傅立葉變換的原理、意義和應(yīng)用

1、傅立葉變換的原理、意義和應(yīng)用1概念：編輯傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法,它可分析信號(hào)的成分,也可用這 些成分合成信號(hào).許多波形可作為信號(hào)的成分,比方正弦波、方波、鋸齒波等,傅里葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分.參考?數(shù)字信號(hào)處理?楊毅明著p.89,機(jī)械工業(yè)出版社2022年發(fā)行.定義f(t)是t的周期函數(shù),如果t滿足狄里赫萊條件：在一個(gè)周期內(nèi)具有 有限個(gè)間斷點(diǎn),且在這些間斷點(diǎn)上,函數(shù)是有限值；在一個(gè)周期內(nèi)具 有有限個(gè)極值點(diǎn)；絕對可積.那么有下列圖式成立.稱為積分運(yùn)算f(t) 的傅里葉變換,式的積分運(yùn)算叫做F(o)的傅里葉逆變換.F(o)叫做f(t)的像 函數(shù),f(t)叫做F ( 3)的像原函數(shù).F

2、( 3)是f(t)的像.f(t)是F ( 3)原像.傅里葉變換二萬二出父的心一8傅里葉逆變換8/二尸伸引二巴3打加一時(shí)中文譯名Fourier transform 或 Transform e e de Four商多個(gè)中文譯名,常見的 有傅里葉變換、付立葉變換、傅立葉轉(zhuǎn)換"、傅氏轉(zhuǎn)換: 傅氏 變換、等等.為方便起見,本文統(tǒng)一寫作 傅里葉變換,應(yīng)用傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概 率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都 有著廣泛的應(yīng)用例如在信號(hào)處理中,傅里葉變換的典型用途是將信 號(hào)分解成幅值譜 顯示與頻率對應(yīng)的幅值大小.相關(guān)* 傅里葉變換屬

3、于諧波分析.* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解 可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi), 頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜鼓勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其 對不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取；* 卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡單手段；* 離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出其算法稱 為快速傅里葉變換算法FFT,12性質(zhì)編輯線性性質(zhì)傅里葉變換的線性,是指兩函數(shù)的線性組合的傅里葉變換, 等于這兩 個(gè)函數(shù)分別做傅里葉變換后再進(jìn)行線性組

4、合的結(jié)果. 具體而言,假設(shè) 函數(shù)/和的傅里葉變換廠【月和廠圉都存在,a和為任意常系數(shù),那么有尺度變換性質(zhì)假設(shè)函數(shù)人工的傅里葉變換為,那么對任意的非零實(shí)數(shù)n,函數(shù)%=/(狗的傅里葉變換存在,且等于F(3 = # 圖對于a > 0的情形,上式說明,假設(shè)將門幻的圖像沿橫軸方向壓縮 倍,那么其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬n倍,同時(shí)高度變?yōu)樵瓉淼?對于a < 0的情形,還會(huì)使得傅里葉變換的圖像關(guān)于縱軸做鏡像對稱.平移性質(zhì)假設(shè)函數(shù)門幻的傅里葉變換為F®,那么對任意實(shí)數(shù),函數(shù)儲(chǔ)=/碇兩工也存在傅里葉變換,且其傅里葉變換%卬等于產(chǎn)鈾必二也就是說,可由F向右平移得到.微分關(guān)系假設(shè)函數(shù)門

5、幻的傅里葉變換為F®,且其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在,那么有尸八刈二皿F的即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子山.更一般地,假設(shè)門幻的 階導(dǎo)數(shù)嚴(yán)的傅里葉變換存在,那么產(chǎn)/叫磯二皿陽切即n階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子皿卷積特性假設(shè)函數(shù)門幻以及£都在取上絕對可積,那么卷積函數(shù)十g的傅里葉變換存在,且尸丁加=尸用尸Parseval定理以及Plancherel定理假設(shè)函數(shù)門幻以及平方可積,二者的傅里葉變換分別為與G3),那么有£+CW1f(x)g*(x)tix = JF但上式被稱為Parseval定理.特別地,對于平方可積函數(shù)門分,有

6、3;+(» p twlf(x)l2x= -J|F 2 .上式被稱為Plancherel定理.這兩個(gè)定理說明,傅里葉變換是平方可積空間L2上的一個(gè)運(yùn)算符(假設(shè)不考慮因子1/2ji)°3特殊變換編輯連續(xù)傅里葉變換一般情況下,假設(shè) 傅里葉變換一詞的前面未加任何限定語,那么指的是連續(xù)傅里葉變換連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f(0表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分形式：1 r+w上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換,即將時(shí)間域的函數(shù)表示為頻率域的函數(shù)F同的積分.反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數(shù)F(表示為時(shí)間域的函數(shù)的積分形式.一般可稱函數(shù)f為原函數(shù),而稱函數(shù)為傅里葉變換的像函數(shù),原函數(shù)和像

7、函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(transform pair).當(dāng)為奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí),其余弦或正弦分量為零,而可以稱這 時(shí)的變換為余弦變換或正弦變換.傅里葉級(jí)數(shù)主條目：傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣,由于積分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已.對于周期函數(shù),它的傅里葉級(jí)數(shù)Fourierseries表示被定義為：加二£片產(chǎn)5廳其中T為函數(shù)的周期,&為傅里葉展開系數(shù),它們等于1 T721 J-Tf2對于實(shí)值函數(shù),函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：刖=華+九Sin華18=1其中an和bn是實(shí)頻率分量的振幅.離散時(shí)間傅里葉變換 主條目：離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換(di

8、screte-time Fourier transform, DTFT)針對的是定義域?yàn)閄的數(shù)列.設(shè)為某一數(shù)列,那么其DTFTM定義為相應(yīng)的逆變換為十PC一gDTFT在時(shí)域上離散,在頻域上那么是周期的,它一般用來對離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析.DTFTW以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆.離散傅里葉變換 為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換,必須將函數(shù)定義在離散點(diǎn)上而非連續(xù)域內(nèi),且須滿足有限性或周期性條件.這種情況下,序列的離散傅里葉變換discrete Fourier transform, DFT 為N-ln=0其逆變換為1 N-L二 diJ2reJf«/NW-直接使用DF

9、T的定義計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為O(N2j,而快速傅里葉變換fast Fourier transform, FFT可以將復(fù)雜度改良為Ottlog.計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算水平的開展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法.在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換.這一問題屬于調(diào)和分析的范疇.在調(diào)和分析中,一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的對偶群dual group.止匕外,將傅里葉 變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論.傅里葉變換家族下表列出了傅里葉變換家族的成員.容易發(fā)現(xiàn),函數(shù)在時(shí)頻域的離散對應(yīng)于其像函數(shù)在頻時(shí)域的周期

10、性,反之連續(xù)那么意味著在對應(yīng)域的信號(hào)的非周期性.變換時(shí)間域頻率域連續(xù)傅里葉變換連續(xù),非周期性連續(xù),非周期性傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù),周期性離散,非周期性離散時(shí)間傅里葉變換離散,非周期性連續(xù),周期性離散傅里葉變換4相關(guān)編輯離散,周期性離散,周期性2變換提出傅里葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字,英語原名是JeanBaptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourie對熱傳遞很感興趣,于 1807 年在法國科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文,運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布, 論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組 適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成.當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人,其中有兩位

11、是歷 史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)拉普 拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投 票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí),拉格朗日果斷反對,在他此后生命的六 年中,拉格朗日堅(jiān)持認(rèn)為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào),如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率.法國科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望, 拒絕了傅里葉的工作,幸運(yùn)的是,傅里葉還有其它事情可忙,他參加 了政治運(yùn)動(dòng),隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及,法國大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而 一直在逃避.直到拉格朗日死后 15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來.拉格朗日是對的：正弦曲線無

12、法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào).但是, 我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它,逼近到兩種表示方法不存 在能量差異,基于此,傅里葉是對的.用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在 于,分解信號(hào)的方法是無窮的,但分解信號(hào)的目的是為了更加簡單地 處理原來的信號(hào).用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡單,由于正余弦擁 有原信號(hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度.一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入 后,輸出的仍是正弦曲線,只有幅度和相位可能發(fā)生變化,但是頻率 和波的形狀仍是一樣的.且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì), 正因如此我們才不用方波或三角波來表示.變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型,我們可以把傅里葉變換分為四種類別：1

13、非周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉變換(Fourier Transform)2周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅里葉變換( Discrete Time FourierTransform)4周期性離散信號(hào)離散傅里葉變換 (Discrete Fourier Transform)下列圖是四種原信號(hào)圖例：A 3 1m TamAfaH qwrtv w fwinw * jpnrir國 I,Stem F is rmtaB. 1fc _J G *jT這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號(hào),即信號(hào)的的長度是無窮大的,我們知道這對于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的,那么有沒

14、有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有. 由于正余弦波被定義成 從負(fù)無窮大到正無窮大,我們無法把一個(gè)長度無限的信號(hào)組合成長度 有限的信號(hào).面對這種困難,方法是把長度有限的信號(hào)表示成長度無 限的信號(hào),可以把信號(hào)無限地從左右進(jìn)行延伸, 延伸的局部用零來表 示,這樣,這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào),我們就可以 用到離散時(shí)域傅里葉變換的方法. 還有,也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法 進(jìn)行延伸,這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào), 這時(shí)我們就可以用離散傅里葉變換方法進(jìn)行變換.這里我們要學(xué)的是離散信號(hào),對于連續(xù) 信號(hào)我們不作討論,由于計(jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào), 我們的最 終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號(hào)的.但是對

15、于非周期性的信號(hào),我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來 表示,這對于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的. 所以對于離散信號(hào)的變換 只有離散傅里葉變換DFTD才能被適用,對于計(jì)算機(jī)來說只有離散 的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理,對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演 算中才能用到,在計(jì)算機(jī)面前我們只能用 DFT方法,后面我們要理解 的也正是DFT方法.這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為 了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題,至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或 怎樣得到是無意義的.每種傅里葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法,對于實(shí)數(shù)方法是最好理 解的,但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了,需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知 識(shí),不過,如果理解了

16、實(shí)數(shù)離散傅里葉變換real DFT再去理解復(fù)數(shù) 傅里葉就更容易了,所以我們先把復(fù)數(shù)的傅里葉放到一邊去, 先來理 解實(shí)數(shù)傅里葉變換,在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的根本理論,然后在理解了實(shí)數(shù)傅里葉變換的根底上再來理解復(fù)數(shù)傅里葉變換.如 上圖所示,實(shí)信號(hào)四種變換在時(shí)域和頻域的表現(xiàn)形式.還有,這里我們所要說的變換transform雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換,但跟函數(shù)變換是不同的,函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)那么的,對于離散 數(shù)字信號(hào)處理DSP,有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、 Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等,這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的 定義,允許輸入和輸出有多種的值,簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù) 變成

17、另一堆的數(shù)據(jù)的方法.變換意義傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法.要知道傅里葉變 換算法的意義,首先要了解傅里葉原理的意義.傅里葉原理說明：任 何連續(xù)測量的時(shí)序或信號(hào),都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無 限疊加.而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測量到的原始 信號(hào),以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位.和傅里葉變換算法對應(yīng)的是反傅里葉變換算法.該反變換從本質(zhì)上說 也是一種累加處理,這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè) 信號(hào).因此,可以說,傅里葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成 了易于分析的頻域信號(hào)信號(hào)的頻譜,可以利用一些工具對這些頻 域信號(hào)進(jìn)行處理、

18、加工.最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信 號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào).從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看,傅里葉變換是一種特殊的積分變換.它能將 滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分. 在 不同的研究領(lǐng)域,傅里葉變換具有多種不同的變體形式, 如連續(xù)傅里 葉變換和離散傅里葉變換.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具, 但是其思想方法仍然具有典型的復(fù)原論和分析主義的特征."任意"的 函數(shù)通過一定的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1.傅里葉變換是線性算子,假設(shè)賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子；2.傅里

19、葉變換的逆 變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；3,正弦基函數(shù)是微分運(yùn) 算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代 數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算 ,從而提 供了計(jì)算卷積的一種簡單手段；4.離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng)內(nèi) 頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜鼓勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其 對不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取 ；5.著名的卷積定理指出：傅里葉 變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速 傅里葉變換算法(FFT)正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、 信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的

20、應(yīng) 用.圖像傅里葉變換圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo),是灰度在平面空 間上的梯度.如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域, 對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是 一片灰度變化劇烈的區(qū)域,對應(yīng)的頻率值較高.傅里葉變換在實(shí)際中 有非常明顯的物理意義,設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào),那么其傅里 葉變換就表示f的譜.從純粹的數(shù)學(xué)意義上看,傅里葉變換是將一個(gè) 函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的. 從物理效果看,傅里葉變換是 將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域,其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空 間域.換句話說,傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變 換為圖像的頻率

21、分布函數(shù),傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變 換為灰度分布函數(shù).傅里葉變換以前,圖像未壓縮的位圖是由對在連續(xù)空間現(xiàn)實(shí)空 間上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合,我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空 間上各點(diǎn),那么圖像可由z=fx,y來表示.由于空間是三維的,圖像是 二維的,因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來表示,這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系.為什么要提梯度？由于實(shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅里葉變換得到頻譜圖,就是圖像梯度的分布圖,當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一 對應(yīng)的關(guān)系,即使在不移頻的情況下也是沒有. 傅里葉頻譜圖上我們 看到的明暗不一的亮點(diǎn),實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰

22、域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱, 即梯度的大小,也即該點(diǎn)的頻率的大小可以這么理解,圖像中的低 頻局部指低梯度的點(diǎn),高頻局部相反.一般來講,梯度大那么該點(diǎn)的 亮度強(qiáng),否那么該點(diǎn)亮度弱.這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖,也 叫功率圖,我們首先就可以看出,圖像的能量分布,如果頻譜圖中暗 的點(diǎn)數(shù)更多,那么實(shí)際圖像是比擬柔和的由于各點(diǎn)與鄰域差異都不 大,梯度相對較小,反之,如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多,那么實(shí)際圖 像一定是鋒利的,邊界清楚且邊界兩邊像素差異較大的. 對頻譜移頻 到原點(diǎn)以后,可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心,對稱分布的. 將頻譜移頻到圓心除了可以清楚地看出圖像頻率分布以外,還有一個(gè) 好處,它可以別離出有周期

23、性規(guī)律的干擾信號(hào),比方正弦干擾,一副 帶有正弦干擾,移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中央以外還存在 以某一點(diǎn)為中央,對稱分布的亮點(diǎn)集合,這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生 的,這時(shí)可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾.另外說明以下幾點(diǎn)：1、圖像經(jīng)過二維傅里葉變換后,其變換系數(shù)矩陣說明：假設(shè)變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中央,其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣 的中央附近圖中陰影區(qū).假設(shè)所用的二維傅里葉變換矩陣 Fn的原點(diǎn) 設(shè)在左上角,那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上.這是由二維傅里葉變換本身性質(zhì)決定的.同時(shí)也說明一股圖像能量集中低 頻區(qū)域.2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻,最亮,平移之

24、后中 間局部是低頻,最亮,亮度大說明低頻的能量大幅角比擬大 .5例子編輯一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅里葉變換Real DF快例先來看一個(gè)變換實(shí)例,一個(gè)原始信號(hào)的長度是 16,于是可以把這個(gè) 信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波一個(gè)長度為N的信號(hào)可以分解成N/2+1個(gè)正余弦信號(hào),這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解,一個(gè)長度為N的信號(hào),最多只能 有N/2+1個(gè)不同頻率,再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度 范圍,如下列圖： 9個(gè)正弦信號(hào)：9個(gè)余弦信號(hào):把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào),至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的,我們先不急,先看看對于以上的變換結(jié)果,在程序

25、中又是該怎么表示的,我們可以看看下面這個(gè)例如圖:lime Ikrnrnng'frnddn用r用|曲用j上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào),右邊是頻域信號(hào)表示方法,從左向右 表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT)用 小寫x表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組,用大寫X表示每種頻率的幅度值數(shù)組,由于有N/2+1種頻率,所以該數(shù)組長度為N/2+1,X口數(shù)組又分兩種,一種是表示余弦波的不同頻率幅度值： Re X口,另 一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X口, Re是實(shí)數(shù)(Real的意思,Im是虛數(shù)(Imagine)的意思,采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組

26、合起來 進(jìn)行表示,但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用,只記住是一種組合方 法而已,目的是為了便于表達(dá)在后面我們會(huì)知道,復(fù)數(shù)形式的傅里 葉變換長度是N,而不是N/2+1.用Matlab進(jìn)行傅里葉變換FFT是離散傅里葉變換的快速算法,可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域.有 些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的,但是如果變換到頻域之后, 就很容易看出特征了.這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因.另 外,FFT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來,這在頻譜分析方面也是經(jīng) 常用的.FFT結(jié)果的具體物理意義.一個(gè)模擬信號(hào),經(jīng)過 ADC采樣之后,就變 成了數(shù)字信號(hào).采樣定理告訴我們,采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍. 采樣得到的數(shù)字

27、信號(hào),就可以做 FFT變換了.N個(gè)采樣點(diǎn),經(jīng)過FFT 之后,就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果.為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算,通常 N取2的整數(shù)次方.假設(shè)采樣頻率為Fs,信號(hào)頻率F,采樣點(diǎn)數(shù)為No那么FFT之后結(jié)果 就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù).每一個(gè)點(diǎn)就對應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)的模 值,就是該頻率值下的幅度特性.具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系 呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為 A,那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)除了第一 個(gè)點(diǎn)直流分量之外的模值就是A的N/2倍.而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分 量,它的模值就是直流分量的N倍.而每個(gè)點(diǎn)的相位呢,就是在該頻 率下的信號(hào)的相位.第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量即0Hz,而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)實(shí)際上這個(gè)

28、點(diǎn)是不存在的,這里是假設(shè)的第N+1 個(gè)點(diǎn),也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分,另一半移到最后)那么表 示采樣頻率Fs,這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份,每個(gè)點(diǎn)的頻率 依次增加.例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N.由上面的公 式可以看出,Fn所能分辨到頻率為為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024Hz, 采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn),那么可以分辨到1Hz.1024Hz的采樣率采樣1024 點(diǎn),剛好是1秒,也就是說,采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT,那么結(jié)果 可以分析到1Hz,如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT；那么結(jié)果可以分 析到0.5Hz如果要提升頻率分辨力,那么必須增加采樣點(diǎn)數(shù),也即采 樣時(shí)

29、間.頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系.假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示,那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是 An= 根號(hào)a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a>根據(jù)以上的結(jié)果,就可以計(jì) 算出n點(diǎn)(n? 1,且n<=N/2 )對應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn).對于 n=1 點(diǎn)的信號(hào),是直流分量,幅度即為A1/N.由于FFT結(jié)果的對稱性,通常我們只使用前半局部的結(jié)果,即小于采樣頻率一半的結(jié)果.下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來做說明.假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào),它含有 2V 的直流分量,頻率為50Hz、相位為

30、-30度、幅度為3V的交流信號(hào), 以及一個(gè)頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號(hào).用數(shù) 學(xué) 表 達(dá) 式 就 是 如 下 ： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180).式中 cos參數(shù)為弧度,所以-30度和90度要分別換算成弧度.我們以256Hz 的采樣率對這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣,總共采樣256點(diǎn).根據(jù)我們上面的分 析,Fn=(n-1)*Fs/N,我們可以知道,每兩個(gè)點(diǎn)之間的間距就是 1Hz, 第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1.我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz、50Hz、75Hz, 應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn)、第51個(gè)點(diǎn)、第76

31、個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值,其它各點(diǎn) 應(yīng)該接近0.實(shí)際情況如何呢？我們來看看 FFT的結(jié)果的模值如圖所 示.從圖中我們可以看到,在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比擬大 的值.我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：1 點(diǎn):512+0i2 點(diǎn):-2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 點(diǎn):-2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 點(diǎn):-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51 點(diǎn):332.55 - 192i52 點(diǎn):-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 點(diǎn):-2.2199E-13 -1.0076E-12i76 點(diǎn):3.4315E-12 + 192i

32、77 點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明顯,1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比擬大,它附近的點(diǎn)值都很小,可以認(rèn)為是0,即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0.接著,我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值.分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值,結(jié)果如下:1 點(diǎn):51251 點(diǎn)：38476 點(diǎn)：192根據(jù)公式,可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2; 50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3 ; 75Hz 信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5.可見,從頻譜分析出來的幅度是正確的.然后再來計(jì)算相位信息.直流信號(hào)沒有相位可言,不用管它.先計(jì)算50Hz信號(hào)的

33、相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236結(jié)果是弧度,換算為角 度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001.再計(jì)算 75Hz信號(hào)的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,換算成角度就是 180*1.5708/pi=90.0002.可見,相位也是對的.根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算,我們就可 以寫出信號(hào)的表達(dá)式了,它就是我們開始提供的信號(hào).總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為F§采樣點(diǎn)數(shù)為N,做FFT之后,某一點(diǎn)n (n 從1開始)表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N;該點(diǎn)的*II值除以N/2就是 對應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度(對于直流

34、信號(hào)是除以 N);該點(diǎn)的相位 即是對應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位.相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a計(jì)算.atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值,范圍從-pi至U pi.要精確 到xHz,那么需要采樣長度為1/x秒的信號(hào),并做FFT要提升頻率分 辨率,就需要增加采樣點(diǎn)數(shù),這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的,需 要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析.解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法, 比 較簡單的方法是采樣比擬短時(shí)間的信號(hào),然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的 0,使其長度到達(dá)需要的點(diǎn)數(shù),再做FFT這在一定程度上能夠提升頻 率分辨力.具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn).6應(yīng)用編輯盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的

35、工具,但是其思想方 法仍然具有典型的復(fù)原論和分析主義的特征."任意"的函數(shù)通過一定 的分解,都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式,而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類, 這一想法跟化學(xué)上的原子論 想法何其相似！奇妙的是,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性 質(zhì),使得它如此的好用和有用,讓人不得不感慨造物的神奇：傅里葉變換是線性算子,假設(shè)賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子； 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似；正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可 以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻 率是個(gè)不變的性質(zhì),從

36、而系統(tǒng)對于復(fù)雜鼓勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對 不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取；著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘 積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出其算法稱為 快速傅里葉變換算法(FFT).正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、 信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng) 用.有關(guān)傅里葉變換的FPGA實(shí)現(xiàn)傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中的根本操作,廣泛應(yīng)用于表述及分析離散時(shí)域信號(hào)領(lǐng)域.但由于其運(yùn)算量與變換點(diǎn)數(shù)N的平方成正比關(guān)系,因此,在N較大時(shí),直接應(yīng)用DFT算法進(jìn)行譜變換是不切合實(shí)際

37、的. 然而,快速傅里葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化.本文主要描述了采用FPG襪實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k點(diǎn)FFT的設(shè)計(jì)方法.整體結(jié)構(gòu)一般情況下,N點(diǎn)的傅里葉變換對為：其中,WN=exp( 2pi/N).X(k)和x(n)都為復(fù)數(shù).與之相對的快速 傅里葉變換有很多種,如DIT(時(shí)域抽取法)、DIF(頻域抽取法)、Cooley 一Tukey和 Winograd等.對于2n傅里葉變換,Cooley- Tukey算法可 導(dǎo)出DIT和DIF算法.本文運(yùn)用的根本思想是 Cooley- Tukey算法, 即將高點(diǎn)數(shù)的傅里葉變換通過多重低點(diǎn)數(shù)傅里葉變換來實(shí)現(xiàn).雖然 DIT與DIF有差異,但由于它們在本質(zhì)上

38、都是一種基于標(biāo)號(hào)分解的算 法,故在運(yùn)算量和算法復(fù)雜性等方面完全一樣,而沒有性能上的優(yōu)劣之分,所以可以根據(jù)需要任取其中一種,本文主要以DIT方法為對象來討論.N=8192點(diǎn)DFT的運(yùn)算表達(dá)式為:式中,m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2 k=2048k1+k0 其中 n1 和 k2可取 0,1,., 2047,k1 和 n2 可取 0,1,2,3.由式(3)可知,8k傅里葉變換可由4X2k勺傅立葉變換構(gòu)成.同理, 4k傅立葉變換可由2 x 2k勺傅里葉變換構(gòu)成.而2k傅里葉變換可由 128 X 1的傅立葉變換構(gòu)成.128的傅里葉變換可進(jìn)一步由16X8的傅 里葉變換構(gòu)成,歸

39、根結(jié)底,整個(gè)傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構(gòu)成.2k的FFT可以通過5個(gè)基4和1個(gè)基2變換來實(shí)現(xiàn)；4k 的FFT變換可通過6個(gè)基4變換來實(shí)現(xiàn)；8k的FFT可以通過6個(gè)基4 和1個(gè)基2變換來實(shí)現(xiàn).也就是說：FFT的根本結(jié)構(gòu)可由基2/4模塊、 復(fù)數(shù)乘法器、存儲(chǔ)單元和存儲(chǔ)器限制模塊構(gòu)成,其整體結(jié)構(gòu)如圖1所 示.圖1中,RAM用來存儲(chǔ)輸入數(shù)據(jù)、運(yùn)算過程中的中間結(jié)果以及運(yùn)算 完成后的數(shù)據(jù),ROM用來存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子表.蝶形運(yùn)算單元即為基2/4 模塊,限制模塊可用于產(chǎn)生限制時(shí)序及地址信號(hào),以限制中間運(yùn)算過程及最后輸出結(jié)果.蝶形運(yùn)算器基4和基2的信號(hào)流如圖2所示.圖中,假設(shè) A=r0+j*i0, B=r1

40、+j*i1 , C=r2+j*i2 , D=r3+j*i3 是要進(jìn)行變換的信號(hào),Wk0=c0+j*s0=1 , Wk1=c1+j*s1, Wk2=c2+j*s2, Wk3=c3+j*s3 為旋轉(zhuǎn)因子,將其分別代 入圖2中的基4蝶形運(yùn)算單元,那么有：A =r0+(r1 XcJ i1 Xs1)+(r2 x c2-i2 x s2)+(r3 x c3- i3 x s3+ji0+i1 x c1+r1 乂 s1+i2 乂 c2+r2 乂 s2 +43 乂 c3+r3 乂 s3?B' =r0+(i1 x c1+ r1-Xr21x c2i2 x S2 (i3 x c3+r3 x s3)+jQ1 x c

41、li1 x S1 - ( i2 x c2+r2 x s2)+(r3粒* s3) (5C' =r0 ( r1 x c1 i1 x s1)+(r2 兇22X S2- ( r3 x c3 i3 x s3)+ji0(i1 Xc1+r1 Xs1)+(i2 Xc2+r"623 Xc3+r3 Xs3) 6)D' =r0 (i1 x c1+r1 X s1 ( r2 x c2 i2 x s2)+(i3 x c3+r3 x s3)+ji0+(r1 x c1i1 xs 1 - (i2Xc2+r2 的s2 (r3Xc3i3Xs3)?(7)而在基2蝶形中,Wk0和Wk2的值均為1,這樣,將A,

42、 B, C和D的表達(dá)式代入圖2中的基2運(yùn)算的四個(gè)等式中,那么有：A =r0+(r1、idx s1)+ji0+(i1Xc1+r1(漪s1)?B' =r0 (r1 xdi1 x s1)+j論(i1 Xc1+r1 x s 19C =r2+(r3 貴i83x s3)+ji0+(i3x c3+r3 10s3)?D' =r2 (r3 x e3i3 x s3)+j的(i3 乂 c3+r3 乂 s3)|?1)在上述式(4)(11)中有很多類同項(xiàng),如i1 Xc1+r1 x和r1 xc 1i1 x s等,它們僅僅是加減號(hào)的不同,其結(jié)構(gòu)和運(yùn)算均類似,這就為簡化電路提供了可能.同時(shí),在蝶形運(yùn)算中,復(fù)數(shù)

43、乘法可以由實(shí)數(shù)乘法以一定的格式來表示,這也為設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)乘法器提供了一種實(shí)現(xiàn)的途徑.以基4為例,在其運(yùn)算單元中,實(shí)際上只需做三個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,即只須計(jì)算BWk1、CWk2和DWk3的值即可,這樣在一個(gè)基 4蝶形單元里面,最多只需要3個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可以了.在實(shí)際過程中,在不提升時(shí)鐘頻率下,只要將時(shí)序限制好？便可利用流水線(Pipeline)技術(shù)并只用一個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可完成這三個(gè)復(fù)數(shù)乘法,大大節(jié)省了硬件資源 圖2基2和基4蝶形算法的信號(hào)流圖FFT的地址FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序.因此,幾級(jí)變換后對地 址的限制必須準(zhǔn)確無誤.倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關(guān)的,以基8為例,其根本倒序規(guī)那么如

44、下：基8可以用2X 2X三級(jí)基2變換來表示,那么其輸入順序那么可用二進(jìn)制 序列(n1 n2 n3)來表示,變換結(jié)束后,其順序?qū)⒆優(yōu)?n3 n2 n1), 如：X?011 一 x?110 ,即輸入順序?yàn)?,輸出時(shí)順序變?yōu)?.更進(jìn)一步,對于基16的變換,可由2X2X2/4X4 4X2X等形式來 構(gòu)成,相對于不同的分解形式,往往會(huì)有不同的倒序方式.以 4X4為 例,其輸入順序可以用二進(jìn)制序列(n1 n2 n3n4)來表示變換結(jié)束后, 其順序可變?yōu)?n3 n4) (n1 n2),如：X?0111 t x?1101 .即輸 入順序?yàn)?,輸出時(shí)順序變?yōu)?3.在2k/4k/8k的傅里葉變換中,由于要經(jīng)過屢次的基 4和基2運(yùn)算, 因此,從每次運(yùn)算完成后到進(jìn)入下一次運(yùn)算前, 應(yīng)對運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行 倒序,以保證運(yùn)算的正確性.旋轉(zhuǎn)因子N點(diǎn)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對稱性.其周期性表 現(xiàn)為：FFT之所以可使運(yùn)算效率得到提升