現(xiàn)代信號處理教程-胡廣書(清華)(20210929164050)

1、jt式中g(shù)Cx t，那么上式變成Cx21Xq于是結(jié)論得證明，如果現(xiàn)代信號處理教程-胡廣書清華由437xu 2xux qt。式中 Xq式定義。由2qt uedg，是某一函數(shù)的模糊函數(shù),效于譜圖。因此，x qted)2qt ux qtedt 乘上窗函數(shù)那么用此 g譜圖也是Cohen類成員。2 . P1，實(shí)值性，即Cxqt 2q和 2duedqt ed(443)及上式結(jié)果，有t后的傅立葉變換所得到的Cx。該式說R,t,Q 1:g ,g證明：由4.1.1 式,t,Cx12xu 2xu 2geddu d，那么上式變?yōu)閠,Cx12j tuxu 2xu 2g , ed dud顯然，如要求t,Cx t，必有g(shù)

2、3 、時(shí)移：g, CxP2 :假設(shè)x t to，貝y Cs t,Cx t to ,111Q2 : g , 不決定于t證明：因?yàn)間 4、頻移：, 處于 ， 域，和t無關(guān)，所以它不影響分布的時(shí)移性質(zhì)；假設(shè)sP3 :t x t ej t，貝V Cs t，Cx t，0Q3 : g , 與無關(guān)性質(zhì)P2與P3稱為Cohen類時(shí)頻分布的“移不變性質(zhì)，它包含了時(shí)移和頻移。5、時(shí)間邊緣條件，即12Ct, d xtP4 : x2Q4 : g , 01證明：將4.1.1 式兩邊對積分，有Cx t , d12j tuxu 2xu2g , edud d dx u 2 x u 2 g ,e j t u dud dx u

3、g ,0 e j t u dud2欲使上式的積分等于，必有欲使該式成立，必有j (t u)g( ,O)ed 2 (t u)01,也就是說，為保證 C t , 具有WVD勺邊界性質(zhì)，g ,xg， 在軸上始終為1。6 、頻率邊緣條件，即P5 : Q5:Cx t， dt Xg 0，12其證明請讀者自己完成。112前已述及，為了有限的抑制 AF中遠(yuǎn)離，0，0的互項(xiàng)，希望g ， 應(yīng)為，平面上的2-D低通函數(shù)。但Q4和Q5要求g , 在和軸上應(yīng)為1。這樣，如果AF中的互項(xiàng)正好落在軸或 軸上，將得不到抑制。7、瞬時(shí)頻率與Cxt , 的關(guān)系，即xP6 :Ct, dtCt, dxQ6 :g ,0 Q4 及08

4、、群延遲與Cxt, 的關(guān)系，即xP7 :gtC t , dtCt, dtxQ7 :g ,0Q5 及0我們已在3.2節(jié)證明了 WVD瞬時(shí)頻率與群延遲的關(guān)系，此處的證明從略。有關(guān)瞬時(shí) 頻率定義的解釋及瞬時(shí)頻率的估計(jì)可參看文獻(xiàn)27,28。這是兩篇詳細(xì)討論瞬時(shí)頻率的論文。9、時(shí)域支撐范圍，即P8 : Q8： P9:Q9:假設(shè)ttc 時(shí)，x t0，希望Cx t，0,對 t tcj tg ， ed02t10 、頻域支撐范圍，即假設(shè)c 時(shí)，X0,希望 Cx t ,0 cjg , ed 02現(xiàn)對P9和Q9作一簡單的解釋。給定一個(gè)信號xt ，記其時(shí)一頻分布為 TFx t, 。假定x t 在t t1和t t2的范

5、圍113內(nèi)為零，假設(shè)TFxt， 在t t1和t t2的范圍內(nèi)也為零，那么稱 TFx t，具有弱有限時(shí)間在 1，2 之外為零，假設(shè) TFx t， 在 1，2 也為零，支撐性質(zhì)。同理，假定 X那么稱TFxt，具有弱有限頻率支撐性質(zhì)。P8和P9指的是弱有限支撐。t分段為零，TFx t， 在x t為零的區(qū)間內(nèi)也為零，那么稱TFx t， 具有t為零，在所對應(yīng)的時(shí)間段內(nèi) TFx t，假設(shè)信號x強(qiáng)有限時(shí)間支撐性質(zhì)。強(qiáng)有限支撐的含義是：只要X恒為零。同理可定義強(qiáng)有限頻率支撐。由437 式，Q8的要求是： 式中g(shù)jtg ， edt g t ，0，對2tot ,是時(shí)間域的核函數(shù)。當(dāng)該核函數(shù)在t ,平面上在2t這一

6、范圍內(nèi)為零時(shí)，Cx即具有弱有限時(shí)間支撐性質(zhì)。有關(guān)2t的由來見下一節(jié)的討論Q10 : g平面上的2-D低通函數(shù)。10、P10:減少交叉項(xiàng)干擾減少交叉項(xiàng)干擾分布Reduced Interferenee Distributen, RID又稱 RID 分布。其核函數(shù)有著其它的特殊性質(zhì)，我們將在下一節(jié)進(jìn)一步討論。4.5核函數(shù)對時(shí)一頻分布中交叉項(xiàng)的抑制我們在1.5節(jié)已給出了單分量信號和多分量信號的概念。其區(qū)別是在任意固定的時(shí)刻， 該信號的瞬時(shí)頻率it是單值的還是多值的。一個(gè)多分量信號又可表為單分量的和，即：xtxk tk1n式中xit ， k 1, 2，n都是單分量信號，因此x t 2 x t 2114x

7、k t 2 x t 2xi t 2 x j t 24.5.2 k1i1j1nnn相應(yīng)的時(shí)一頻分布Cx t，C t，C t，xk,xki 1j 1xi,xjnnn同樣也由自項(xiàng)和互項(xiàng)所組成?；ロ?xiàng)即是交叉項(xiàng)，它是對真正時(shí)-頻分布的干擾，應(yīng)設(shè) 法將其去除或盡量減輕。減輕Cx t，中交叉項(xiàng)的一個(gè)有效途徑是通過x t的模糊函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。由4.2節(jié)的討論，x t的廣義模糊函數(shù)：Mx ，式中j uMxk,xk，g ， xk u 2 xk u 2 edu 4.5.5 Mk 1nxk,xk，Mx,x ，i 1j 1ijnnj uMxi,xj，gxi u 2 xj u2 edu 分別是AF的自項(xiàng)和互項(xiàng)。我們在本章第二

8、節(jié)的討論中已指出，模糊函數(shù)的自項(xiàng)通過，平面的原點(diǎn)，互項(xiàng)遠(yuǎn)離，平面的原點(diǎn)，而 AF中的互項(xiàng)又對應(yīng)了時(shí)一頻分布中的交叉項(xiàng)，這就為我們?nèi)コ蛞种茣r(shí)一頻分布中的交叉項(xiàng)提供了一個(gè)有效的途徑。 即令核函數(shù)g，取，平面上的2-D低通函數(shù)。由上節(jié)的討論可知，為保證 Cx t，具有時(shí)間及頻率邊緣條件性質(zhì)，核函數(shù)g ， 應(yīng)滿足Q4和Q5,即在 和 軸上應(yīng)恒為1，這也是設(shè)計(jì)核函數(shù)時(shí)必須考慮的 要求。當(dāng)然，除了 Q0難于滿足外，Q1Q10應(yīng)盡量滿足?，F(xiàn)舉例說明核函數(shù)g ,對交叉項(xiàng)的效果。Choi Willarms于文獻(xiàn)37提出了一個(gè)指數(shù)核，即 g ,e22(4.5.7 )115其相應(yīng)的T F分布稱為指數(shù)分布(ED),

9、由表431 ,它屬于Cohen類。顯然，g 0, 0 1,g 0,g , 01,且當(dāng)和同時(shí)不為零時(shí)g ,1。式中為常數(shù)。越大，自項(xiàng)的分辨率越高，越小，對交叉項(xiàng)的抑制越大。因此，的取值應(yīng)在自項(xiàng)分辨率和交叉項(xiàng)的抑制之間取折中，并視信號的特點(diǎn)而定。假設(shè)信號的幅度和頻率變化得快，那應(yīng)取 較大的 ，反之取較小的。的取值推薦在0.110之間。當(dāng)時(shí)，g ,1, ED變成WVD在這種情況下ED (即WVD具有最好的分辨率，但交叉項(xiàng)也變得 很大。ED可以有效地抑制交叉項(xiàng)，但不能保證性質(zhì)P8和P9。ED對應(yīng)的時(shí)域的核為13jtg t ,gd22t4(4.5.8 )相應(yīng)的時(shí)一頻分布是 CWx t ,t2exp 2

10、x u 2 x u 2ej dud 4.5.9 244例令x t由三個(gè)時(shí)一頻"原子組成，x1 t和x2 t具有相同的歸一 化頻率0.4 ，但具有不同的時(shí)間位置分別是 32和96。令x3 t 和x2 t具有 相同的時(shí)間位置，但歸一化頻率為 0.1。x t的時(shí)域波形如圖所示，其理想的時(shí) 頻分布如圖所示。其 WVD如圖所示?？梢钥吹?，圖c中存在著由這三個(gè)“原子兩兩產(chǎn)生的共三個(gè)交叉項(xiàng)。圖是x t的模糊函數(shù)。由該圖可以看出，AF的自項(xiàng)位于中心，在軸和 軸上各有兩個(gè)互項(xiàng)，在第二和第四象限也各有一個(gè)互項(xiàng)，因此，該信號的AF共有6個(gè)互項(xiàng)。圖是指數(shù)核g ,exp22的等高線圖，它在原點(diǎn)最大，在 軸和

11、軸上恒為1。改變，可調(diào)節(jié)坐標(biāo)軸兩邊兩個(gè)等高線的距離。越大，距離越大，反之距離越小。g ,的作用是抑制AF中的互項(xiàng)。將圖d和圖e對應(yīng)相乘，即g ,Ax ,，其結(jié)果示于圖f。顯然，在第二和第四兩個(gè)象限的互項(xiàng)已被去除，在軸和軸上的四個(gè)互項(xiàng)在圖中表達(dá)出來，但實(shí)際上也被抑制。圖是用ED求出的x t 的時(shí)一頻分布?？梢钥闯?，這時(shí)的交叉項(xiàng)較之圖的 WVD已大大減輕。116117圖核函數(shù)g ,對交叉項(xiàng)抑制的說明，該圖由上及下分別為ag Cohen類分布的其它成員，所用 g ,對交叉項(xiàng)抑制的原理和上述過程大致相同。4.6減少交叉項(xiàng)干擾的核的設(shè)計(jì)除了我們在前面幾節(jié)提到的 Cohen類的各種時(shí)-頻分布外，人們還希望

12、能設(shè)計(jì)出其它 更好的時(shí)-頻分布。為此，文獻(xiàn)76 給出了一個(gè)核設(shè)計(jì)的方法，現(xiàn)給以簡單地介紹。 如果g ,可以寫成變量，的積的函數(shù)，即g ,g2, e核。如果gg2()那么g稱為可別離的核。對這一類核，其計(jì)步驟如下:那么該核函數(shù)稱為“積核，在表 中，cos 可以寫成，各自函數(shù)的積，即g ,g1j 2,sine a 及ED核都是積118步驟1設(shè)計(jì)一個(gè)根本函數(shù)h t ，使之滿足下述條件：a h t有單位面積,即 h t dt 1；b h t為偶對稱，即h t h t ；eh t是時(shí)限的，即當(dāng)t 2時(shí)h t 0。d h t以t=0為中心向邊際平滑減少，以保證 h t 含有較少的高頻分量。 步 驟2取h

13、t 的傅立葉變換，即 Hh t ejtdt步驟3用 代替H中的，得到積核函數(shù)g，H 按照這種原那么設(shè)計(jì)出的核 g ， ，所對應(yīng)的分布稱為減少干擾分布，即RID。RID主要強(qiáng)調(diào)如何抑制交叉項(xiàng)干擾，但同時(shí)也兼顧時(shí)頻分布的其它性質(zhì)?，F(xiàn)考察一下這類核對表441的Q0- Q10的滿足情況。這類核對 Q0無法保證滿足，但對 Q2, Q3是滿足的。這是因?yàn)橛捎?61 的g , 中的 和以乘積的形式出現(xiàn)，所以Q4g , 同樣和t , 無關(guān)。和Q5滿足，因此條件a對應(yīng)Q4和Q5由于由H 得到的g , 是實(shí)函數(shù)h t偶對稱，所以Q1滿足，即條件b保證了 Q1。此外，假設(shè)dHd 存在，條件b也保證了 Q6和Q7?，F(xiàn)

14、在考察條件c?，F(xiàn)將461 兩邊相對作傅立葉變換，即卩g,ejtdgt,jtd462 式中g(shù) t , 即是437 式的時(shí)域核。按462 式，H 的傅立葉反 變換對應(yīng)的是2 h t 。按傅立葉變換的變量加權(quán)性質(zhì)，有119jtHed2t 2 thh t2時(shí)，462 式恒為零，也即2t時(shí)條件c要求t 2時(shí)h t0,即是當(dāng)j tg ， ed 0。這正是Q8,同理，條件c意味著Q9滿足。條件d的目的是用以減少交叉項(xiàng)干擾，即令g ， 是， 平面的2 D低通函數(shù)，因此條件d滿足Q1O文獻(xiàn)74考察了不同h t所對應(yīng)的T F分布形式，如果：1假設(shè)h tt ，那么g ,1，對應(yīng)的分布是 WVD h t 滿足條件a、

15、 b和c，但不滿足d,因此 WVDf具備性質(zhì)P10及相應(yīng)的制約Q102假設(shè) h tt 2t 2 2，那么 g ,cos 2 ，對應(yīng)Re :Rihaczek 分布，h t也只滿足條件ac，不滿足d,所以該分布 也和WVD-樣，滿足P1P9,不滿足P10及相應(yīng)的制約 Q10b3假設(shè) h tt 2 ，那么 g ,ej，此為復(fù)數(shù)核形式的 Rihaczek分布，h t滿足條件a和c,不滿足條件5和d,因此該分布只滿足性質(zhì)P2P5和 P8P9。4假設(shè) h t 1 對 t 2,貝V g ,g2sin，對應(yīng)Born Jordn分布，所以該分布滿足性質(zhì) Ph t滿足條件ad 1P10。5假設(shè)h t2 exp t

16、222,此 h t 對應(yīng) Choi Wiliams 分布，h t 滿足條件a,小和d,所以相應(yīng)的T F分布有性質(zhì)P1P7和P10。由于4和5的h t對應(yīng)的分布滿足性質(zhì) P10,所以它們屬于減少干擾類 RID分布?，F(xiàn)以Born Jodan分布為例，說明這一設(shè)計(jì)方法的思路及所得到的核在四 個(gè)域內(nèi)的形狀。120Born的四個(gè)條件Jodan由BJ分布對應(yīng)的1,對 t 2。該 h t滿足上述adh t e i tdtsinsinH(464 )代替，得BJ分布的核，即這是模糊域的核函數(shù)其形狀如圖 461a所示。對應(yīng)域，有jt de jt令,，那么，利用傅立葉變換的定標(biāo)性質(zhì),sint12t ed h因?yàn)?t

17、，考慮到的存在區(qū)間是22,所以上式中的取值范圍是h t 是偶函數(shù)，有(465 )0 2t同理可得g t, 在 ，域的表示形式，即42hG,461 0 2g t , 和G ,的形狀如圖461 刀和d所示。在各自的平面上它們的存在范圍有著“蝴蝶結(jié)似的形狀。由于465 和466 式的對稱性。二者的形狀幾乎相同。由上面的導(dǎo)出過程可知，給定的 h t只要滿足條件c的時(shí)限性質(zhì)，其在 t， 和121，域的核的自變量的取值范圍必然要受到465 和466 式的制約。這也就是表4.4.1 中的制約 Q8和QQ最后，g,在 t ,域的表示形式應(yīng)疋 g,的2-D傅立葉變換,即G t ,g,e jtd d2 1ht ejd(4.6.7 )其形狀如圖4.6.1 b所示。由于BJ分布使用的h t是在212內(nèi)的矩形窗，所以g ，是， 平面的2-D sinc函數(shù)，但在 軸和 軸上