有限元第二次作業(yè)

1、2-2 圖示懸臂板，屬于平面應(yīng)力問(wèn)題，其網(wǎng)格圖及單元、節(jié)點(diǎn)編號(hào)見(jiàn)圖2-1, E=2.1 X1011 ,u=0.28 ,演算其單剛陣到總剛陣的組集過(guò)程，弁用MATLAB軟件計(jì)算總剛陣。圖2-1答：根據(jù)圖 2-1所示列出單元節(jié)點(diǎn)列表:節(jié)點(diǎn)單元 1k1354225332654162J(1)計(jì)算單元?jiǎng)偠汝噯卧?的剛度矩陣11k3, 3k3,4kQ 】=ki,1 3ki,1 4k5,1 3 k51,41k3 ,5 |Lki1 ,5 ,k1 1=illk51,5單元2的剛度矩陣:_k52 2k523k22,5 pk32,5 , k 21=k5,52J0 00100k3 ,300k41,300k51,3,n

2、0 00-0000k222k22,30 k3 2 2k3230000k522k52,3.0000011k3, 4k3,5k41,4k4,5lk51, 4k51, 400000 k22 50 k32 5000 k52 4000 II單元3的剛度矩陣:一 k |k23,2 k23 5 k23,6k 3- k53 2 k53 5 k53,6 ,I |k63 2 k63 5 k63,60010 k23 2£ X 0 0000 k53, 20 k63 2000000k235kz3,60000000000k535k53600k635Ik536單元4的剛度矩陣:k141 k|4k241 k641k

3、142,2,2k146 k246 k646,k4L總剛度矩陣:K】限條L 1】+k2】+k3!.k 4k141k24.100k64,1,2000 k14,6000 k24,6000000000000000k64, 6k4k1 ,1k4,10k142k22,2l23 2k42k32,20k22,3k31,3 - k3230k31, 40k22 5 k23 ,5k3,51k32,50k6410k52, 2k63, 2k41,3,2,2Matlab程序語(yǔ)言的編寫(xiě)function Idexglobal gNode gElement gMaterialgNode=0.0 0.010.5 0.011.0

4、0.011.0 0.00.5 0.0k51,3k52,3k41k51,4,4k51,5k4,1 5I525k635k35k536k636 k64,60.0 0.0%gNode同樣是一個(gè)矩陣，每一行表示一個(gè)結(jié)點(diǎn)，第 點(diǎn)的y坐標(biāo)1列是結(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)，第 2列是結(jié)gElement=3 4 52 3 5126;%gElement是一個(gè)矩陣，每一行表示一個(gè)單元，第 單元的第2個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)。1行是單元的第1個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)，第 2行是Returnfunction k=StiffnessMatrix(ie)%計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚭瘮?shù)global gNode gElementk=zeros(6,6);E=2.1*10八11;u

5、=0.28 ;t=0.01;%6x6單元?jiǎng)傟?材料特性%材料特性%材料特性xi=gNode(gElement(ie,1),1);yi=gNode(gElement(ie,1),2);xj=gNode(gElement(ie,2),1);yj=gNode(gElement(ie,2),2);xm=gNode(gElement(ie,3),1);%計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)ym=gNode(gElement(ie,3),2);分量ai=xj*ym-xm*yj;aj=xm*yi-xi*ym;am=xi*yj-xj*yi;bi=yj-ym;bj=ym-yi;bm=yi-yj;ci="(xj-xm);cj=

6、"(xm-xi);cm="(xi-xj);d=1,xi,yi;1,xj,yj;1,xm,ym;%計(jì)算單元面積area=det(d);B=bi 0 bj 0 bm 0 ;0 ci 0 cj 0 cm;ci bi cj bj cm bm;B=B/2/area;D=1 u 0;u 1 0;0 0 (1-u)/2;D=D*E/(1-u八2);%計(jì)算單元?jiǎng)偠染豮=transpose(B)*D*B*t*abs(area);陣Returnfunction gK=AssembleStiffnessMatrix%計(jì)算總剛陣global gElement gK ie gK=zeros(12,1

7、2);%單元循環(huán)%節(jié)點(diǎn)循環(huán)%節(jié)點(diǎn)循環(huán)%自由度循環(huán)%自由度循環(huán)2個(gè)自由度，i節(jié)點(diǎn)的第 p個(gè)自由度為2個(gè)自由度，i節(jié)點(diǎn)的第 p個(gè)自由度為for ie =1:1:4k=StiffnessMatrix(ie);for i=1:1:3for j=1:1:3for p=1:1:2for q=1:1:2 m=(i-1)*2+p;%每個(gè)節(jié)點(diǎn)有(i-1)*2+pn=(j-1)*2+q; %每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 (i-1)*2+pM=(gElement(ie,i)-1)*2+p;N=(gElement(ie,j)-1)*2+q; gK(M,N)=gK(M,N)+k(m,n);endendend end end Return

8、 則單元1的剛度矩陣為>> StiffnessMatrix(l) ans =1.0e+010 *2.0508005.6966-2.05080.03190.0410-5.69660-0.0319-0.04100單元2的剛度矩陣>> StiffnessMatrix(2)ans =1.0e+010 *2.0531-0.0729-0.07295.6974-2.05080.04100.0319-5.6966-0.00230.03190.0410-0.0008單元3的剛度矩陣為>> StiffnessMatrix(3)ans =1.0e+010 *0.0023000.0

9、008-0.00230.04100.0319-0.0008-2.05080.04100.0319-5.69662.0531-0.0729-0.07295.6974-0.00230.03190.0410-0.0008-2.05080.03190.0410-5.69662.0508005.69660-0.0319-0.04100-0.00230.03190.0410-0.00082.0531-0.0729-0.07295.69740-0.0410-0.03190-0.00230.04100.0319-0.00080.0023000.0008-0.00230.04100.0319-0.00080 -

10、0.0410-0.031900.0023000.00080 -0.0319-0.04100-2.05080.03190.0410-5.69660-0.0410-0.03190單元4的剛度矩陣>> StiffnessMatrix(4)ans =1.0e+010 *2.0531-0.0729-0.07295.6974-2.05080.04100.0319-5.6966-0.00230.03190.0410-0.0008-2.05080.04100.0319-5.6966-2.05080.03190.0410-5.69662.0508005.69660-0.0319-0.041002.0

11、508005.6966-0.00230.04100.0319-0.00080 -0.0410-0.031900.0023000.0008總剛度矩陣為ans =1.0e+011 *Columns 1 through 80.2053-0.00730-0.00730.56970-0.00020.003200.0041-0.00010000.004100-0.569700-0.0073000.569700-0.00020.00410.0032-0.00010.4106-0.0073-0.00731.1395-0.00020.00320.0041-0.00010000-0.41020.007300000

12、0-0.00020.004100.0032-0.000100.20530-0.205100.56970.0032-0.20510.00320.20530.0041-0.5697-0.00730-0.0073-0.00020.00320.0073-1.1393-0.007300.0041000000-0.0001-0.20510.00410-0.00730 0.0032-0.5697-0.007300Columns 9 through 120 0-0.41020.00730-0.0073-0.00020.00320.4106-0.0073-0.00020.00410 00.0073-1.1393

13、-0.007300.0041-0.0001-0.00731.13950.0032-0.0001-0.20510.0041 0-0.00730 000-0.00020.00320.205300.0032-0.5697-0.0073000000.0041-0.000100.56972-3在平面問(wèn)題有限元分析中，(1)用到了哪些彈性力學(xué)中的基本方程？(形變協(xié)調(diào)方程)答：平衡微分方程、幾何方程、相容方程(2)力的平衡條件是如何滿足的？答：根據(jù)能量守恒原理，有外力所作虛功應(yīng)該等于內(nèi)力虛功。也就是結(jié)構(gòu)在外載荷作用下處于平衡狀態(tài)則在結(jié)構(gòu)上的力在任意虛功位移上所作的虛功之和等于零以下是用到的方程:,xyu :

14、v. y . x用彈性力學(xué)中應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系得到變形(3)變形協(xié)調(diào)條件是如何滿足的?答：對(duì)材料進(jìn)行線彈性和各向同性的假設(shè),協(xié)調(diào)條件。下面是形變協(xié)調(diào)方程。22 X. y z2-4在平面三角形單元中的位移、應(yīng)變、應(yīng)力具有什么特征？位移特征：(1)必須包含單元的剛體位移；(2)必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)；(3)必須保證不偏惠各坐標(biāo)軸；(4)必須保證單元內(nèi)位移連續(xù)。應(yīng)力特征：(1)三角形單元其應(yīng)力僅與單元材料和幾何尺寸有關(guān)，與節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)，而與單 元內(nèi)位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)，也即這類(lèi)單元內(nèi)的應(yīng)力是常量。(2)三角形單元內(nèi)應(yīng)力連續(xù)，但在公共邊界上應(yīng)力有突變，密布網(wǎng)格可以減少這 種沖突的不合理性。應(yīng)變特征： 由于簡(jiǎn)單三角形單元取線性位移模式，其應(yīng)變矩