： X=4000 ×1.07 6+6000×1.07 2+5000×1.07 （-1）=17545.22 （元）故在 2002年 1月 1日，賬戶存款總額為 17545.22 元.【例 2.12 】某人 1995年 1月 1日在其銀行賬戶上存款 2000元，1998 年 1 月 1 日存款 3000 元，如果之后沒有存取項(xiàng)，年月日的賬戶余額 為 7100 元，計(jì)算實(shí)際利率。解：2000（1+i）5+3000（1+i）2=7100由f（i）=2000（1+i）5+3000（1+i）

11、27100=0i=0.11+ 11.71 × 0.001=0.1115310.22 （ -11.71）【例 2.13 】某人從銀行貸款 20 萬元用于購買住房，規(guī)定的還款期是 30 年。假設(shè)貸款利率為 5%，如果從貸款第 2 年開始每年等額還款， 求每年需要的還款數(shù)額。解：設(shè)每年需要的還款額為 X, 根據(jù)題意，有 由于貸款和還款在零時(shí)刻的現(xiàn)值是相等的，有200000=Xa30X=20000300i =13010.29 (元)1 v30率為 6%，第一次年金額領(lǐng)取從購買時(shí)開始，試計(jì)算每年可以領(lǐng)取的a15 =20002000 2000d . =1 15a15 1 vi例 2.14 】某人

12、用 2000 元一次性購買了 15 年確定年金，假設(shè)年利數(shù)額。 解：XX=由于d=1+i =0.0566故X=194.27（元）【例 2.15】某人在 30 歲時(shí)計(jì)劃每年初存入 300 元建立個(gè)人賬戶，如果他 60 歲退休，存款年利率假設(shè)恒定為 3%。（ 1）求退休時(shí)個(gè)人賬戶的累積額。（2） 如果個(gè)人賬戶累積額在退休后以固定年金的方式在 20 年內(nèi)每 年領(lǐng)取一次，求每年可以領(lǐng)取的數(shù)額。解：（1）退休時(shí)個(gè)人賬戶累積額是 30 年定期的年金終值：300 s30 =X a240240 240. =1 a240 =v240=1 (1/1.002466)240 =181.7144d0.002466 /1

13、.002466X=81.03（元）例 2.17】某人貸款 50000元購買汽車，從貸款后第 9 個(gè)月開始在 5 年中每月還款，利率為 6% ，求每月的還款額。解：月利率 j 為：（1+j ） 12=1.06j=0.004868在第 8 個(gè)月，有X a60 =50000（1+j）8X=1001.0921（元）設(shè)每月可以領(lǐng)取到的數(shù)額為 x 元，則有300 s30 =12x a（2102）根據(jù)名義貼現(xiàn)率的計(jì)算公式，可得： d（12）=121-（1+i）-1/12=0.029522426.（.12） 1 20a（2102）=1dv（12） =15.11814259X= 14700.80 =81.03（

14、元）12 15.11814259因而每月可以領(lǐng)取的年僅為 81.03 元。【例 2.18】某年金每年付款 1 次，連續(xù)付款 10 年，年利率為 5%， 年給付額為：第 1年末支付 100元，第 2年末直至第 9年末每次支付 200元，第 10年末支付 100元，計(jì)算 t=0 時(shí)這些付款的現(xiàn)值。 解：依題意，有現(xiàn)值 =100 a9 +100 a9 × v=100 a9 （1+v） =1387.72（元） 【例 2.19】若存入銀行 10 萬元，建立一項(xiàng)永續(xù)獎(jiǎng)勵(lì)基金，從第一年 后開始支取年金，設(shè)利率為 4% ，求每年可以提取的最大數(shù)額。 解：設(shè)每年可以提取的最大數(shù)額為 x，則100000

15、=xa = xX=4000（元）【例 2.20】某年金第 1 年末收付 1000 元，以后每隔一年收付額比前1 年增加 100 元，共收付 10 年。若年利率為 5% ，求第 10 年末的年 金總值。解：這一變額年金可以分解為每年 900元的 10 年定額年金和 100元 的 10 年等差遞增年金。因此，第 10 年末的年金終值為：900 s10 +10（0 Is）1010 .=900× （1 i） 1 +100× s10 10ii=17733.68 （元）【例 2.21】我國城鎮(zhèn)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)采取社會(huì)統(tǒng)籌與個(gè)人賬戶相結(jié) 合的方式，個(gè)人賬戶以個(gè)人繳費(fèi)工資的 8% 計(jì)入。如

16、果某職工從 20 歲參加個(gè)人賬戶保險(xiǎn)，當(dāng)年工資為 6000 元，工資年增長為 2% ，個(gè) 人賬戶的累積利率為 4% 。求在他 60 歲退休時(shí)，個(gè)人賬戶的累積額。 解：個(gè)人賬戶在 20 歲時(shí)的現(xiàn)值為：2 2 39 396000×0.08 ×（ 1+1.02v+1.02 2v2+1.02 39v39）40=480× 1（1.02 v） =13480.63 （元）1 1.02v在 60 歲時(shí)的累積額為：13480.63 ×1.04 40=64720.78 （元） 【例 2.22】在例 2.21 中，如果個(gè)人賬戶累積利率在剛參加個(gè)人賬戶 的前 10 年內(nèi)為 4%

17、 ，退休前的 10 年內(nèi)為 4%，退休前的 10 年內(nèi)為 2%，中間 20年為 3% ，求這時(shí)個(gè)人賬戶在退休時(shí)的累積額。 解：在職工 20 歲至 29歲間，個(gè)人賬戶在 20 歲的現(xiàn)值為：10480× 1（1.02/1.04 ） =4405.216554 （元）1 1.02 /1.04在職工 30 歲至 49 歲間，個(gè)人賬戶在 20歲的現(xiàn)值為：20480 ×1.02 20 × 1（1.02/1.03 ） ×1 1.02/1.03101）=7217.296894（元）1.04在職工 30 歲至 49 歲間，個(gè)人賬戶在 20歲的現(xiàn)值為：20 10480

18、5;1.02 30×10×（ 1 ）×（ 1 ）=3252.134534（元）1.03 1.04個(gè)人賬戶在 60 歲時(shí)的累積值為：10 20 （4405.216554+7217.296894+3252.134534 ）× 1.04 10×1.03 20×1.02 10=48475.95 （元）【例 2.23 】一項(xiàng)永續(xù)年金，第 1 年末付 1000 元，弟 2 年末付 2000 元，以后各年每年增加 1000 元，直到年付 15000元后，支付水平保 持在每年 15000元的水平上不變， 并一直繼續(xù)下去。在利率水平 7.5% 下，計(jì)算

19、此年金的現(xiàn)值。解：這一年金可以分解為一個(gè)遞增確定的年金和一個(gè)永續(xù)年金， 年金 現(xiàn)值為，PV=100015000Ia）15 + i×v151 . 15 15= i ×1000 （ a15 -15v 15）+15000v15=126522.1 （元）【例 2.24 】設(shè) A向 B借款 20000元，期限為 5年，年實(shí)際利率為 6%，A在每年末以等額分期方式償還貸款。試計(jì)算：（1） 每年末應(yīng)償還的金額。（ 2）各年末的未償還本金金額。（3） 每年末償還金額中利息和本金金額解：依公式（ 2.40），有R=B0 =4747.93（元） ani時(shí)期每年末償還金額支付 利息償還 本金年末

20、未償還貸款余額020000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180【例 2.25】某人用 10 年分期還款的方式償還一筆 50000 元的貸款， 假設(shè)他在 10 年內(nèi)每半年還款一次，每半年結(jié)算的年利率為 13%，從 貸款 6 個(gè)月后開始第 1次還款。求第 6 年末尚未還清的貸款余額。 解：設(shè)未來每次還款額為 P，10年內(nèi)每半年一次的還款意味著 20 個(gè) 半年

21、的還款，半年結(jié)算的利率為 6.5% （13%/2=6.5% ） 由于貸款開始時(shí)刻的貸款額與還款額的現(xiàn)值相等，有 50000=Pa20 0.065所以P=4537.82（元）第 6年末尚未還清的貸款余額等于最后 8 個(gè)半年內(nèi)需要定期償還的貸 款的現(xiàn)值。Pa80.065=27629.75（元）【例 2.27】某筆 7000 元的貸款，用每年末償還 1000 元及最后一次償 付剩余不足 1000 元的方式還款。假定年利率為 10% ，第一次付款再 貸款一年后。計(jì)算第 9 次付款后剩余的本金。解：如果用未來計(jì)算， 需要先計(jì)算出還款的期限和最后一次還款的數(shù) 額。在 10%利率下，未來 12 年每年 10

22、00元的年金現(xiàn)值為： 1000a12 0.1 =6813.692（元）設(shè)第 13 次不足 1000 元的還款額為 x，有7000=6813.692+xv13X=643.1864（元）從而，第 9 次付款后剩余的本金為：1000a3 0.1 +643.186v4=2926.16（元）例 2.28】某人從銀行獲得一筆貸款， 期限為 10 年，貸款利率為 5% ， 他采用變額分期償還法償還貸款，其中每年末的償還金額分別為20000元， 19000元， 18000元， ，試計(jì)算：（1） 貸款原始本金。（2）第 5年所償還的本金和利息。 解：（1）貸款本金等于分期償還額的現(xiàn)值：B0=10000×

23、;a100.05+10000×（Da）100.05=122782.65（元） （2）按將來法，第 4 年末的未償還本金余額為：B4=10000×a60.05+10000×（Da）60.05=69243.08（元）第 5 年償還的利息為：I5=i B 4=3462（元）第 5 年的償還額為：R5=16000（元）故第 5 年償還的本金額為：P5=R 5-I 5=12538（元）【例 2.29】一筆金額為 10000元的貸款，年利率 10%，期限為 8 年， 每年末償還一次，每次的償還額以 30% 的速度遞增，試計(jì)算前 3 年 每年償還的本金和利息各是多少？ 解：這里

24、的償還金額按幾何級(jí)數(shù)增長，設(shè)第一年的償還金額為R1，81（1.3）810000= R1× 1.1 =14.027 R10.1 0.3R1=712.90（元）這時(shí)，應(yīng)償還的利息大于償還的總金額， 償還金額不足利息支付的部 分為：P 1=R1-I 1=-287.10 （元）這樣， 1 年后的未償還本金余額增加為：B 1= B0- P 1=10287.10 （元）第 2 年的各項(xiàng)余額分別為：R2=926.77（元）I2=1028.71（元）P2=-101.94（元）B2=10389.04（元）【例 2.30】在例 2.24中，假設(shè) A 以等額償債基金方式償還貸款，償 債基金利率也為 6%

25、，其他條件不變，試構(gòu)造償債基金表。 解：本例中， i=j=0.06 ，A 每期向償債基金儲(chǔ)蓄 D，則D= B0 =3547.93（元）sn j此外，A 還要向 B 支付當(dāng)期利息 I：I=i B 0=20000×0.06=1200 （元）所以每期支付金額合計(jì)為：R=D+I=4747.93 （元）【例 2.31 】假設(shè)例 2.28 中的其他條件不變， 貸款利率變?yōu)?6%，借款 人通過利率為 5%的償債基金來償還貸款，求貸款本金總額。 解：以公式（ 2.51 ），有B0=k=1R（k 1+j）1（i-j）anj=113982（元）【例 2.32】一筆貸款的期限為 4 年，年實(shí)際利率為 12

26、% ，借款人用 償債基金法償還貸款，償債基金利率為 8% ，借款人每年末支付的總 金額依次為 1000元， 1000 元， 10000 元， 10000元，試計(jì)算貸款本 金為多少？解：令原始貸款本金為 B0，則每年應(yīng)支付的利息金額為 0.12 B0，則 各期向償債基金儲(chǔ)蓄的金額分別為1000-0.12 B0， 1000-0.12 B0，10000-0.12 B0，10000-0.12 B0。他們?cè)谶€款期末的累計(jì)額正是初始的 貸款額：B0=（1000-0.12 B0） s4 0.08 +9000s2 0.08=15075（元）【例 2.33】債券的面值為 1000元，年息票率為 5% ，期限為

27、6 年， 到期按面值償還，投資者要求的年收益率為 5.5% ，試計(jì)算債券購買 價(jià)格。解： F=C=1000r=g=0.05i=0.055p=50 a6 0.055 +1000/1.0556=975.02（元）【例 2.34】假設(shè)兩種債券的面值都為 1000 元，而且期限相同，收益 率都為 5% 。其中一種債券的價(jià)格為 1136.78元，年息票率為 2.5%， 另一種債券的價(jià)格為 P，年息票率為 1.25% ，試計(jì)算 P。解：由 Makeham 公式，有P1=K+0.0250.02× (1000-K)=1136.78( 元)K=452.88（元）故0.0125P=K+ 0.02 

28、15; （1000-K）=794.83 （元）【例 2.35 】某債券面值為 1000 元，名義年息率為 9%，半年支付一次， 期限為 10 年，前 5 年每半年收益率為 4%，后 5年每半年收益率為 5%， 計(jì)算債券價(jià)值。解：依題意，有前 5 年的息票在零時(shí)刻的現(xiàn)值為：45a100.04=364.99（元）零時(shí)刻剩余 10 個(gè)息票的現(xiàn)值為：45a10 0.05 ×1.04 -10=234.74（ 元）零食可贖回債券的現(xiàn)值為：1000（1.04）-10（1.05 ） -10 =414.73 （元） 債券價(jià)值為以上三者之和，即364.99+234.74+414.73=1014.46 （

29、元）【例 2.36 】試計(jì)算例 2.33 中第三個(gè)息票支付其的賬面值增加額。 解：B3-B2= C1+（g- i ）a3i -C1+（g-i） a4i =4.04 （元） 【例 2.37 】某 5年期債券面值為 1000元，名義息票率 8%，沒半年支 付一次，每半年結(jié)算的名義收益率為 7.5%，計(jì)算支付第 6 次息票是 賬面價(jià)值的變化。解：支付第 5 次息票后的賬面價(jià)值為：B 5=4050.0375+1000×（1.0375）-5=1011.21（元）支付第 6 次息票后的賬面價(jià)值為：B6=4040.0375 +1000×（1.0375）-4=1009.13（元）故支付第

30、6 次息票是賬面價(jià)值的變化為：B 5-B 6=2.08 （元）【例 2.38 】3 年期債券面值 1000元，名義息票率 6%，沒半年支付一 次，每半年結(jié)算的名義收益率為 8%，試計(jì)算：（1）支付第 2 次息票時(shí)，賬面價(jià)值中包含的利息是都少？（2）支付第 3 次息票是，賬面價(jià)值變是多少？（ 3）建立債券分期付款計(jì)劃表。解:（1） F=C=1000r=0.03i=0.04支付第 2 次息票后的賬面價(jià)值為：B2=30 a4 0.04 +1000×（ 1.04）-4=963.70（元） 利息為：B2× 0.04=38.55 （元）2）賬面價(jià)值的改變是第 2次，第 3 次賬面價(jià)值之

31、差，為：B3-B2=8.55（元）【例 2.39】某 5年期的債券面值為 1000元，每半年支付 1 次的息票 為 60元，每半年結(jié)算的名義收益率為 8% 。如果在購買 2年 2 個(gè)月 后，債券以其當(dāng)時(shí)賬面幾個(gè)賣出，試用理論法計(jì)算賬面價(jià)值。解：F=1000n=10Fr=60i=4%k=4t=13 第 2 年末的賬面價(jià)值是：B4= Fr an k i +Cv n-k =1104.84（元）2年 2月后，用理論法計(jì)算賬面價(jià)值得：Bk-1+t =Bk-1（1+i）t=1119.38（元）【例 2.40】設(shè)債券面值為 2000 元，年息票率為 8% ，投資者要求的 年收益為 12% ，期限為 3 年，

32、到期按面值償還，試計(jì)算債券在各季 度末的價(jià)格和賬面值。解：根據(jù)公式，有P0=B0=C1+ （g-i ） an =1807.85（元）P0.25= P0（ 1+i）0.25=1859.81（元）按理論法：FrB0.25= P0（1+i ）0.25- i ×（1+i ）0.25-1=1821.49（元）按半理論法：B0.25= P0（1+i） 0.25-0.25Fr=1819.81（元）按實(shí)踐方法：B0.25= P0（ 1+0.25i） -0.25Fr=1822.09（元）第五章【例 5.1】某人在 40歲時(shí)投保了 3年期 10000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在 死亡年年末賠付。以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)

33、經(jīng)驗(yàn)生命表（ 1990-1993）（男女 混合）和利率 5% ，計(jì)算躉繳凈保費(fèi)。解：躉繳凈保費(fèi)為：1 2 310000 A140:3 =10000（v× q40 + v2 × p40×q41+v3× 2 p40×q42）=（1 0.001650） （1 0.001812） 0.001993 =31.053=49.28（元）【例 5.2】張某在 50 歲時(shí)投保了一份保額 100000元的 30 年定期壽 險(xiǎn)。假設(shè) lx =1000（1- 1x05 ），預(yù)定利率為 0.08，求該保單的躉繳凈 保費(fèi)。解：該生命表的最大年齡是 105 歲，所以 t 的

34、取值范圍是 0 到 55，所求的賠付現(xiàn)值是：1100000 A 50:3029100000 1.08t0(t 1)t p50q 50 tl 50 t t p5050 tl 5055 t55q50 t 155 t (54 t) p50 t55 t155 t故，該保單的躉繳凈保費(fèi)是：1100000 A 50:3029100000 1.08t0(t 1)55 t 155 55 t=20468.70(元)【例 5.3】假設(shè)例 5.2 中張某 50 歲時(shí)購買的是保額為 100000 元的終 身壽險(xiǎn)。已知 l x 1000(1 1x05)，預(yù)定利率為 0.08，求該保單的躉繳凈 保費(fèi)。解：55(t 1)1

35、00000A50 100000 1.08 (t 1) t p50 q50 1t0= 100000 1= 55 1.0811.085611.08=22421.91(元)例 5.4】某人在 40歲時(shí)買了保險(xiǎn)額為 20000元的終身壽險(xiǎn)， 假設(shè)他的生存函數(shù)可以表示為 s(x) 1 10x5，死亡賠付在死亡年年末， i=10% ， 求這一保單的精算現(xiàn)值。解：由s(x)1 105t p 40s(40 t) 65 ts(40)65q 1 p1q40 t 1 p40 t 65 t保單精算現(xiàn)值為：t120000A40 20000t 0vt 1 tpx qx t由生存函數(shù)可以看出t p40 0 t 65因此t1

36、64 1 65 t 120000A40 20000t 0(11.1) 6565t 651 t=3070.65(元)【例 5.5】在例 5.2中，假設(shè) 50 歲的張某購買的是一份 30年的兩全保險(xiǎn)，死亡年年末給付， 保額為 100000 元，求該保單的躉繳凈保費(fèi)。解： 100000A50:30 100000A150:30 100000A50:13030= 20468.70 100000 (1.08) 30 p50=24985.85(元)【例 5.6】某人在 40 歲時(shí)投保了一份壽險(xiǎn)保單， 死亡年年末賠付。 如果在 40 歲到 65 歲之間死亡，保險(xiǎn)公司賠付 50000元；在 65 歲到 75 歲

37、之間死亡，受益人可領(lǐng)取 100000元的保險(xiǎn)金；在 75 歲之后死亡， 保險(xiǎn)金為 30000 元。利用轉(zhuǎn)換函數(shù)寫出保單精算的表達(dá)式。 解：這份保單可以分解成一份 50000元的 25 年定期壽險(xiǎn)、一份 100000元的延期 25 年的 10年定期壽險(xiǎn)與一份 30000元延期 35 年的終身壽 險(xiǎn)的組合。這樣，這份保單的精算現(xiàn)值可以表示為：50000(M 40 M 60) 100000(M 65 M 75) 30000M 75D 40化簡(jiǎn)得：50000M 40 50000M 65 70000M 75D 40例 5.7】對(duì)（x ）的一份 3 年期變額壽險(xiǎn)，各年的死亡賠付額和死亡概率如下表所示：Kb

38、k+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06假設(shè)預(yù)定利率為 6% ，計(jì)算這一保單的精算現(xiàn)值。解:依題意，這一保單的精算現(xiàn)值為：23300000v qx 350000v px qx 1 400000v 2px qx 2=36829（元）例 5.8】某人在 30 歲投保，假設(shè)生存函數(shù)在 0 到 100 間均勻分布， z 為死亡賠付現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知利息力為 0.05，求 A130:10 和 A30 。 解：（1）由于生存函數(shù)在 0到 100間均勻分布，但 x=30 時(shí)，剩余壽1命在 0,70間均勻分布，概率密度 f（t）=710 ，故1A30:10 E(Z)A3

39、0 E(Z)10 0.05t 10 e 70 dt70 0.05t0e710dt0.51e0.05 700.05 701e0.05 700.11240.2771【例 5.9】某人在 30 歲時(shí)投保了 50000元的 30 年兩全保險(xiǎn)，設(shè)預(yù)定 利率為 6% ，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表 (1990-1993)(男女混合)， 求這一保單的躉繳凈保費(fèi)。解：在死亡均勻分布假設(shè)下，躉繳凈保費(fèi)為：i 1 150000 A30:30 50000 A30:30 A30:3050000 0.06 M 30 M 60 50000 D 60 ln1.06D 30D3010 年死亡賠付 500009467.26例 5

40、.10】在例 5.9 中，如果契約規(guī)定在投保的前 元，后 20 年死亡賠付 30000 元，滿期存貨給付 20000元，求這一保 單的躉繳凈保費(fèi) 解：這是一個(gè)變額保險(xiǎn)，可以分解為三部分，躉繳凈保費(fèi)為：1150000 A30:10 30000 A40:20 10E30 20000 30E300.06 50000 (M 30 M 40) 30000 (M 40 M 60) 20000D 60ln1.06 D 30D304270.52【例 5.11】已知 A0 =0.8663，i=0.06， 求 A(012) 。解：由i 1.0612 i(12) 12 12 )可算得:i (12) =0.05841

41、1(1再由( 5.38)式，得：(12) iA0 (12) A0 0.8899i【例 2.12】假設(shè)某人 41歲時(shí)投保了 1 單位元的終身壽險(xiǎn)，死亡年末 賠付。已知 i=0.05，p40=0.9972， A41 A10 0.00822 ，求 A41。v 1 0.952381i2v 0.90703q40 1 p40 0.0028由公式Ax vqx vpxAx 1有A41 A40 A41 (vq40 v p40A41) A41(1 vp40) vq40 0.00822A41 0.21654第六章【例 6.1】李明今年 20 歲，如果他能活到 60 歲，它將能從保險(xiǎn)公司 得到 1000 元的一次性給

42、付。設(shè)年利率為 6% ，試寫出這筆給付在李 明 20 歲時(shí)的現(xiàn)值。解：李明從 20 歲活到 60 歲的概率是 p ，從 20 歲到 60 歲死亡的 40 20概率為( 1 40 p )，如果活到 60 歲，他可以獲得 1000 元給付，死 亡則沒有給付。因此，他獲得給付的期望值為：1000 40 p20 0 (1 40 p20) 1000 40 p20例 6.2】設(shè) n>t ，證明并解釋下面兩個(gè)式子：（1） nEx tEx n tEx 1（2） tE x1t n tn px v t px v n t px 1 tEx n t Ex t2）將 nEx tExn tEx t兩邊同乘以n Ex

43、 n tE，得：n E x n 1E x 1 證明：（1） nEx vnt E x1nEx n tEx t例 6.3】張華今年 30 歲，從今年起，只要他存活，可以在每年年初獲得 1000 元的生存給付，假設(shè)年利率為 9% 。計(jì)算這一年金的精算 現(xiàn)值。解：這是一個(gè)每年給付 1000 元的終身生存年金，每一次給付經(jīng)過折 現(xiàn)后在 30 歲時(shí)的價(jià)值總和合即為這筆年金在 30歲時(shí)的精算現(xiàn)值。因 此，給付的現(xiàn)值是：121000 1000 p30 1.09 1 1000 2p30 1.092 .k1000k 0 k p30 1.09k0例 6.4】某人今年 45 歲，花費(fèi) 10000 元購買了一份年金產(chǎn)品

44、， 保單 承諾從下一年開始， 每年可以領(lǐng)到等額的給付， 已知利率 i=5%, 一句 附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表( 1990-1993)(男女混合)的資料， 試計(jì)算每年可以領(lǐng)取的金額。解：這是一個(gè)期末負(fù)終身年金的例子， 題目中已經(jīng)給出了這份年金購 買時(shí)的現(xiàn)值，要求計(jì)算年金每次的給付額。設(shè)每次的給付額為p，p a45 10000a45N 56 15.128D 45P=661.03(元)【例 6.5】王明在 40 隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品， 承諾在未來 20年內(nèi)， 如果他存活，則可以在每年年初領(lǐng)取 1000 元的給付，一旦死亡，則 給付立即停止。 20年期滿，保單自動(dòng)中止，無論 20 年后是否存活，

45、 不再繼續(xù)給付。以附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表( 1990-1993)(男 女混合)的資料，假設(shè)預(yù)定利率為 i=6% ，使計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn) 值。解：其精算現(xiàn)值為：1000a40:20 1000 N 40 N 60D 40=11882.82（元）【例 6.6】某人在 30 隨時(shí)購買了一份年金，約定的給付為：從 51 歲 起，如果被保險(xiǎn)人生存，每年可以得到 5000 元的給付，直到被保險(xiǎn) 人死亡為止。設(shè)年利率為 6% ，存活函數(shù)為 l x l 0(1 100) ，試計(jì)算這 筆年金在購買時(shí)的精算現(xiàn)值 解：由存活函數(shù)可得生存概率：p l 30 k 70 kk p30 l 30 70又因?yàn)?0ka3

46、0k E 30 vk 21 k 21k p 30因而這筆年金的精算現(xiàn)值為：5000 2070a30 5000 1.06k 21k 70 k70=12358.09（元）例 6.7】對(duì)于（ 30）的從 60 歲起每年年初 6000 元的生存年金，預(yù)定利率為 6% ，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（ 1990-1993）（男女混合）的資料，求保單的躉繳凈現(xiàn)值。解：有公式（ 6.13），保單的躉繳凈保費(fèi)為：6000 30 a30 6000 a60 30E30=10787.38（元）例 6.8】某人在 35 隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，這份年金將從他 60歲退休起的 25 年內(nèi)，每年年初給付 5000 元生存年

47、金。給定利率為6% ，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（ 1990-1993）（男女混合），計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：其精算現(xiàn)值為：5000 25 a35:25 5000 N 60 N 85D 35=11683（元）例 6.9】某 30 歲的人投保養(yǎng)老保險(xiǎn)， 保險(xiǎn)契約規(guī)定， 如果被保險(xiǎn)人存活的 60 歲，則確定給付 10年年金，若被保險(xiǎn)人在 6069 歲間 死亡， 由其指定的受益人繼續(xù)領(lǐng)取， 知道領(lǐng)取滿十年為止。 如果被保 險(xiǎn)人在 70歲仍然存活， 則從 70歲起以生存為條件得到年金。 如果年 僅每年年初支付一次，一次支付 6000 元，預(yù)定利率為 6% ，以中國 人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（ 199

48、0-1993）（男女混合）資料，計(jì)算保單躉 繳凈保費(fèi)。解:躉繳凈保費(fèi)為：6000 (a10 10 a60) 30E30 106000(1 v N 70) D 60i D 60 D 3010790.86例 6.10】如果一個(gè) x 歲的人獲得了一份每年 1 單位元的連續(xù)年金， 試用隨機(jī)變量 y 表示給付變量的現(xiàn)值1）用（x）的余壽隨機(jī)變量 T 的函數(shù)表示 y2）利用 y 是 T 的函數(shù)這一條件計(jì)算年金的精算現(xiàn)值 ax3）死亡給付 1 單位元終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值的隨機(jī)變量是 Z，給付Y 也 Z 之間的關(guān)系4）利用（3）中的關(guān)系，用Ax表示 ax解：（1） y aTT1 vT1vax3）因?yàn)門1 vT所以Y1Z4) ax E(Y) 1 E(Z) 1 Ax例 6.11 】已知某人的生命具有常數(shù)死亡力0.04 ，設(shè)利息力0.06 ，試計(jì)算 : (1)ax (2)aT 超過 ax的概率 .解： (1)已知死亡力，則t pxaxet0v0 x sdt p xdtte1 102) P r(aTax)1Pr(10.06T0e.06)Pr(Tln 0.40.06ln0.4 f dt T0.060.54【例 6.12】在例 6.7 中，若年金每月支付一次，求躉繳額。 解：躉繳凈保費(fèi)為