遠(yuǎn)期和期貨定價

1、金融工程學(xué)教學(xué)提綱第二章遠(yuǎn)期和期貨定價一、遠(yuǎn)期和期貨市場1、遠(yuǎn)期和期貨的由來人類交易方式的演進：易貨交易現(xiàn)貨交易遠(yuǎn)期交易期貨交易2、遠(yuǎn)期合約的定義遠(yuǎn)期合約(Forward Contracts )是一種最為簡單的衍生金融工具。它是指雙方約定在未來某 一個確定的時間，按照某一確定的價格買賣一定數(shù)量的某種資產(chǎn)的協(xié)議。在合約中，雙方約定買賣的資產(chǎn)稱為“標(biāo)的資產(chǎn)”，約定的成交價格稱為“協(xié)議價格”或“交割價格”(Delivery Price )。3、期貨合約的定義期貨合約(Futures Contracts )是指協(xié)議雙方同意在約定的將來某個日期按約定的條件(包 括價格、交割地點、交割方式等)買入或賣出一

2、定標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量的某種標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)議。合 約中規(guī)定的價格就是期貨價格(Futures Price )。4、交易所和清算所(1)有組織的交易所(The Organized Exchange )各個交易所的制度特征。(2)清算所(The Clearinghouse )清算所往往是大型的金融機構(gòu)；清算所充當(dāng)所有期貨買者的賣者和所有賣者的買者，交易雙方就無須擔(dān)心對方違約；同時，清算所作為每筆期貨交易賣者的買者和買者的賣者，同時擁有完全匹配的多頭和空頭頭寸。(3)標(biāo)準(zhǔn)化合約4、現(xiàn)貨、遠(yuǎn)期和期貨的區(qū)別二、遠(yuǎn)期定價1、基本的假設(shè)和符號基本的假設(shè)(1)沒有交易費用和稅收。(2)市場參與者能以相同的無風(fēng)險利率借

3、入和貸出資金。(3)遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險。(4)允許現(xiàn)貨賣空行為。(5)當(dāng)套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們算出的理 論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。符號T:遠(yuǎn)期合約的到期時間，單位為年。四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月金融工程學(xué)教學(xué)提綱t:現(xiàn)在的時間，單位為年。Tt代表遠(yuǎn)期約中以年為單位的期限。S:標(biāo)的資產(chǎn)在時間t時的價格。St：標(biāo)的資產(chǎn)在時間 T時的價格。K:遠(yuǎn)期合約中的交割價格。f:遠(yuǎn)期合約多頭在t時刻的價值。F: t時刻的遠(yuǎn)期合約中標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期理論價格。r： T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的t時刻的無風(fēng)險利率（年利率）。2、無套利定價法無

4、套利定價法的基本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等。否則就存在套利機會，套利者可以賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并 持有到期末，賺取無風(fēng)險收益。眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價格 上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現(xiàn)值相等。3、無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價我們可以構(gòu)建如下兩種組合：組合A: 一份遠(yuǎn)期合約1多頭加上一筆數(shù)額為 Ker J。的現(xiàn)金；組合B: 一單位標(biāo)的資產(chǎn)。在組合A中，Ker的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，投資期為（Tt）。到T時刻，其金額將達到 Ko這是因為：Ke-TT）x Ke

5、r"t）=K。這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換 來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。1該合約規(guī)定多頭在到期日可按交割價格K購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)。在T時刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。即：f+ Ke -Tr=Sf=S - Ker 'T”（2.1 ）公式（2.1 ）表明，無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的 差額?；蛘哒f，一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ker單位無風(fēng)險負(fù)債組成。4、現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理由于遠(yuǎn)期價格（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）,即當(dāng)f=0時，K=F。據(jù)此可以令（2.1 ）式中f

6、=0 ,則F=Se r'Tt）（2.2）這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價定理（Spot-Forward Parity Theorem ）,或稱現(xiàn)貨期貨平價定理（Spot-Futures Parity Theorem）。公式（2.2）表明，對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。假設(shè)F>Se r（T-t）,即交割價格大于現(xiàn)貨價格的終值。套利者可以按無風(fēng)險利率r借入S現(xiàn)金，期限為 Tt。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價格為F。在T時刻，該套利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來F現(xiàn)金，并歸還借款本息 Se ri;這就實現(xiàn)了 FSer&qu

7、ot;” 的無風(fēng)險利潤。四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月金融工程學(xué)教學(xué)提綱假設(shè)FvSe r（TT1即交割價格小于現(xiàn)貨價格的終值。套利者就可進行反向操作， 即賣空標(biāo)的資產(chǎn)，將所得收入以無風(fēng)險利率進行投資， 期限為T-t , 同時買進一份該標(biāo)的資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價為F。在T時刻，套利者收到投資本息 Ser（T-t）并以F現(xiàn)金購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，用于歸還賣空時借入的標(biāo)的資產(chǎn)，從而實現(xiàn)Ser口 一 F的利潤。3個月，假設(shè)標(biāo)的股例如我們考慮一個股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利。合約的期限是票現(xiàn)在的價格是30元，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率為4%那么這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價格應(yīng)該為：如果市場上該合

8、約的交割價格為30.10元，則套利者可以賣出股票并將所得收入以無風(fēng)險利率進行投資，期末可以獲得30.30 30.10 =0.20元。反之，如果市場上的遠(yuǎn)期合約的交割價格大于30.30元，套利者可以借錢買入股票并賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無風(fēng)險的利潤。例2.1設(shè)一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為 6個月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價格為$930,6個月期的無風(fēng)險年利率（連續(xù)復(fù)利）為 6%該債券白現(xiàn)價為$910。計算該遠(yuǎn)期合約多頭的價 值。解：根據(jù)公式（2.1 ）f=910 -930 e°5 0.06 =$7.49例2.2假設(shè)一年期的貼現(xiàn)債券價格為$950, 3個月期無風(fēng)險年利率為5%

9、,則3個月期的該債券遠(yuǎn)期合約的交割價格為多少？解：根據(jù)公式（2.2 ）F=950e005 025 =$9625、支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價我們令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I ,則有f=S - I - Ke " T t）（2.3）其中，I可以為負(fù)，如黃金、白銀等。公式（2.3）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn) 金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差?；蛘哒f，一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約 多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和 I+Ke -r 'J）單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。根據(jù)F的定義，我們可從公式（2.3）中求得：_r （T t）z . . xF=（

10、S - I）e（2.4）這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。公式（2.4）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益 現(xiàn)值差額的終值。例2.3假設(shè)6個月期和12個月期的無風(fēng)險年利率分別為9嗨口 10%而一種十年期債券現(xiàn)貨價格為990元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價格為1001元，該債券在 6個月和12個月后都將收到$60四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月金融工程學(xué)教學(xué)提綱的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價值。根據(jù)已知條件，我們可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值：I=60 e元根據(jù)公式(2.3),則該遠(yuǎn)臂白約多頭的價值為：f

11、=990 - 111.65 - 1001e 01 1=-$27.39 元。0.5 +60e -0.10 1 =111.65例2.4假設(shè)黃金的現(xiàn)彳為每盎司 450美元，其存儲成本為每年每盎司 年利率為7%問一年期黃金遠(yuǎn)期價格？2美元，在年底支付，無風(fēng)險F=(450 I)e0.071-0.07其中，I= -2e1=-1.865 ,故：F=(450+1.865) e1 =484.6 美元/盎司6、支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(1)支付已知收益率q資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(2.(5)公式(2.5)表明，支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價值等于e-q(T-t)單位證券的現(xiàn)值與交割價現(xiàn)值之差。或者說，一單位支付已

12、知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由e -q單位標(biāo)的資產(chǎn)和 Ke -r (,單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。根據(jù)遠(yuǎn)期價格的定義，我們可根據(jù)公式(2.5)算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格：(2.(6)這就是支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。公式(2.6)表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于按無風(fēng)險利率與已知收益率之差計算 的現(xiàn)貨價格在 T時刻的終值。例2.5A股票現(xiàn)在的市場價格是25美元，年平均紅利率為 4%,無風(fēng)險利率為 10%,若該股票6個月的遠(yuǎn)期合約的交割價格為27美元，求該遠(yuǎn)期合約的價值及遠(yuǎn)期價格。(2)外匯遠(yuǎn)期的定價外匯屬于支付已知收益率的資產(chǎn)，其收益率是該外匯發(fā)行國連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率，用rf

13、表示。我們用S表示以本幣表示的一單位外匯的即期價格，K表示遠(yuǎn)期合約中約定的以本幣表示的一單位外匯的交割價格，即S、K均為用直接標(biāo)價法表示的外匯的匯率。根據(jù)公式(2.5),我們可以得出外匯遠(yuǎn)期合約的價值：(2.(7)根據(jù)公式(2.7),我們可得到外匯遠(yuǎn)期價格的確定公式：(2.(8)其中，F(xiàn)是T時刻遠(yuǎn)期匯率，S是t時刻即期匯率。國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系。它表明，若外匯的利率大于本國利率，則該外匯的遠(yuǎn)期匯率應(yīng)小于現(xiàn)貨匯率(貼水)；若外匯的利率小于本國的利率，四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月金融工程學(xué)教學(xué)提綱則該外匯的遠(yuǎn)期匯率應(yīng)大于現(xiàn)貨匯率(升水)(3)遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價遠(yuǎn)期利率協(xié)議

14、(Forward Rate Agreements , FRA是買賣雙方同意從未來某一商定的時期開 始在某一特定時期內(nèi)按協(xié)議利率借貸一筆數(shù)額確定、以具體貨幣表示的名義本金的協(xié)議。遠(yuǎn)期利率協(xié)議的買方是名義借款人，其訂立遠(yuǎn)期利率協(xié)議的目的主要是為了規(guī)避利率上升的風(fēng)險。遠(yuǎn)期利率協(xié)議的賣方則是名義貸款人，其訂立遠(yuǎn)期利率協(xié)議的目的主要是為了規(guī)避利率下降 的風(fēng)險。設(shè):F為在T時刻交割的遠(yuǎn)期價格F *為在T*時刻交割的遠(yuǎn)期價格r 為T時刻到期的無風(fēng)險利率r *為T*時刻到期的無風(fēng)險利率* .一、為T到T時刻的無風(fēng)險遠(yuǎn)期利率F=Ser T t)(2.9)(2.10)(2.(9) 2.10)兩式相除消掉 S后，(

15、2.(11)另外我們可以得到：(2.(12)由(2.11)和(2.12),得遠(yuǎn)期利率：(2.13)例2.6假設(shè)2年期即期年利率(連續(xù)復(fù)利，下同)為 10.5%, 3年期即期年利率為 11%本金為100萬美元的2年 3年遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率為11%請問該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合同利率等于多少？根據(jù)公式(2.13),該合約理論上的合同利率為：(4)遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的定價遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議是指雙方在現(xiàn)在時刻(t時刻)約定買方在結(jié)算日(T時刻)按照合同中規(guī)定的結(jié)算日直接遠(yuǎn)期匯率(K)用本幣向賣方買入一定名義金額(A)的外幣，然后在到期日(T*時刻)再按合同中規(guī)定的到期日直接遠(yuǎn)期匯率( K*)把一定名義金額(在

16、這里假定也為A)的原貨幣出售給賣方的協(xié)議。在這里，所有的匯率均指用本幣表示的一單位外幣的匯率。根據(jù)該協(xié)議，多頭的現(xiàn)金流為：T時刻：A單位外幣減 AK本幣T*時刻：AK*本幣減A單位外幣我們令rf代表在T時刻到期的外幣即期利率，r*f代表在T*時刻到期的外幣即期利率，則:四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月10金融工程學(xué)教學(xué)提綱我們將本幣和外幣分別按相應(yīng)期限的本幣和外幣無風(fēng)險利率貼現(xiàn)成現(xiàn)值，再將外幣現(xiàn)金流現(xiàn) 值按t時刻的匯率（S）折成本幣。（2.14）根據(jù)遠(yuǎn)期匯率公式（2.8）,有：(2.15)(2.16)將公式（2.15）和（2.16 ）代入公式（2.14 ）得：（2.17）有的遠(yuǎn)期外

17、匯綜合協(xié)議直接用遠(yuǎn)期差價規(guī)定買賣w原貨幣時所用的匯率.我們用W嚷示T時刻到T*時刻的遠(yuǎn)期差價。定義 W*=F*F,表示遠(yuǎn)期差價。將公式（2.15）和（2.16）代入，我 們可以得到：（2.18）我們用 Wgt示t時刻到T時刻的遠(yuǎn)期差價，我們可以得到:W=F-S(2.19)例2.7假設(shè)美國2年期即期年利率（連續(xù)復(fù)利，下同）為 8% 3年期即期年利率為 8.5%,日本2年 期即期利率為 6% 3年期即期利率為 6.5%,日元對美元的即期匯率為 0.0083美元/日元。本金 1億日元的2年 3年遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議的 2年合同遠(yuǎn)期匯率為 0.0089美元/日元，3年合同遠(yuǎn) 期匯率為0.0092美元/日元

18、，請問該合約的多頭價值、 理論上的遠(yuǎn)期匯率和遠(yuǎn)期差價等于多少？根據(jù)公式（2.15）, 2年期理論遠(yuǎn)期匯率（F）為：美元/日元根據(jù)公式（2.16）, 3年期理論遠(yuǎn)期匯率（F*）為:美元/日元7、遠(yuǎn)期價格和期貨價格的關(guān)系根據(jù)羅斯等美國著名經(jīng)濟學(xué)家證明1,當(dāng)無風(fēng)險利率恒定，且對所有到期日都不變時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。四川大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院金融工程系楊整2010年3月11金融工程學(xué)教學(xué)提綱思考與練習(xí)1、目前黃金價格為 500美元/盎司，1年遠(yuǎn)期價格為700美元/盎司。市場借貸年利率為 10% 假設(shè)黃金的儲藏成本為 0,請問有無套利機會？2、假設(shè)一種無紅利支付的月票目前的市價為20元，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為 10%求該股票3個月期遠(yuǎn)期價格。3、假設(shè)恒生指數(shù)目前為 10,000點，香港無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%恒生指數(shù)股息收益率