人教A版高考數(shù)學二輪復習講義及題型歸納(基礎)：極坐標與參數(shù)方程

1、高考數(shù)學二輪復習（理）講義及題型歸納（基礎）極坐標與參數(shù)方程目錄目錄1一、總論 2二、考綱解讀2三、命題趨勢探究 3四、知識講解31 .極坐標系32 .極坐標與直角坐標的互化 33 .極坐標的幾何意義 44 .直線的參數(shù)方程45 .圓的參數(shù)方程56 .橢圓的參數(shù)方程 57 .雙曲線的參數(shù)方程 58 .拋物線的參數(shù)方程 5五、解答題題型歸納 6核心考點1：參數(shù)方程與普通方程、極坐標系與直角坐標系的互化 6核心考點2:參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 9一'、總論坐標系與參數(shù)方程它以函數(shù)、方程等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù) 形結合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等

2、方面起到了積極的作 用.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)參數(shù)的幾何意義問題，其形式逐漸多樣化，但只要知 其本質，便可舉一反三，金槍不倒.二、考綱解讀1 .理解坐標系的作用.2 .了解在直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況 .3 .能在極坐標中用極坐標表示點的位置.理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的 位置的區(qū)別,能進行極坐標和直角坐標的互化.4 .能在極坐標系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程通 過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.5 .了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中的點的位置的方法，并與空間直角坐

3、標系中表 示點的位置方法相比較，了解它們的區(qū)別.6 .了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.7 .能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程 .8 .掌握參數(shù)方程化普通方程的方法.三、命題趨勢探究本章是新課標新增內(nèi)容，屬選考內(nèi)容，在高考中可能有所體現(xiàn).參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識的綜合應用和進 步深化，是研究曲線的工具之一，值得特別關注.四、知識講解1 .極坐標系 在平面上取一個定點O,由點O出發(fā)的一條射線Ox、一個長度單位及計算角度的正方 向（通常取逆時針方向），合稱為一個極坐標系.點O稱為極點，Ox稱為極軸.平面上任一 點M的位置可以由線段OM的長度P和從Ox

4、至IJOM的角度日（弧度制）來刻畫（如圖1 和圖2所示）.這兩個實數(shù)組成的有序實數(shù)對（P,8）稱為點M的極坐標.P稱為極徑，8稱為極角.2 .極坐標與直角坐標的互化 設M為平面上的一點，其直角坐標為（x,y）,極坐標為（P,e）,由圖16-31和圖16-32可知，下面的關系式成立：x = Pcosiy = "sin 1：2 = x2 y2或ytan 8 = (x =0)Lx（對P<0也成立）3.極坐標的幾何意義P =r表示以O為圓心，r為半徑的圓；日=仇一一表示過原點（極點）傾斜角為仇的直線，日=或（戶之0）為射線;P = 2acos6表示以（a,0）為圓心過O點的圓.（可化直

5、角坐標：P2 = 2aPcos6=x2 +y2 =2ax= （x -a）2 + y2 =a2.）4.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程可以從其普通方程轉化而來，設直線的點斜式方程為y-y0 =k（x-x0）,其中k =tana（c（為直線的傾斜角）,代人點斜式方程sin:xxy - y°= J(x-x°)(" ¥:),即“cos二2 cos：y-y。sin 二x = x tcos 工記上式的比值為t,整理后得! 為y = y0 t sin -七也成立，故直線的參數(shù)方程為x = x0 t cos 1.，. 一 .,（t為參數(shù)，a為傾斜角，直線上止點M0（x0,

6、yq）,動點M （x,y） ,1為乂。乂 廠 y° tsin :的數(shù)量，向上向右為正（如圖3所示）.5 .圓的參數(shù)方程x = xr cos 二右圓心為點M(Xo,y0),半徑為r,則圓的參數(shù)萬程為0(0EeE2n).y = y0 r sin 二6 .橢圓的參數(shù)方程22x = a cos 1一橢圓C:x2+與=1的參數(shù)方程為(9為參數(shù)，(0<0<2n).a2 b2y = bsini7 .雙曲線的參數(shù)方程(0 kn +-,k Z).X2 y2x 二 aseu雙曲線C:、=1的參數(shù)方程為4 口 a by =btarP8 .拋物線的參數(shù)方程22 x2拋物線y2 =2px的參數(shù)方程

7、為X = 2pt (t為參數(shù)，參數(shù)t的幾何意義是拋物線上的點與 y =2pt頂點連線的斜率的倒數(shù))五、解答題題型歸納 核心考點1:參數(shù)方程與普通方程、極坐標系與直角坐標系的互化1Q Q和。O2的極坐標方程分別為 P = 4cosH, P = -4sin9 .（1）把。和。O2的極坐標方程分別化為直角坐方程；求經(jīng)過。Oi和。O2交點的直線的直角坐標方程.解析 （1）圓 O1 : P = 4cos 日 = P2 = 4 P cos6 = x2 + y2 = 4x ,得（x - 2 j + y2 = 4x ,圓 O2: P = -4sing= P2=YPsin8 口 x2+y2=-4y,得 x2+（

8、y+2） =4。x2 y2 4x（2）聯(lián)立兩圓萬程« 2 y2 ，過圓Oi、圓O2交點的直線方程為 4x+4y=0（兩式相 x y - -4y減），即 x+y=0.2 .已知一個圓的極坐標方程是 P = 5由cos日-5sin日，求此圓的圓心和半徑.解析 由圓的極坐標方程5 =5V3cos0 -5sin 6得 P2 =5V3PcosH-5Psin 8 = x2 + y2 =5/3x_5y = x2 + y2 _5V3x+5y = 0 ,得x I + 'y+9 j=25,故圓心坐標為 殳叵 皂 半徑為r=5。I2jl2）122）3 .極坐標方程（P-1）（6-g =0（P之0）

9、表示的圖形是（）A.兩個圓B.兩條直線C. 一個圓和一條射線D.一條直線和一條射線因為（P1）（6n）=0（P 之 0）,所以 P = i 或6=冗（P>0）.P=1= Jx2 +y2 =1 ,得x2 +y2 =1,表示圓心在原點的單位圓；（ =兀（之0）表示*軸的負半軸，是一條射線.故選C.x - -1-t4 .極坐標方程P=cose和參數(shù)方程4（t參數(shù)）所表小的圖形分別是（）y = 2 3tA.圓、直線 B.直線、圓C.圓、圓 D.直線、直線解析 由極坐標方程P = coS得P2 = P cose ,則x2+y2 = x ,即x2 + y2 - x = 0 ,2'x- I+y

10、2 =1 ,故表示的圖形是圓，其圓心坐標為 -,0 I1,半徑為-,參數(shù)方程為.2，422x - -1 -t<（t為參數(shù)），消參數(shù)得3x + y + 1 = 0,表小直線，故選Aoy = 2 3t5 .直線2Pcos8 =1與圓P = 2cos<3相交的弦長為 .解析 將極坐標方程化為普通方程為x=-與x2 +y2 =2x ,聯(lián)立方程組成方程組求出兩交點的坐標,且和工電,故弦長等于日I2 2 J 122 J6 .參數(shù)方程!x=Sin'*C0S" （日是參數(shù)）的普通方程是 .y =sin 二 cos?2卜我衣,斛析 利用（sin日 +cos6 ） =1 +2cosB

11、sinH 二 x2 =1+2y , x =sin 日+cos9 =也sin | 日十一w4v2 一故普通方程是y=3，xw-72,721x =3t2 27 .方程2（0SM5）表示的曲線是（）y =t -1A.線段 B.雙曲線的一支 C.圓弧 D.射線 2 c-x=3t 22_x_77解析由萬程< o （0EtE5A«。故選Ay =t2 -1x -3y -5=0x =t8 .設曲線C的參數(shù)方程為2 （t為參數(shù)），若以直角坐標系的原點為極點，x軸的y =t正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線 C的極坐標方程為 .x =t、2解析yH2 ,化為普通方程為y = x ,由于PcosB =

12、 x, PsinH = y ,所以化為極坐標方程為 Psin 日=P2 cos2 8,即 Pcos2 6 -sin 9=0.9 .在極坐標系中，直線PcosH+PsinH =a（a>0）與圓P=2cosH相切，貝a =.9.1 +72【解析】利用x=Pcose, y = PsinH,可得直線的方程為x+y-a = 0,圓的方 程為（x-1）2 +y2 =1 ,所以圓心（1,0）,半徑r=1,由于直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即|1m| = 1 , a=1十四或1-衣，又 a >0 , . . a =1 + 72 .10 .在極坐標系中，點 A在圓P2-2 Pcos-4P

13、sin日+4 =0上，點P的坐標為（1,0）,則 | AP |的最小值為.10.1 【解析】圓的普通方程為x2 +y2 -2x-4y+4=0 ,即（x-1）2 + （y -2）2 = 1.設圓心為 C（1,2）,所以 |AP|min=|PC|-r =21=1.JT11 .在極坐標系中，直線4Pcos（B-二）+1=0與圓P = 2sin的公共點的個數(shù)為.611.2【解析】直線的普通方程為2gx + 2y+1=0,圓的普通方程為x2+（y1）2=1,3因為圓心到直線的距離d=±<1 ,所以有兩個交點.412 .在極坐標系中，直線Pcos日-石Psin日-1=0與圓P = 2cos

14、6交于A,B兩點，WJ|AB|=13 2【解析】將Pcose -73Psin8 -1 =0化為直角坐標方程為x底 1 = 0 ,將 42cos 9 化為直角坐標方程為（x-1）2+y2=1,圓心坐標為（1,0）,半徑r=1,又（1, 0）在直線 x-石y-1=0 上，所以 |AB|=2r=2.核心考點2:參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義1.在極坐標系中，。為極點，半徑為2的圓C的圓心的極坐標為（2,）. （1）求圓C的極 3坐標方程；（2）在以極點。為原點，以極軸為x軸正半軸建立的直角坐標系中，直線l的參數(shù)方'" 1x =1 十一 t2程為I（t為參數(shù)），直線l與圓C相交于A, B兩

15、點，已知定點M（1,-2）,y - -2 t 2求|MA| |MB|。1 .試題分析：（1）設P（R q是圓上任意一點，則在等腰三角形COP中，OC=2, OP=P,二 1. 一 .二NCOP =|日一|,而一|OP|=|OC|cos/COP 所以，P = 4cos（日一）即為所求的圓 C 的 323極坐標方程。（2）圓C的直角坐標方程為（x 1）2+（y 私）2 =4 ,即：x2+ y2 2x23y = 0（ 1x =1 t2、一一將直線l的參數(shù)方程廣（t為參數(shù)）代入圓C的方程得：y = -2 芻2t2（3+2W）t+3+473 =。，其兩根匕、t2滿足 t1 t2 =3 + 4瓜所以，|M

16、A| |MB| =|t1t2|=3+46x:3 一旦2.在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為22（t為參數(shù)）。在極坐標系（與y =、.5t2直角坐標系 取相同的長度單位，且以原點 為極點，以 軸正半軸為極軸）中，圓的方程為p =275sin日。（1）求圓 的直角坐標方程；（2）設圓與直線l交于點、，若點的坐標為（3,何，求2.解析：（1）由 P=2 而 sinB 得 x2 + y2 -275y =0,即 x2+（y-75）2 = 5.（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得（3-返t）2+（近t）2=5, 22即t2 -3拒t +4=0,由于=（3向2-4父4=2>0 ,故可設t1,

17、t2是上述方程的兩實根，所以小 乜=3衣 又直線l過點P（3,75）,故由上式及t的幾何意義得：域2 =4PA +|PB =|t1|+|t2|=t1 +t2 =3后. x= 2cos -3.在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為«（"為參數(shù)），M是C1上的y = 2 2sin ;uuv uuuv動點，P點滿足OP=2OM , P點的軌跡為曲線C2(I )求C2的方程jr(H)在以。為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線 e=二與Ci的異于極點的 3交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求AB .3 .【解析】設P(x,y),則由條件知乂6).由于M點在Ci上，所以x,即 x=4C0s：y = 4 4sin ;一 =2cos :2y = 2 2sin ;2x=4cos 工從而C2的參數(shù)萬程為(a為參數(shù)),y = 4 4sin ;(H)曲線Ci的極坐標方程為P=4sin9,曲線C2的極坐標方程為P=8sin9.JIJ射線日=與C1的交點A的極徑為匕=4sin , 33射線8=與C2的交點B的