常用連續(xù)型分布性質(zhì)匯總及其關(guān)系

1、常用連續(xù)型分布性質(zhì)匯總及其關(guān)系1.常用分布 1. 1正態(tài)分布tP(x)F x(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為22 2e dt,則稱X服從正態(tài)分布，記作XN , 2 ,其中參數(shù)，0.(2)背景：一個(gè)變量若是由大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果，則此變量一定是正態(tài)變量。測(cè)量誤差就是由量具零點(diǎn)偏差、測(cè)量環(huán)境的影響、測(cè)量技術(shù)的影響、測(cè)量人員的心理影響等等隨機(jī)因素疊 加而成的，所以測(cè)量誤差常認(rèn)為服從正態(tài)分布。(3)關(guān)于參數(shù)，：是正態(tài)分布的的數(shù)學(xué)期望，即E X ，稱 為正態(tài)分布的位置參 數(shù)。為正態(tài)分布的對(duì)稱中心，在 的左側(cè)和p(x)下的面積為0.5;在的右側(cè)和P(x)下的面積也是0.5,所以 也是正

2、態(tài)分布的中位數(shù)。2 是正態(tài)分布的方差，即Var(X)2.是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，愈小，正態(tài)分布愈集中， 愈大，正態(tài)分布愈分散。又稱為是正態(tài)分布的的尺度參數(shù)。(4)稱 0,1時(shí)的正態(tài)分布N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記U為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量，u和 u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)。u和 u滿足:(5)標(biāo)準(zhǔn)化變換：若 X N , 2 ,則 U N 0,1 .(6)若XN , 2 ,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a與b,有P(X b)(b-),P(a X) 1(-),b 、 尸 、P(a X b)()(),0.6826,k1,P( X k )(k)(k)0.9545,k2,.0.9973,k3.(7)特征函數(shù)(t) ex

3、p i t爺r.(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 exp1.2. 均勻分布(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為1P(x) b a0else0, x x a F(x)- b a1, xa,a x b,.b.則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，記作X - U a,b .(2)背景：向區(qū)間(a,b)隨機(jī)投點(diǎn)，落點(diǎn)坐標(biāo) X一定服從均勻分布U a,b .(3) E(X)t，Var(X)12itbita(4)特征函數(shù)(b a)it1.3. 指數(shù)分布(1)若X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為P(x)_ xe , x 0,0, elseF(x)1 e x, x 0, 0, else則稱X服從指數(shù)分布，記作XExp，其中參數(shù)0.(2

4、)背景：若一個(gè)元器件(或一臺(tái)設(shè)備、或一個(gè)系統(tǒng))遇到外來沖 擊時(shí)即告失敗，則首次沖擊到來的時(shí)間X (壽命)服從指數(shù)分布，很多產(chǎn)品的壽命可認(rèn)為服從或者近似服從指數(shù)分布。11(3) E(X) -, Var(X).(4)指數(shù)分布的無記憶性：若XExp ，則對(duì)任意s 0,t 0,有P(X s t|X s) P(X t).1(5)特征函數(shù)61*.1.4伽瑪分布(1)伽瑪函數(shù)稱()0 x 1exdx為伽瑪函數(shù)，其中參數(shù)0.伽瑪分布具有如下性質(zhì)：(a) (1) 1;(b) (12) (c) (1)();(d) (n 1) n (n) n!(n 為自然數(shù))。(2)伽瑪分布 若X的密度函數(shù)為1 xcx e , x

5、 0, p(x) ().0 else則稱X服從伽瑪分布，記作XGa(,，其中0.為形狀參數(shù),0為尺度參數(shù)。(3)背景：若一個(gè)元器件(或一臺(tái)設(shè)備、或一個(gè)系統(tǒng))能抵擋 一些外來沖擊，但遇到第k次沖擊時(shí)即告失敗，則第k次沖擊來到的 時(shí)間X (壽命)服從形狀參數(shù)為k的伽瑪分布XGa(k,).(4) E(X) ,Var(X).(5) 特征函數(shù)(t) 1 X .1.5貝塔分布1b 1(1)貝塔函數(shù) 稱B(a,b)o xa 1(1 x) dx為貝塔函數(shù)，其中參數(shù)a 0, b 0.(a) (b)(a b)貝塔函數(shù)具有如下性質(zhì)：(a) B a,b B(b,a);(b) B a,b(2)貝塔分布若X的密度函數(shù)為P

6、(x)(a b) a ()(b)'1(1 x)b1, 0x1,0 else則稱X服從貝塔分布，記作XBe(a,b),其中a 0, b 0.都是形狀 參數(shù)。(3)背景很多比率，如產(chǎn)品的不合格率、機(jī)器的維修率、某商品的市場(chǎng)占有率、射擊的命中率等都是在區(qū)間(0,1)上取值的隨機(jī)變量，貝塔分布Be(a,b)可供描述這些隨機(jī)變量之用數(shù)。(4) E(X) , D Xa b(5)特征函數(shù)(t)1.6 Z分布ab2(a b) (a b 1)(a b) (a j)0t)j(a) (b)j o (a b j) (j 1)(1)若X的密度函數(shù)為P(x)(a b) xa 1(a) (b) 1 x a bx 0

7、.則稱X服從Z分布，記作ZZ(a,b),其中a0, b0.都是形狀參a E(X),b 1,Var(X)a(a b 1)(b 1)2(b 2)2.(3)若 X Z(a,b),則 1/X Z(b,a).2.分布之間的關(guān)系2.1 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布構(gòu)造2-分布設(shè)X,.xn和y”. yn是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本,n2 x：服從自由度為n的卡方分布，記為2 2(n)。其 i 1分布密度為p(y)(敘2上1 士22y2 e 2(y 0).(2 )期望方差分別為En Var2n.(3)特征函數(shù)為 (1 2it) n2.2.2 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和卡方分布構(gòu)造t分布(1) t -=y1(X2 L x2)

8、 n服從自由度為n的t分布，記為tt(n).其分布密度為p(y)廠(2)2 n 1(1上尸(n).(2)期望方差分別E t 0(n 1)VarV(n 2).(3)特征函數(shù)2.3由兩個(gè)卡方分布構(gòu)造F分布(1)22y1 兒 ym mF (x； L x2) n服從第一自由度為第二自由度n為的F分布，記為FF(m, n).其分布密度為p(y)m 2m n m2 n(m)(；)22-1y2(1m nm -y) 2n).(3)-(n 2) Var 2特征函數(shù)為_ 2-2n (m n 2)2(nm(n 2)2(n 4)4).(4)若 F F(m,n),則 1/F F(n,m).(5)若 tt(n),貝Ut2

9、 F(1,n).2.4伽瑪分布，貝塔分布及其特例(1) 1時(shí)的伽瑪分布就是指數(shù)分布，即Ga(1, ) Exp().(2) n/2,12時(shí)的伽瑪分布為自由度為 n的2分布，即n 12Ga(2,2)2(n).(3) a b 1時(shí)的貝塔分布就是區(qū)間(0,1)上的均勻分布，即Be(1,1) U(0,1).(4) X1,X2,L Xn獨(dú)立同分布于U 0,1 , x(1), x(2),L X(n)為其順序統(tǒng)計(jì)量， 則有x的 Be(k,n k 1), k 1,2,L n.特 別 地，x(1)Be(1,n),x(n)Be(n,1).x(k) X(s) - Be(k s,n k s 1), k s 1,2,L n.特別地X(n) X(1) - Be(n 1,2).(5)若隨機(jī)變量XGa(,，則當(dāng)k 0時(shí)，有Y kXGa( , /k).2 XGa( ,1/2)2 2 .即任一伽瑪分布可轉(zhuǎn)化為2分布。(6)若 X Be(a,b),則 1 X Be(b,a).(7)若XiGa( 1, ), X2Ga( 2,)且X1, X2與相互