2020學(xué)年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅲ卷）數(shù)學(xué)理

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)理一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=(x，y)|x2+y2=1，B=(x，y)|y=x，則AB中元素的個數(shù)為( )A.3B.2C.1D.0解析：解不等式組求出元素的個數(shù)即可.答案：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=( )A.B.C.D.2解析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計算公式即可得出. 答案：C.3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的

2、折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)解析：由已有中2020年1月至2020年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)可得：月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤；年接待游客量逐年增加，故B正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正確；各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.答案：A.4.(x+y)(2x-y)5的展開式中的x3y3系數(shù)為 ( )A.-80B.-40C.40

3、D.80解析：(2x-y)5的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)rx5-ryr.令5-r=2，r=3，解得r=3.令5-r=3，r=2，解得r=2.即可得出. 答案：C.5.已知雙曲線C：=1(a0，b0)的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析：求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方程，求出雙曲線實(shí)半軸與虛半軸的長，即可得到雙曲線方程.答案：B.6.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是( )A.f(x)的一個周期為-2B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱

4、C.f(x+)的一個零點(diǎn)為x=D.f(x)在(，)單調(diào)遞減解析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.答案：D.7.執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為( )A.5B.4C.3D.2解析：通過模擬程序，可得到S的取值情況，進(jìn)而可得結(jié)論. 答案：D.8.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為( )A.B.C.D.解析：推導(dǎo)出該圓柱底面圓周半徑r=，由此能求出該圓柱的體積.答案：B.9.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為( )A.-24B.-3C.3D.8解析：利用等

5、差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公差，由此能求出an前6項(xiàng)的和.答案：A.10.已知橢圓C：=1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為( )A.B.C.D.解析：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，可得原點(diǎn)到直線的距離=a，化簡即可得出.答案：A.11.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn)，則a=( )A.-B.C.D.1解析：通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=1-(x-1)2的圖象與y=a(ex-1+)的圖象只有一個交點(diǎn)求a的值.分a=0、a0、a0三種情況，

6、結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論.答案：C.12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+，則+的最大值為( )A.3B.2C.D.2解析：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos+1，sin+2)，根據(jù)=+，求出，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.答案：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件，則z=3x-4y的最小值為_.解析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最小值.答案：-1.14.設(shè)等比數(shù)列

7、an滿足a1+a2=-1，a1-a3=-3，則a4=_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a1+a2=-1，a1-a3=-3，可得：a1(1+q)=-1，a1(1-q2)=-3，解出即可得出.答案：-8.15.設(shè)函數(shù)f(x)=，則滿足f(x)+f(x-)1的x的取值范圍是_.解析：根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論x的取值范圍，進(jìn)行求解即可.答案：(-，+).16.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角

8、時，AB與b成60°角；直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是_.(填寫所有正確結(jié)論的編號)解析：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果.答案：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生

9、根據(jù)要求作答.(一)必考題：60分.17.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積.解析：(1)先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出A，再根據(jù)余弦定理即可求出，(2)先根據(jù)夾角求出cosC，求出CD的長，得到SABD=SABC.答案：(1)sinA+cosA=0，tanA=-，0A，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即28=4+c2-2×2c×(-)，即c2+2c-24=0，解得c=-6(舍去)或c=4，故c=4.(2)c2=b2+a2-2abco

10、sC，16=28+4-2×2×2×cosC，cosC=，CD=CD=BCSABC=AB·AC·sinBAC=×4×2×=2，SABD=SABC=.18.某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各

11、天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解析：(1)由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.(2)當(dāng)n200時，Y=n(6-4)=2n400，EY400；當(dāng)200n300時，EY1.2×300+160=520；當(dāng)300n500時，n=300時，(EY)max=640-0.4×300=520

12、；當(dāng)n500時，EY1440-2×500=440.從而得到當(dāng)n=300時，EY最大值為520元.答案：(1)由題意知X的可能取值為200，300，500，P(X=200)=0.2，P(X=300)=0.4，P(X=500)=0.4，X的分布列為：(2)當(dāng)n200時，Y=n(6-4)=2n400，EY400，當(dāng)200n300時，若x=200，則Y=200×(6-4)+(n-200)×(2-4)=800-2n，若x300，則Y=n(6-4)=2n，EY=p(x=200)×(800-2n)+p(x300)×2n=0.2(800-2n)+0.8=1.2

13、n+160，EY1.2×300+160=520，當(dāng)300n500時，若x=200，則Y=800-2n，若x=300，則Y=300×(6-4)+(n-300)×(2-4)=1200-2n，當(dāng)n=300時，(EY)max=640-0.4×300=520，若x=500，則Y=2n，EY=0.2×(800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4×2n=640-0.4n，當(dāng)n500時，Y=，EY=0.2(800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4(2000-2n)=1440-2n，EY1440-2×500=440.綜上，當(dāng)n=

14、300時，EY最大值為520元.19.如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.解析：(1)如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OD.ABC是等邊三角形，可得OBAC.由已知可得：ABDCBD，AD=CD.ACD是直角三角形，可得AC是斜邊，ADC=90°.可得DO=AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2.可得OBOD.利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明.(2)設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離

15、分別為hD，hE.則.根據(jù)平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得=1，即點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取AB=2.利用法向量的夾角公式即可得出.答案：(1)證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OD.ABC是等邊三角形，OBAC.ABD與CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CD.ACD是直角三角形，AC是斜邊，ADC=90°.DO=AC.DO2+BO2=AB2=BD2.BOD=90°.OBOD.又DOAC=O，OB平面ACD.又OB平面ABC，平面ACD平面ABC.(2)解：設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別

16、為hD，hE.則.平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，=1.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取AB=2.則O(0，0，0)，A(1，0，0)，C(-1，0，0)，D(0，0，1)，B(0，0)，E(0，).=(-1，0，1)，=(-1，)，=(-2，0，0).設(shè)平面ADE的法向量為=(x，y，z)，則，即，取=(3，3).同理可得：平面ACE的法向量為=(0，1，-).cos，=.二面角D-AE-C的余弦值為.20.已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4

17、，-2)，求直線l與圓M的方程.解析：(1)方法一：分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時，求得A和B的坐標(biāo)，由=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；當(dāng)直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)由題意可知：=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程.答案：方法一：證明：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時，則A(2，2)，B(2，-2)，則=(2，2)，=(2，-2)，則=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓

18、M上；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y20，則y1y2=-4，由=x1x2+y1y2=0，則，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，整理得：y2-2my-4=0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2=-4，則(y1y2)2=4x1x2，則x1x2=4，則=x1x2+y1y2=0，則，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)由(1)可知：x1x2=4，x1+x2

19、=，y1+y2=，y1y2=-4，圓M過點(diǎn)P(4，-2)，則=(4-x1，-2-y1)，=(4-x2，-2-y2)，由=0，則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0，整理得：k2+k-2=0，解得：k=-2，k=1，當(dāng)k=-2時，直線l的方程為y=-2x+4，則x1+x2=，y1+y2=-1，則M(，-)，半徑為r=丨MP丨=，圓M的方程(x-)2+(y+)2=.當(dāng)直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x-2，同理求得M(3，1)，則半徑為r=丨MP丨=，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10，綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程(x-)2+(y+)2=或

20、直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.21.已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.(1)若 f(x)0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，(1+)(1+)(1+)m，求m的最小值.解析：(1)通過對函數(shù)f(x)=x-1-alnx(x0)求導(dǎo)，分a0、a0兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)f(x)與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；(2)通過(1)可知lnxx-1，進(jìn)而取特殊值可知ln(1+)，kN*.一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知(1+)(1+)(1+)e，另一方面可知(1+)(1+)(1+)2，從而當(dāng)n3時，(1+)(1+)(1+)(2，e)，比較可得結(jié)論.答案：(1

21、)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-1-alnx，x0，所以f(x)=1-，且f(1)=0.所以當(dāng)a0時f(x)0恒成立，此時y=f(x)在(0，+)上單調(diào)遞增，這與f(x)0矛盾；當(dāng)a0時令f(x)=0，解得x=a，所以y=f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+)上單調(diào)遞增，即f(x)min=f(a)，又因?yàn)閒(x)min=f(a)0，所以a=1；(2)由(1)可知當(dāng)a=1時f(x)=x-1-lnx0，即lnxx-1，所以ln(x+1)x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，所以ln(1+)，kN*.一方面，ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)12+122+=1-1，即(1+)(1+)(1+)e；另一方面，(

22、1+)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)=2；從而當(dāng)n3時，(1+)(1+)(1+)(2，e)，因?yàn)閙為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，(1+)(1+)(1+)m成立，所以m的最小值為3.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為，(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為，(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cos+sin)-=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.解析：(1)分別消掉參數(shù)t與m可得直線l1與直線l2的普通方程為y=k(x-2)與x=-2+ky；聯(lián)立，消去k可得C的普通方程為x2-y2=4；(2)將l3的極坐標(biāo)方程為(cos+sin)-=0化為普通方程：x+y-=0，再與曲線C的方程聯(lián)立，可得，即可求得l3與C的交點(diǎn)M的極徑為=.答案：