三階行列式展開

1、9.4 2三階行列式 按一行或一列展開一、教學內容分析三階行列式按一行或一列展開是三階行列式計算的另外一種法 那么,學習這種法那么有助于學生更好地理解二階行列式、三階行列式的內在聯(lián)系,同時這個法那么也是較復雜的行列式計算的常用方法,這個法那么更是蘊涵了數(shù)學問題研究過程中將復雜問題轉化為簡單問題的 研究方法.本節(jié)課的教學內容主要圍繞代數(shù)余子式的符號確實定研究 三階行列式按一行或一列展開法那么.二、教學目標設計 掌握余子式、代數(shù)余子式的概念； 經(jīng)歷實驗、分析的數(shù)學探究,逐步歸納和掌握代數(shù)余子式的 符號確實定方法和三階行列式按一行或一列展開方法,體驗研究數(shù) 學的一般方法；3體會用簡單二階行列式刻畫復

2、雜三階行列式、將復雜 問題簡單化的數(shù)學思想.三、教學重點及難點三階行列式按一行或一列展開、代數(shù)余子式的符號確實定.四、教學過程設計一、情景引入【實驗探究111將以下行列式按對角線展開：b24a2%C2C3C2c3a? a3 b b3b2b3bb2Gc2a2a3CiC3 bi b2 b3C1C2c32比照、分析以上幾個行列式的展開式,你能將三階行列式aia2a3bi b2 b3C2表示成含有幾個二階行列式運算的式子嗎?說明(1)請學生展開幾個行列式的主要目的是：穩(wěn)固復習前面學習的 知識；同時,有意識地設計這幾個行列式的展開,有助于學生發(fā)現(xiàn)三ai bi ci階行列式a? b2 C2與相應的二階行列

3、式間的關系.a3 ba C3ai將三階行列式a2aab1 c1b2 C2表示成幾個含有二階行列式運算的ba C3a1b1g式子,結果可能不唯一,可以有a2 b2c2a1b2c2b1a2c2C1a2b2,b3C3aaC3aaba等等二、學習新課1 .知識解析a1b1C1在剛剛的實驗中,將三階行列式a2 b2 C2表不成了含有三個二aabaCa階行列式運算的式子,主要有:a1a2 aaa1a2 aaa1a2 aab1 C1 b2 C2 ba Ca b1 C1 b2 C2 ba Cab1C1b2C2baCaa1a1b2bab2b3C2CabiC2Cab1a2a2C2aaCabiC1aaCab2a G

4、aacaC1aaa2b2aabab1C1b2C2baaC1a2C2等等.請同學生選擇其中的一個為例談談他們是如何發(fā)現(xiàn)這些等式的？a1ble1事實上,以 a2 b2 C2 aa ba Caa1b2bab1a2c2c1a2b2為例,先將展aaC3aabaabC1開式a2dc2aabaCaaab1C2aab2C1azbQa abaC2 變形為:a1bl ga2b2c2a3b3c3(ab2c3 a,b3c2) (a3b£2 azba) (a2b3G a3b2.),然后分另U提取公因式,可以得到a1blga2 b2 c2a3 h qa1(b2c3 b3c2) h(a3c2 8263) Ci(a

5、2 0 a3b2)再利用實驗中已有的展開式b2 c3b3C2a2c3 a3c2a2 b3a3b2b2c2b3c3a2 ca3 c3a2 b2a3a從而很容易就得到結果了.其中二階行列式、分別叫做元素ai, bi ,.的余子式,添上相應的符號正號省略,如b2c2b3c3Bia2Qa3c3Cia2 b2a3 b3A、Bi、Ci分別叫做元素ai, b, c,的代數(shù)余子式.于是三階行列式可以表示為第一行的各個元素與其代數(shù)余子式的乘積之和:aia2a3h Gb2c2b3c3aib2c2qa2a3c2c3a2b2a3th象這樣的展開,我們稱之為三階行列式按第一行展開.類似的,我們可以將三階行列式按第二行或

6、按列展開. 從上述研究,我們不難 發(fā)現(xiàn)這種展開方法的關鍵是要找到三階行列式某一行或某一列各個 元素的代數(shù)余子式.不難發(fā)現(xiàn),要確定某元素的代數(shù)余子式,我們可 以先確定其余子式,然后確定代數(shù)余子式符號,而最主要的就是其符 號確實定.為了讓學生有較深刻的體會,教師可以組織學生完成實驗 探究2 .【實驗探究2】請學生結合剛剛確定ai, bi, g的余子式和代數(shù)余子式的方法, 完成下表,并試著研究某個元素的代數(shù)余子式確實定方法.【工作11填寫下表:項元目素、余子式代數(shù)余子式a2a3b2b3C2c3【工作2】總結代數(shù)余子式確實定方法： 說明1以上實驗主要由學生合作完成,實驗的目的主要是讓學生經(jīng) 歷實驗、歸

7、納、猜測、抽象并獲得新知的過程；2教師可以將學生分成數(shù)個學習小組,合作實驗研究,并交流 研究結果,最后由教師總結.3通過上述研究,教師要引導學生發(fā)現(xiàn)：確定某個元素的余子式其實就是將這個元素所在的行和列劃去,將剩下的元素根據(jù)原來的 位置關系所組成的二階行列式；而這個元素的代數(shù)余子式與該元素所 在行列式的位置即第i行,第j歹U有關,其代數(shù)余子式的正負號是 “1j.一般地,三階行列式可以按其任意一行 或一列展開成該行或 該列的各個元素與其代數(shù)余子式的乘積之和.其中,最關鍵的是確 定三階行列式某一行或某一列各個元素的代數(shù)余子式尤其是其符號.2 .例題解析302例題1.按要求計算行列式：2132311按

8、第一行展開；2按第一列展開.說明（1） 一個三階行列式可以按其任意一行或一列展開,其中,最 關鍵的是確定三階行列式某一行或某一列各個元素的代數(shù)余子式 尤 其是其符號；2當一個三階行列式的某一行或某一列元素中,0的個數(shù)較 多,我們往往將行列式根據(jù)該行或該列,這樣計算往往比擬方便.例題2.計算:1 a ba d edZQ b2 c2 a2 c2a2（2） a2b2c2(2)0b3 c3 a3 G%參考答案R (1)0 說明1設計這樣一組例題主要有兩個目的：一,考查學生的逆向思維水平；二,為后續(xù)知識的學習做準備；2由例題22計算結果,我們可以發(fā)現(xiàn)：如果將三階行列式的某一行或一列的元素與另一行或一列

9、的元素的代數(shù)余子式對應相乘,那么它們的乘積之和為零；如果一個二階行列式或三階行列式有兩行或兩列相同,那么 這個行列式等于零.3 .問題拓展思考：我們上節(jié)課已經(jīng)學習了三階行列式展開的對角線法那么,為什么這節(jié)課還要學習按一行或按一列展開呢？你覺得這有什么意 義嗎？說明一個三階行列式按一行或按一列展開后就轉化為二階行列式 的運算,這種將復雜問題轉化為簡單問題的思想方法是數(shù)學研究中常 用的方法.只要學生能領悟到這一點,馬上就可以意識到任何一個行 列式哪怕是n階行列式最后都可以轉化為二階行列式的運算.三、穩(wěn)固練習教材第99頁,練習9.4.四、課堂小結1余子式、代數(shù)余子式的概念；2三階行列式按一行或一列展開方法.五、作業(yè)布置根據(jù)學生的具體情況,對習題冊中的問題進行增減.五、教學設計說明本節(jié)課的教學內容是三階行列式按一行或一列展開方法,從內 容上看,這局部內容與上節(jié)課一樣,同樣概念性比擬強,同樣容易上