離散傅里葉變換dft

1、第三章離散傅立葉變換（DFT）3.1 離散傅立葉變換的幾種形式3.2 離散傅里葉變換（DFT）3.3 離散傅里葉變換的性質3.4 頻域采樣數(shù)字信號處理,；、:啖Digital signal processing土工離散傅立lO換的幾種形式1 .連續(xù)周期信號一一傅里葉級數(shù)(FS)2 .連續(xù)非周期信號傅里葉變換(FT)3 .離散非周期信號序列的傅里葉變換(DTFT)4 .離散周期信號 離散傅里葉級數(shù)(DFS)數(shù)字信號處理Digital signal processing3.2離散傅里葉變換.（ DFp3.2.1 離散傅里葉變換的定義有限長序列X"）的離散頻譜得從周期序列宜功的離散傅 里葉

2、級數(shù)的系數(shù)無中來求得，即：x*） 二又）Rn«） = X&k）N - %的4"）、戈伏）都是以川為周期的周期序列收（攵）的值完全可以由一個周期內的有限長序列宜九）來確定。取主值區(qū)間上的序列（即主值序列），就把離散傅里葉級數(shù)變?yōu)殡x散傅里葉變換。數(shù)字信號處理力 、, :IDigital signal processing n*1 r A f rt k -3；21離散傅里葉變換的定義有限長序列的DFT,定義為:N-1X(k) = Qb"M)=ZM")A， OWkWN-l (3.2二 01 N-Lx(n) = IDFTX(k)i =-0<n<

3、-l (322 N k=o2/r.其中明三）"。式（3.2-1）稱為M"）的/V點離散傅里葉變換(DFT )式(3. 2-2 )稱為片(火)的離散傅里葉逆變換（InverseDiscrete Fourier Transform, IDFT)。數(shù)字信號處理& .*力、g. . - - r*- oDigital signal processing3. 2.1離散傅里町變換的定義因為文(左)、工()只有衿獨立樣值，其它值均是這些樣值 的重復。所以在一個周期的有限長范 圍內計算DFS與DFT,其結果是一樣的。實質上DFT 就是將有限長序列作為周期序列的一個周期所進行 的離散

4、變換。DFT具有隱藏的周期性。而且DFT可以看作序列 傅里葉變換的近似，所以對連續(xù)函數(shù)的處理就可以 代之以離散采樣的處理。數(shù)字信號處理6 力、G. . - - r*- DDigital signal processing例題/j=0ii 旺 n=0 北CCS”是一個的有限長序列，求其離散傅里葉變換。解：序列的D FT為:X(k)= DFTTcos6ii=，cosnn 7噌射cos-e 126,左二 1/1,其它上且0«k<ll數(shù)字信號處理& ；司=、Q.盧8V. . DDigital signal processingr.° I v-i n » 4

5、4tx *>A P c, :一 L例題如圖所示:3-1武）及其DFT變換（N = 12）數(shù)字信號處理6 . -、. .- - L（）bDigital signal processing3.2.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系3. 2.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系設工5）是一個長度為"的有限長序列，對無5）進行Z變 換，X（N）=2才5）二”，7=0比較殯換與DFT的定義式，可以看到，當（。三6一1） 時，N7X （譏* = Z= r>FTx（«）H0數(shù)字信號處理& "、 ：產口Digital signal processin

6、g3.2.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系即：X/) = X(z)|z*/ ，0<k<N-l(3.2-3)Z = Wk 三e萼卜一 一， 一 2萬r 表明W/是z平面單位圓上輻角為口 =獷左的點，也即將z平面單位圓片等分后的第4點，所以x(幻也 就是對X(z)在郤面單位圓上的憔等間隔采樣值。DFT與序列傅里葉變換的關系為:XQk) = *0川)2兀,zt>=-kNjk>X(Jz )(3.2-4)數(shù)字信號處理Digital signal processing小一% n » *、X * F A f fl r ': “品囑惠 麗與喇傅里時變換.2變換

7、的關系式（3.2-4）說明X（A）也可以看作序列 式）的傅里葉變換x（V）茬區(qū)間0, 2冗 上的旅等間隔采樣，其采樣間隔為 這就軻T的物理意義。顯而易見，DFT的變 換區(qū)間長度N不同，表示對X©&）在區(qū)間0, 2n上的采樣間隔和采 樣點數(shù)不同，所以DFT的變換結果也不同。10數(shù)字信號處理8 M14c、 ,：產口Digital signal processingid*. V - M .Q.-£s« 寺:.O6 X / 5-<5 Oj.*，.譽/*C VTf f73-2DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系$ 2.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關系1

8、1數(shù)字信號處理支 .印35*、«.產",- - L 口力Digital signal processing3. 2. 3 DFT的隱含周期性按照DFT的定義，龍()與x均為有限長序列，但是證:式)與X(k)均隱含周期性，且周期為N。NTN-1X(k + mN) = £%(麓)卬$= £式5 網八=X(k)77=0n=Q同理,x(n + mN) x(ri)12數(shù)字信號處理& 、： L。Digital signal processing<i離散傅里肝變換的基本性質 tto J* o3P- ： ° X1、線性性質z、對藤定強3、時間反轉

9、定理4、序列求和6、序列的循環(huán)移位7、循環(huán)卷積 8、帕塞瓦爾定理8用 9、DFT的對稱性13數(shù)字信號處理4* * '、,尸D7 L DDigital signal processingi W n » «* »A P A 9? Lt 3離散傅里葉變換的基本性質1、線性性質vp(zi) = ax(n) + by(n)取"=應凡'項,若 取)和丁 對應的腐DFT分別為X(女)和V仕) ，則的點DFT為W = aX(k)+bY(k)(3.3-112、爾定理設序列的N點DFT為x(n)則當時間序列為X(Z即具有頻譜序列的形狀時,其對應的DFT為DF

10、TX(n) Nx(N-k)(3.3-2)""數(shù)字信號處理14Digital signal processing3.3離散傅里時變換的基本性質 3、時間反轉定理DFTx(N-n) = X(N-k)(3.3-3)4、序列求和H-1N-129)=X(k)慮=>眼戒k=0ji=O/i=05、初值定理N-i“(°)= 77ZX(A)N於0數(shù)字信號處理d 、,：產口(3. 3-4 ) 3-5 )15Digital signal processing3.3離散傅里葉費換的基本蟠6、序列的循環(huán)移位：(1)序列循環(huán)移位的定義序列x(n),x(n)n以N為周期，進行周期延拓，得

11、至IJ其AMS).()-A-M數(shù)字信號處理&牙Ji* 、'產士匕， L 口Digital signal processing16備盤毒散傅里葉變換的基本礴數(shù)字信號處理Digital signal processing3.3離散傅里葉變換的基本性質 U1O JX O3 JrPc O «.(2)時域循環(huán)移位定理設長度為N的有限長序列”5)的N點DFT為X(Z), y(n)為x(n) 的循環(huán)移位，即y5) = %( + 喻)nRn 5)(3. 3-6)18Y(k) = DFTy(nJ=3/'9(左) 1/ .數(shù)字信號處理& 刃2=*、,：產口Digital

12、signal processingta離散他里叫的基本如旅*1 P "，i.*(3)頻域循環(huán)移位定理,、- 內 /-j(竺澗yn= IDF7Y(k) = Wlx(n) = e N x(n) /令m=k+L,則有(3.3-7)證明;y(n)= iDFTYk= IDF7X(k + l)Mk)NT二房Xx(伏+/%也)叫產N "o1 N -11 n-My()二町 m£x(m)N%rN MI N-I二 w,癡，X(MW二"N m4二 whW設長度為N的有限長序歹U無 的川點DFT為X(k),且丫jX(A + /)A外的 則19數(shù)字信號處理Digital sign

13、al processing£3離散傅里葉變換的基本性質7、循環(huán)卷積<1)定義Xj(rt) = x(n) * x2(n)NT=X 8(陽)2 ("- m)N & ®wi=ON-l=£巧(加)芯(九-m)N RN (W)m=0玉5)和X2(n)均是長度為的有限長序列。20數(shù)字信號處理Digital signal processing立3 ：高散傅里葉變換的科性質循環(huán)卷積計算過程如圖，為（/!卜西（用）2-5 -3 TO 1 2 3 4 5 6 7 8 91 %仞）唐（川）一.【*_ I1JJ121數(shù)字信號處理Digital signal pro

14、cessing3.3 ：離散傅里葉變換的勢性質,瓜卜?。㎞*2(C)以(1-必k:IILU八I LIe22數(shù)字信號處理力、'' : r 數(shù)字信號處理6 50=*、 *產 DDigital signal processingDigital signal processing3.3離散傅里葉變換的基本性質059圖34循環(huán)卷積過程示意圖23因為卷積過程只在主值區(qū)間1內進行-m)"實際上就 是心(M的循環(huán)移位oti離散傅里葉變換的乳性質,C ° 一（2）時域循環(huán)卷積定理設公（相）和/5）分別是長度為M和N?的有限長序列，取N-nmCNuM6即X Xk) = DFTx

15、(n)X 2(k) = DFTx2X,*) = Xlk)X<k)覆()=IDF7Xk)N-1=2%(加)片("用)N%()w=0NT=2迎（5）&（5- m）N“（） 第二0.數(shù)字信號處理裝、,：產口Digital signal processing24備豆離散傅里葉變換的日鵬,C 。 一證明;對上式兩邊直接進行DFT,X 式左)=DFTx3 (w)N -I NT=X為OX (5 -/Rn 5)卬出nO rnONTNT=2 巧(加)£ %2 (" m)N WNn mOn=0“TNj”*3(左)=工巧5z) 2%(5')#w然小扁n <o

16、tntNt-hi=2>式加)吐£心(伽”吠汴 D“，NJ”Z-iZ5=2>,5)吐 NWW/M«0"=00< k < N-I25數(shù)字信號處理% .*力、Q. : L 0Digital signal processing23離散傅里葉變換的基本性質（3）頻域循環(huán)卷積定理 若、3（）=為（"）巾式）,則XM = DFT。° b >/ e1 NT= fZxN)X 式 *T)nRn i NT=卷工工式/)*(色一。)附氏處(女)N z26數(shù)字信號處理% .*、g. . - - r*- oDigital signal pro

17、cessing3 3離散俾里葉變換的基 8、帕塞瓦爾定理(Parseval)設長度為人的有限長序列尢()的4點DFT為X(A) ,則NT1 N-1(3.3-8)表明一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的,即能量守恒原理“27數(shù)字信號處理d .*力、=. - - r*- DDigital signal processing3.3離散傅里時變換的基本性質U卜O JA O9 ITPc O M.9、DFT的對稱性因為把有限長序列看成周期為俐時間序列中的一個周期,因此有:x(一") = X(N n)(3. 3-9)X(k)=X(2V大)C3u 3-10)Cl)奇偶序列的DFT奇對稱

18、 若 x(n)=-x(-n)=-x(N-n), 則 X(份二-X(-祐-X(AM)偶對稱 若 x()= x(n) = xtN - n)則 X(府= X(Y)= X(NlE)28數(shù)字信號處理Digital signal processingti :離散傅里葉變換的玨性質,C ° 一(2)共加復序歹U的DFT設長度為人的有限長序列”5)的川點DFT為X(k),則加K® = x*一初n時= X*(N-初 n&5)= X'(N - k),OvkwN -1X(外可認為是分布在A等分的圓周上，它的末點即它的起點,X(N) = X(O)所以凡是 x(N)都認為有 X(N)

19、lX(O) 0數(shù)字信號處理d ,力、:"口3-11)29Digital signal processing33離散俾里時變換的基本性質(3) DFT的共物對稱性如同任何實函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣，任何 有限長序列工5)都可以表示成其共鈍對稱分量七05)和共軌反對稱 工叩5)分量之和，即%()二匕p() + %5)0<n<N-lC3.3-12)則DFTxtpy = DFt |(x(n)+x(jV -«)=J DFTx(h)-f I DFT (N 一編= ；X3 + X*®同理可得=ReX(i)Z)FT(/i)= J Im X (Jt)數(shù)

20、字信號丸理30& . 力"產它匕 * L 口Digital Signal processing'3. .3離散傅里葉變換的基本性質， H W丫o JX o9 itpc o ».又假設將序列武九）分成實部和虛部，即其中xO) = xr()+ jxt 5)(3.3-13)怎 5) = Rex(n) = x(n)+x*(n) j&5) = j ImxS) = ；x() 一 /()則、Z 1 廿八DF7IE(初= X,p= 3X(k)+X (N切 n川 M)=X。*)=;x(k)-f(N-協(xié)Zj(3.3-14)(3.3-15)數(shù)字信號處理d .-力、&quo

21、t;. - - F*- oDigital signal processing3133離散傅里時變換的基本性質 所以，由DFT的線性性質可以得到x(k) = DFTx(n) = X C Xop(k) 3-16)其中，X0(幻=為X(A)的共朝對稱分量，X叩(媳=小丁丸()為X (k)的共輾反對稱分量532數(shù)字信號處理明 "力、 *：產口Digital signal processing3.4頻域采樣定理頻域采樣的特性與時域采樣對偶，即對時 間序列的連續(xù)頻譜函數(shù)在頻域等間隔采樣， 則采樣得到的離散頻譜對應時域序列將是原 時間序列的周期延拓序列，這一特性將與時 域采樣，頻域周期延拓相對偶。33數(shù)字信號處理&、:"口Digital signal processing證明設任意序列X«）絕對可和,其儂換和傅里葉變換分別表示為:x（z） = £Jl =-ooX（e*）二£式所即力三YO我出=x（/）L.=5位）丁壽.九=-00=£ X（JI）WJ/