關于化學平衡的數(shù)學模型

1、關于化學平衡的數(shù)學模型高等工程學院 于孟擇指導教師 : 摘要：本文從學習中遇到的問題出發(fā)，利用化學中的有關知識，通過對可逆反應增加或減少反應物的濃度的研究，對給定化學方程式所代表的化學反應建立了模型，從理論上對不同情況進行了分析，最后得到了不同情況下轉(zhuǎn)化率與投入量的關系，所得的結論對于工業(yè)生產(chǎn)具有一定指導意義。關鍵字：化學平衡 求導聲明 本人鄭重聲明：所呈交的數(shù)學化學應用論文是在指導教師的指導下獨立進行研究的成果，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對完成本論文做出貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。 論文作者簽名：2016年1月30日

2、1引言 在化學的課堂教學中，有這樣一個結論：對于一個可逆反應，我們可以通過增加一個反應物的濃度來增加另一個反應物的轉(zhuǎn)化率，該反應物本身轉(zhuǎn)換率降低。但是，隨著我們的學習，我們發(fā)現(xiàn)了一些問題。為此，我們對這一問題進行了深入的探究。2問題的產(chǎn)生 我們都知道工業(yè)合成氨的化學方程式： 這是一個可逆反應。我們假設氮氣的初始濃度為1，平衡常數(shù)K=3，當氫氣的初始濃度為1時，設平衡時氮氣轉(zhuǎn)化的濃度為x，則K=，解出x0.1988，此時氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.5964。其它條件不變時，當氫氣的初始濃度為2時，解出x0.41997，此時氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6299。當氫氣的初始濃度為3時，通過計算得到氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6

3、27。我們發(fā)現(xiàn)氫氣的初始濃度為2時的轉(zhuǎn)化率比氫氣的初始濃度為1時的轉(zhuǎn)化率大。這說明在可逆反應中，并不是所有情況下都有增加其中一個原料的濃度，該原料的轉(zhuǎn)化率降低。3問題剖析從上面的討論中，由于K的值為3是假設的，并不是真實值，那會不會是因為K的值不同而影響結論呢？仔細想一想，我們不難發(fā)現(xiàn)其實沒有太大影響，因為K的值會隨著溫度和壓強的變化而變化，我們可以假設達到某一條件時，該反應的K值為3。所以，K的值與最后的結果除了在數(shù)值上外沒有什么影響。那轉(zhuǎn)化率與用料的投入量到底有什么關系？我們需要從一般的化學方程式入手。4有關問題建模4.1、基本假設 （1）我們對形如的化學方程式進行研究（其中大寫字母為化學

4、物質(zhì)，小寫字母為系數(shù)）。 （2）該反應在一定的溫度和壓強下進行，平衡常數(shù)K的值為定值。 （3）反應物與生成物均為氣體（或全部為溶液）。4.2、有關變量與常量的定義 （1）所用到的常量：K 平衡常數(shù) （2）設：C 濃度（mol/L） m 轉(zhuǎn)化率4.3、模型計算與分析 （1）考慮該化學方程式中原料的投料成比例時 反應前： a b c 0 0 0變化量： ax bx cx dx ex fx平衡時: a-ax b-bx c-cx dx ex fx 同理，把帶人可得： 將該等式看成，利用隱函數(shù)求導法則可得： 顯然，分母是大于0的，分子的符號與a+b+c-d-e-f的符號相同 所以，當a+b+cd+e+f

5、時，即A的轉(zhuǎn)化率隨A的濃度變大而變大。 由此可見，當原料的投料成比例時，轉(zhuǎn)化率的變化與化學方程式中的系數(shù)有關。 5模型優(yōu)化與改進在上面的建模及計算分析中，我們對于用料成比例時進行了研究，存在一定的特殊性。一般而言，反應物的投入量不一定成比例，可以加入任意濃度的反應物?，F(xiàn)考慮將前述模型一般化，推廣到任意濃度的用料，使建立的模型得到優(yōu)化，并繼續(xù)探討轉(zhuǎn)化率與濃度的關系。還是同一個化學方程式：反應前： 0 0 0變化量： ax bx cx dx ex fx平衡時：-ax -bx -cx dx ex fx 由于轉(zhuǎn)化率, 把代入等式，得到：整理得： 此式中只有,兩個變量，設上式為F(,)=0，則由隱函數(shù)求

6、導法則有_由于所有字母都為正值，且平衡時所有物質(zhì)的濃度也都為正值，我們不難發(fā)現(xiàn)該分式的分母大于0，且當d+e+f-a0時，分子小于0，此時。i) 即當ad+e+f時，分子的正負不能確定，我們可以對分子做如下變形：由得： 把代入等式，整理后得到： = = 上式同理可得：=根據(jù)以上幾個等式，可以得到大分式的分子為：其中第二個中括號中的代數(shù)式是小于0的，第一個中括號中的代數(shù)式可變形為：現(xiàn)在，我們不妨令=0，即假設反應物為兩種，可以得到：當時，此時A的轉(zhuǎn)化率隨A濃度的增加而增加；當時，此時A的轉(zhuǎn)化率達到最大值；當時，此時A的轉(zhuǎn)化率隨A濃度的增加而降低。6結論當成比例增加反應物時，若反應物系數(shù)和小于生成

7、物系數(shù)和，所有反應物的轉(zhuǎn)化率隨濃度的增大而減小，若反應物系數(shù)和大于生成物系數(shù)和，所有反應物的轉(zhuǎn)化率隨濃度的增大而增大，若反應物系數(shù)和等于生成物系數(shù)和，則轉(zhuǎn)化率不會改變。對于一般情況而言，當該物質(zhì)的系數(shù)小于或等于所有生成物系數(shù)和時，該物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而減??；當該物質(zhì)的系數(shù)大于所有生成物系數(shù)和時，該物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大后減小?；氐阶铋_始的問題，其實大多數(shù)情況下都和我們平時所知道的差不多，只有當該物質(zhì)的系數(shù)大于所有生成物系數(shù)和時，才與我們所知道的有所出入。由于這種情況不是很常見，所以我們可以近似認為一個物質(zhì)隨著濃度的增加轉(zhuǎn)化率降低。7模型評價 對于模型（1）而言，從理論上講，當

8、成比例增加反應物濃度時，若同時將容器擴大相應的倍數(shù)，則平衡不變，但現(xiàn)在容積不變，相當于壓縮了氣體增大了壓強，平衡向氣體分子數(shù)減小的方向移動。若a+b+cd+e+f,則平衡正反應方向移動，A轉(zhuǎn)化率增大。 對于第二個模型而言，當ad+e+f時，由于本人學識水平有限，三種反應物的情況無法解決，只能考慮有兩種反應物的情況。其中出現(xiàn)了這一新變量，這對結論沒有太大影響，因為隨著A濃度的增加，平衡正移，B的轉(zhuǎn)化率隨之增加。最終的結論就相當于A的轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大再降低，只不過需要知道的值，才能判斷轉(zhuǎn)化率是否達到最大值。通過以上分析，我認為在工業(yè)生產(chǎn)中應該在保證一定的成本和產(chǎn)量的情況下，盡量讓氫氣和氮

9、氣的比例接近2.4:1。但是實際上為了提高氨氣的產(chǎn)量，同時促進氣體與鐵觸媒催化劑接觸，加快反應速率，實際的比例應該略高一些。在實際生產(chǎn)中，工業(yè)合成氨使用的氫氮比為2.7:1，接近本文用數(shù)學分析得到的理想氫氮比2.4:1。在1988年以前，工業(yè)氫氮比為3:1。根據(jù)本人分析，當時制氨成本一定居高不下，后來人們經(jīng)過不斷摸索，才將氫氮比調(diào)整為現(xiàn)在的數(shù)值。但關于這方面的理論分析未見于各類化學文獻，因此，本文得到的結論對于工業(yè)生產(chǎn)具有一定的參考價值。7附錄：相關曲線 以上都是理論上的計算，為了得到直觀的印象，我以合成氨的反應為例，假設平衡常數(shù)K=3，繪制了如下幾幅圖像：（1）定氮氣的初始濃度為1，氫氣的初始濃度為橫坐標，其轉(zhuǎn)化率為縱坐標。得到轉(zhuǎn)化率隨濃度的變化圖像： 這種情況符合ad+e+f的情況,轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加先增大后減小,由圖像可以看出當轉(zhuǎn)化率達到最大值時，濃度大概為2.4，設氮氣轉(zhuǎn)化的濃度為x，則K=，解出x0.5055，此時氫氣的轉(zhuǎn)化率為0.6319。氮氣的轉(zhuǎn)化率為x=0.5055，與理論值相差不大，在誤差范圍內(nèi)，進一步證實了結論。（2）定氫氣的初始濃度為1，氮氣的初始濃度為橫坐標，其轉(zhuǎn)化率為縱坐標，得到圖像： 這種情況符合ad+e+f的情況，轉(zhuǎn)化率隨著濃度的增加而增大。（4）假設是這樣一個反應：,設反應物成比例增加，平