2020學(xué)年江蘇省南通市高考一模數(shù)學(xué)

1、2020年江蘇省南通市高考一模數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.1.函數(shù)y=2sin(3x-)的最小正周期為 .解析：根據(jù)函數(shù)y=Asin(x+)的周期等于，得出結(jié)論.函數(shù)y=2sin(3x-)的最小正周期為.答案：.2.設(shè)集合A=1，3，B=a+2，5，AB=3，則AB= .解析：由交集的定義，可得a+2=3，解得a，再由并集的定義，注意集合中元素的互異性，即可得到所求.集合A=1，3，B=a+2，5，AB=3，可得a+2=3，解得a=1，即B=3，5，則AB=1，3，5.答案：1，3，5.3.復(fù)數(shù)z=(1+2i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為 .解析：直接利用復(fù)

2、數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i，z的實(shí)部為-3.答案：-3.4.口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出一只球.摸出紅球的概率為0.48，摸出黃球的概率為0.35，則摸出藍(lán)球的概率為 .解析：利用對立事件的概率公式，可得結(jié)論.摸出紅球的概率為0.48，摸出黃球的概率為0.35，摸出藍(lán)球的概率為1-0.48-0.35=0.17.答案：0.17.5.如圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值為 .解析：由已知的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)計(jì)算a值，并輸出滿足a16的最大n值，模擬程序的運(yùn)行過程可得答案.當(dāng)n=1，a=1時，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

3、執(zhí)行循環(huán)后，a=5，n=3.滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)后，a=17，n=5.滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，退出循環(huán).故輸出n值為5.答案：5.6.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則z=3x+2y的最大值為 .解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).由z=3x+2y得，平移直線，此時z最大.由，解得A(1，2)，代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y得z=3×1+2×2=7.即目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為7.答案：7.7.抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)生的5次訓(xùn)練成績(單位：分)，結(jié)果如下：則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位學(xué)生成績的方差為 .解析：根據(jù)題意，對于甲，其平均數(shù)，其方差S甲2=(65-75)

4、2+(80-75)2+(70-75)2+(85-75)2+(75-75)2=50.對于乙，其平均數(shù)，其方差S乙2=(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2=20.比較可得：S甲2S乙2，則乙的成績較為穩(wěn)定.答案：20.8.如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，則三棱錐D1-A1BD的體積為 cm3.解析：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，三棱錐D1-A1BD的體積：(cm3).答案：.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線2x+y=0為雙曲線(a0，b0)的一條漸近線，則該雙曲

5、線的離心率為 .解析：利用雙曲線的漸近線方程得到a，b關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可.直線2x+y=0為雙曲線(a0，b0)的一條漸近線，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得.答案：.10.九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子最上面一節(jié)的容積為 升.解析：設(shè)最上面一節(jié)的容積為a1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組：，解得.答案：.11.在ABC中，若，則的值為 .解析：根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積，結(jié)合余弦定理和正弦定理，即可求出的值.在ABC中，設(shè)三條邊分別為a、b，c，三角分

6、別為A、B、C，由，得ac·cosB+2bc·cosA=ba·cosC，由余弦定理得：，化簡得，由正弦定理得.答案：.12.已知兩曲線f(x)=2sinx，g(x)=acosx，x(0，)相交于點(diǎn)P.若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 .解析：聯(lián)立兩曲線方程，可得，a0，設(shè)交點(diǎn)P(m，n)，分別求出f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由同角基本關(guān)系式，化弦為切，解方程即可得到a的值.由f(x)=g(x)，即2sinx=acosx，即有，a0，設(shè)交點(diǎn)P(m，n)，f(x)=2sinx的導(dǎo)數(shù)為f(x)=2cosx

7、，g(x)=acosx的導(dǎo)數(shù)為g(x)=-asinx，由兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，可得2cosm·(-asinm)=-1，且，則，分子分母同除以cos2m，即有，.答案：.13.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x-4|，則不等式f(x2+2)f(x)的解集用區(qū)間表示為 .解析：令g(x)=f(x2+2)-f(x)=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.令g(x)=f(x2+2)-f(x)=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x4時，g(x)=2x2-2x+40，解得：x4.x4時，g(x)=2x2-40，解得：

8、 .0x時，g(x)=00，不合題意.x0時，g(x)=2x0，不合題意.x時，g(x)=2x2+2x-40，解得：x1或x-2，故x-2，即不等式的解集用區(qū)間表示為(-，-2)(，+).答案：(-，-2)(，+).14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為 .解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，且ABAC，如圖所示：當(dāng)BCOA時，|BC|取得最小值或最大值.由，可得B，由，可得C解得：.故線段BC的長的取值范圍為.答案：.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.15

9、.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)A.以O(shè)A為始邊作銳角，其終邊與單位圓交于點(diǎn)B，AB=.(1)求cos的值.解析：(1)由條件利用余弦定理，求得cos的值.答案：(1)在AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcosAOB，即cos=.(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)B的坐標(biāo).解析：(2)利用任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦、余弦公式，求得點(diǎn)B的坐標(biāo).答案：(2)，.，為銳角，.，即點(diǎn)B.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，

10、OP=OC，PAPD.求證：(1)直線PA平面BDE.解析：(1)連結(jié)OE，說明OEPA.然后證明PA平面BDE.答案：(1)證明：連結(jié)OE，O為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，O為AC中點(diǎn).E為PC的中點(diǎn)，OEPA.OE平面BDE，PA平面BDE，直線PA平面BDE.(2)平面BDE平面PCD.解析：(2)證明OEPD.OEPC.推出OE平面PCD.然后證明平面BDE平面PCD.答案：(2)證明：OEPA，PAPD，OEPD.OP=OC，E為PC的中點(diǎn)，OEPC.PD平面PCD，PC平面PCD，PCPD=P，OE平面PCD.OE平面BDE，平面BDE平面PCD.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x

11、Oy中，已知橢圓(ab0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：(1)由已知條件可得，然后求解橢圓的方程.答案：(1)由題意得， 解得a=2，c=1，b=1.所以橢圓的方程為.(2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OP的垂線交直線y=于點(diǎn)Q，求的值.解析：(2)由題意知OP的斜率存在.當(dāng)OP的斜率為0時，求解結(jié)果.當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP方程為y=kx.聯(lián)立方程組，推出OP2=.OQ2=2k2+2.然后求解即可.答案：(2)由題意知OP的斜率存在.當(dāng)OP的斜率為0時，.當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP方程為y=kx.，所以O(shè)P2=.因?yàn)镺POQ，所以直線OQ的

12、方程為.由得，所以O(shè)Q2=2k2+2.所以.綜上，可知.18.如圖，某機(jī)械廠要將長6m，寬2m的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪.已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪.(1)當(dāng)EFP=時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積.解析：(1)當(dāng)EFP=時，由條件得EFP=EFD=FEP=.可得FNBC，四邊形MNPE為矩形.即可得出.答案：(1)當(dāng)EFP=時，由條件得EFP=EFD=FEP=.所以FPE=.所以FNBC，四邊形MNPE為矩形.所以四邊形MNPE的面積S=P

13、N·MN=2m2.(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由.解析：(2)解法一：設(shè)EFD=(0)，由條件，知EFP=EFD=FEP=.可得.四邊形MNPE面積為：，化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.解法二：設(shè)BE=tm，3t6，則ME=6-t，可得PE=PF，即，四邊形MNPE面積為，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.答案：(2)解法一：設(shè)EFD=(0)，由條件，知EFP=EFD=FEP=.所以. (*)所以四邊形MNPE面積為當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.此時，(*)成立.答：當(dāng)EFD=時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6-2)m2.解法二：設(shè)B

14、E=tm，3t6，則ME=6-t.因?yàn)镋FP=EFD=FEP，所以PE=PF，即.所以.(*).所以四邊形MNPE面積為“=”.此時，(*)成立.答：當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)3+233m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6-2)m2.19.已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx，aR.(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值.解析：(1)當(dāng)a=時，f(x)=x2-x-lnx.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，然后判斷單調(diào)性求解函數(shù)的最值.答案：(1)當(dāng)a=時，f(x)=x2-x-lnx.所以(x0).令f'(x)=0，得x=2，當(dāng)x(0，2)時，f'(x)0.當(dāng)x(2，+)時，f

15、'(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，+)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=2時，f(x)有最小值.(2)若-1a0，證明：函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn).解析：(2)由f(x)=ax2-x-lnx，得，x0.當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上最多有一個零點(diǎn)，當(dāng)-1a0時，f(1)=a-10，推出結(jié)果.答案：(2)由f(x)=ax2-x-lnx，得(x0).所以當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上最多有一個零點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)-1a0時，f(1)=a-10，所以當(dāng)-1a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上有零點(diǎn).綜上，當(dāng)-1a0時，函數(shù)f

16、(x)有且只有一個零點(diǎn).(3)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：(3)由(2)知，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上最多有一個零點(diǎn).說明a0，由f(x)=ax2-x-lnx，得(x0)，說明函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減.在(x0，+)上單調(diào)遞增.要使得函數(shù)f(x)在(0，+)上有兩個零點(diǎn)，只需要ax02-x0-lnx00.通過函數(shù)h(x)=2lnx+x-1在(0，+)上是增函數(shù)，推出0a1.驗(yàn)證當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn).證明：lnxx-1.設(shè)t(x)=x-1-lnx，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可.答案：(3)由(2)知，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，+)上最

17、多有一個零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，所以a0.由f(x)=ax2-x-lnx，得(x0)，令g(x)=2ax2-x-1.因?yàn)間(0)=-10，2a0，所以函數(shù)g(x)在(0，+)上只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0.當(dāng)x(0，x0)時，g(x)0，f'(x)0.當(dāng)x(x0，+)時，g(x)0，f'(x)0.所以函數(shù)f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減.在(x0，+)上單調(diào)遞增.要使得函數(shù)f(x)在(0，+)上有兩個零點(diǎn)，只需要函數(shù)f(x)的極小值f(x0)0，即ax02-x0-lnx000.又因?yàn)間(x0)=2ax02-x0-1=0，所以2lnx0+x0-10，又因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=2ln

18、x+x-1在(0，+)上是增函數(shù)，且h(1)=0，所以x01，得01.又由2ax02-x0-1=0，得，所以0a1.以下驗(yàn)證當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn).當(dāng)0a1時，所以1x0.因?yàn)?，且f(x0)0.所以函數(shù)f(x)在(，x0)上有一個零點(diǎn).又因?yàn)?因?yàn)閘nxx-1)，且f(x0)0.所以函數(shù)f(x)在(x0，)上有一個零點(diǎn).所以當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)在內(nèi)有兩個零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，1).下面證明：lnxx-1.設(shè)t(x)=x-1-lnx，所以(x0).令t'(x)=0，得x=1.當(dāng)x(0，1)時，t'(x)0.當(dāng)x(1，+)時，t'(x)0.所以

19、函數(shù)t(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=1時，t(x)有最小值t(1)=0.所以t(x)=x-1-lnx0，得lnxx-1成立.20.已知等差數(shù)列an的公差d不為0，且，(k1k2kn)成等比數(shù)列，公比為q.(1)若k1=1，k2=3，k3=8，求的值.解析：(1)由已知得：a1，a3，a8成等比數(shù)列，從而4d2=3a1d，由此能求出的值.答案：(1)由已知可得：a1，a3，a8成等比數(shù)列，所以(a1+2d)2=a1(a1+7d)，整理可得：4d2=3a1d.因?yàn)閐0，所以.(2)當(dāng)為何值時，數(shù)列kn為等比數(shù)列.解析：(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列，則k22=k1k3

20、，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而kn=k1qn-1.由此得到當(dāng)時，數(shù)列kn為等比數(shù)列.答案：(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列，則k22=k1k3.又因?yàn)閍k1，ak2，ak3成等比數(shù)列，所以a1+(k1-1)da1+(k3-1)d=a1+(k2-1)d2.整理，得a1(2k2-k1-k3)=d(k1k3-k22-k1-k3+2k2).因?yàn)閗22=k1k3，所以a1(2k2-k1-k3)=d(2k2-k1-k3).因?yàn)?k2k1+k3，所以a1=d，即.當(dāng)時，an=a1+(n-1)d=nd，所以.又因?yàn)椋詋n=k1qn-1.所以，數(shù)列kn為等比數(shù)列.綜上，當(dāng)時，數(shù)列kn為等比數(shù)列.(3)若數(shù)列kn為等比數(shù)列，

21、且對于任意nN*，不等式恒成立，求a1的取值范圍.解析：(3)由數(shù)列kn為等比數(shù)列，a1=d，kn=k1qn-1(q1).得到，恒成立，再證明對于任意的正實(shí)數(shù)(01)，總存在正整數(shù)n1，使得.要證，即證lnn1n1lnq+ln.由此能求出a1的取值范圍.答案：(3)因?yàn)閿?shù)列kn為等比數(shù)列，由(2)知a1=d，kn=k1qn-1(q1).，an=a1+(n-1)d=na1.因?yàn)閷τ谌我鈔N*，不等式恒成立.所以不等式，即恒成立.下面證明：對于任意的正實(shí)數(shù)(01)，總存在正整數(shù)n1，使得.要證，即證lnn1n1lnq+ln.因?yàn)?，則，解不等式，即，.不妨取，則當(dāng)n1n0時，原式得證.所以，所以a1

22、2，即得a1的取值范圍是2，+).附加題：選做題本題包括四小題，請選2題作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4-1：幾何證明選講21.已知圓O的直徑AB=4，C為AO的中點(diǎn)，弦DE過點(diǎn)C且滿足CE=2CD，求OCE的面積.解析：由相交弦定理，得CD，DE中點(diǎn)H，則OHDE，利用勾股定理求出OH，即可求出OCE的面積.答案：設(shè)CD=x，則CE=2x.因?yàn)镃A=1，CB=3，由相交弦定理，得CA·CB=CD·CE，所以1×3=x·2x=2x2，所以x=.取DE中點(diǎn)H，則OHDE.因?yàn)?，所以O(shè)H=.又因?yàn)镃E=2x

23、=，所以O(shè)CE的面積.選修4-2：矩陣與變換22.已知向量是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'(3，3)，求矩陣A.解析：設(shè)A=，根據(jù)矩陣變換，列方程組，即可求得a、b、c和d的值，求得A.答案：設(shè)A=，向量是矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量，.點(diǎn)P(1，1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻'(3，3)，.解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23.在極坐標(biāo)系中，求直線=(R)被曲線=4sin所截得的弦長.解析：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，即

24、可求直線=(R)被曲線=4sin所截得的弦長.答案：以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.直線=R)的直角坐標(biāo)方程為y=x，曲線=4sin的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0.由得所以A(0，0)，B(2，2)，所以直線=(R)被曲線=4sin所截得的弦長AB=2.選修4-5：不等式選講24.求函數(shù)的最大值.解析：利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，利用柯西不等式求解函數(shù)的最值即可.答案：，由柯西不等式得，所以ymax=5，此時sinx=.所以函數(shù)的最大值為5.必做題共2小題，滿分20分25.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQ=BB1(0).(1)若=，求AP與AQ所成角的余弦值.解析：(1)以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.求出，利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值.答案：(1)以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.，.AP與AQ所