第十章(第一部分)曲線積分

1、第十章曲線積分與曲面積分（第一部分）曲線積分I、對弧長的曲線積分（第一型曲線積分）一、對弧長的曲線積分的概念f (x, y)ds = lim 二7 if( i, i) 0 nf （x, y, z）ds = li叫' f（ i, i, i） Sii-0 i j2物理意義M = ”x, y）ds表示線密度為；（x, y）的弧段L = AB的質(zhì)量.L、對弧長的曲線積分的性質(zhì)1 線性性質(zhì)：f(x, y) g(x, y)ds = ： f(x, y)ds g(x, y)ds.LLL2. 可加性：若 L=Li L2，貝U f (x, y)ds= f(x, y)ds 亠 i f (x, y)ds.LL

2、,L23. L 的弧長：s 二 ids.L4. 單調(diào)性：設(shè)在 L上，f (x, y)_g(x, y).貝貝 f(x, y)ds_ g(x, y)ds.LL5. 與積分曲線的方向無關(guān)性：.f(x, y)ds二f (x, y)dsABBA三、對弧長的曲線積分的計(jì)算方法方法：化為定積分計(jì)算(注：下限V上限)(1) 若 L: X = (t), yh(t) C <t<)；貝9f(x,y)ds二 一 f (t),(t)_2(t) '2(t) dt.L(2) 若 L:(x) (X。"乞 X);貝9X；f(x,y)ds= fx, (x),1(x) dx.L*(3) 若 L: r

3、= Z) ©i 乜)；則f (x, y)ds = i f (rcosi, rsin丁)、r 2(丁) r 2(寸)dr.L丁'(4)若丨：x 二(t), y = (t), z 二(t) (： <t< )；貝9f(x, y, z)ds 二 f (t),(t),(t) r2(t)2(t)2(t)dt.ra注被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡！四、對弧長的曲線積分典型例題1例1.計(jì)算I = Lds，其中L為雙曲線xy=1從點(diǎn)(-,2)至點(diǎn)(1, 1)的弧段.分析 由于本題積分曲線L的方程可化為y =丄或x二丄的形式，但考慮到化為以 yx為積分變量的定積分計(jì)算比較困難，故本題積

4、分曲線一 1L應(yīng)采用x=-的形式。y1解由于L : x = , 1乞y乞2 ;所以 yI xds 2 11LU yx dy-1y4d2 1y42y2y31 dy(11 y21712821“4 仃2 8 2 1,2注 由于被積函數(shù)f (x, y)定義在曲線L上，故x, y滿足曲線L的方程。因此，計(jì) 算第一型曲線積分時應(yīng)首先需要利用曲線方程化簡被積函數(shù)， 這是計(jì)算曲線積分的一個 重要知識點(diǎn)2 2例2.設(shè)L為橢圓 亍+育=1，其周長記為a，求£ (2xy十3x2十4y2) ds. 數(shù)2xy - 3x155515 (_) ds_2 二二 _二_二二二.L 284424例4.設(shè)曲線-是球面x2

5、 y2 z1與平面x y z =1的交線，試求積分ip(x y2)ds . 解根據(jù)輪換對稱性與代入技巧，有i(x y2)ds = 1 t(x y z x2 y2 z2)ds - 4y2中又含有3x2 4y2 ,故可將3x2 - 4y2二12代入，從而簡化被積函數(shù)， 然后再計(jì)算；對于積分C/L 2xyds，由于L關(guān)于y軸(x軸)對稱，函數(shù)2xy關(guān)于x (或 關(guān)于y )為奇函數(shù)，故有l(wèi) 2xyd0.解 由奇偶對稱性可知 2xyds0，所以<fL (2xy + 3x2 + 4y ) ds = qL (2xy + 12) ds=2 l xyds 121 ds = 0 12a = 12a.例 3.

6、求I =qL ,|(x 丄)2( 1)2 ds，其中 L: x2 y2 =1.2 2分析此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會很麻煩。注意到積分曲線是x2 y1，而由輪換對稱性可知:£ x2 ds=人y2 ds，由奇偶對稱性知：qL(x+y)ds=0.故本題有如下簡單的解法。2L (x專 5)(x y) dsx2 工 5)ds442-2“ 39J (x2 十十+5)+(x+y)"ds=qL(44L這里ds為丨的長度，-為球面與平面的交線，所以它是圓，現(xiàn)求它的半徑r，原點(diǎn)o到平面x+y+z= 1的距離是d=丄，因此，的半徑為r = Jl-d2 = J2 .v'3、3五、對弧長

7、的曲線積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用求曲線的弧長s= ds.L2.物理應(yīng)用質(zhì)量二 Hx, y)ds.L質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量|_ 1x ( x, y)ds, y y (x, y)ds. LM L2 2=y (x, y)ds, ly = x t(x, y)dsLL引力 F =(F,Fy)=(嚴(yán)遡jir、LGP(x, y)(y- y%H、對坐標(biāo)的曲線積分(第二型曲線積分)、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義 P(x, y)dx Q(x,Lny)dy"%,P( i, i) xi Q( i,".2 物理意義二 F dr 二(P / Q j) (dx i dyj)二ABABPdx Qdy.AB十亠TT變力

8、F(x, y)二 P(x, y) i Q(x, y)j'沿L = AB所作的功.二、對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)1線性性質(zhì):-Fi(x, y) F2(x, y) d,=LT:Fi(x,LTTTy) d r 亠,! F2(x, y) d r .L2 可加性：若L二L2 (方向不變)，則F (x, y) d r 二 F(x, y) drLL,T TF(x,L2Ty) d r .3.方向性：設(shè)L一是L的反向曲線弧，貝UF(x, y) d r =L - F(x,LTy) d r .三、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法1.直接計(jì)算法(化為定積分計(jì)算).(注：下限 > 起點(diǎn)A，上限，終點(diǎn)B )(1)設(shè)

9、L : x 二(t), y = (t) ； t從變到：；貝UPP(x, y)dx Q(x, y)dy 二P (t), ' (t) (t) Q (t),(t) (t)dt.L(2)設(shè)L : y = (x) ； x從a變到b;則bP(x, y)dx Q(x, y)dy 二Px,(x) Qx, (x) (x)dx.- aL(3) 設(shè)L : x仝：(y) ； y從c變到d ;貝9dP(x, y)dx Q(x, y)dy 二 c P (y), y (y) Q (y), ydy.L(4) 設(shè)丨：x 二(t), y 二(t), z= (t) ； t從變至U 1 ;貝UP(x, y, z)dx Q(x

10、, y, z)dy R(x, y, z)dzr=P (t), (t), (t) (t) Q (t),(t),(t)f (t) R (t),(t), (t) (t)dt.2 格林(Green)公式計(jì)算法Pdx Qdy 二 dxdy.(注意使用條件！)ld x :y（這里L(fēng) 為區(qū)域D的正向邊界曲線）3利用積分與路徑無關(guān)的條件計(jì)算法P d x Q d與路徑無關(guān)二LPdx Qdy 0 , c為區(qū)域G內(nèi)任意閉曲線.c:P:QL、L、y: x(x, yf G 單連域=du = Pdx Qdy , (x, y) G 單連域.Bf Pdx + Qdy = U (x, y) A Newton lebniz公式的

11、推廣。L4.斯托克斯(StokeS公式計(jì)算法q Pdx + Qdy + Rdz = ffcos：cos：cos；xP-：zRdS.（這里】是有向曲面匕的正向邊界曲線）注被積函數(shù)可用積分曲線方程化簡!四、兩類曲線積分之間的聯(lián)系L Pdx 十Qdy = l(P cosa + Q cosB)ds.其中(x, y)、(x, y)為有向曲線弧L在點(diǎn)(x, y)處的切向量的方向角.五、對坐標(biāo)的曲面積分典型例題例1 .計(jì)算曲 線積分I = Jl(x2 + y2)dx + (x2 - y2 )dy ,其中L為曲線y = 4-門- x|(0豈x乞2)沿x增大的方向。分析 由于,故曲線積分與路徑有關(guān)。又因積分曲線

12、L不是封閉的，計(jì)算by ex本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算； 二是采用添補(bǔ)特殊路 徑，然后應(yīng)用Green公式計(jì)算。本題采用第一種方法計(jì)算比較簡便， 這里應(yīng)首先將積分x0蘭x蘭4曲線L的方程改寫為八.7 4；x；2，再代入被積函數(shù)中計(jì)算x0吒x吒4解由于汁*7 4“；2，所以I = Jx2 y2)dx (x2 - y2)dy=；2x2dx :x2 (2 -x)2 】dx： £2 -(2 - x)2 】(-dx)3 ：2(2 -x)2dx W#(2-x)3433例2 .計(jì)算曲線積分I = . dx-dy ydz，其中】為有向閉折線ABCA，這里的A、B、C 依次

13、為點(diǎn) A(4, 0, 0)、B(0, 4,0)、C(0, 0, 4).解法1:化為定積分計(jì)算.由于AB BC CA (如圖)，這里AB : x=x, y=4-x, z = 0; x 從 4 變至卩 0.BC : x=0, y=4 - z, z = z; z 從 0 變至 U 4.J 'zc(0,0,4)B(0,4,0yx A(4,0,°)分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來 計(jì)算，這里關(guān)鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程。 考慮到本題為沿空間平面閉曲線的 積分，故又可利用斯托克斯(StokeS公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。CA:x=x,

14、y=0, z=4-x; x 從 0 變到 1 .0所以 |ABdx dy + ydz = (1 -(1 -x) dx = 2 ;1i3BCdx -dy ydz = 0-(1 -z) (1 -z)zdz0(2 -z)dz = 2 ；i京 dx - dy ydz =。1 dx = 1.31從而 I = dx -dy y d 左（AB 亠 iBCCA） dx -dy ydz = -21.解法2:利用斯托克斯公式計(jì)算.設(shè)3為平面x y 1上L二AB BC CA所圍成部分的上側(cè)，D為二在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，則 D:x，y乞1, x_0, y_0 ;由Stokes公式，得1樂1血I = Hydx1-

15、11 3:z11dSdS呵3送11、3 dxdy =D例3.計(jì)算曲線積分I=(x y)dx-(x - y)dy_ lx2 y2其中L為圓周x2 y2二a2 （按逆時針方向繞行）分析 由于本題積分曲線L為圓周x2 y a2，故可首先寫出L的參數(shù)方程，然 后將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利 用格林公式計(jì)算；此時應(yīng)注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡，去掉奇點(diǎn)，使其滿足格林公式的條件。解法1化為定積分計(jì)算。x = a cost由于L的參數(shù)方程為：丿，t從0變到2,則j = asintI(x y)dx -(x - y)dyx2 +y2L (acos

16、t +asint)(acost)" (acost asint)(asint)"dt二占：【(_a2)dt 2.解法2:利用格林公式計(jì)算。設(shè)L由所圍區(qū)域?yàn)镈，則D : x2 y2 _ a2 ;于是(x y)dx (x - y)dy 1=Lx-V虧 L(X Wig(-1 -1)d 二二-D例4.設(shè)函數(shù)(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線 L上，曲線積分.1%嚴(yán)的值恒為同一常數(shù)(1)證明：對右半平面x 0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線 C,有，C (y)dx 2 ：y叭0 ；C 2 x + y求函數(shù)(y)的表達(dá)式；(3)設(shè)L是圍繞原點(diǎn)的光滑簡單正向閉曲線，求吐x 鄴

17、7 .L2 x + y(1)證 在右半平面x 0內(nèi)，任取兩點(diǎn)A,B，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)作任意光滑曲線L,L2，再以B為起點(diǎn)，A為終點(diǎn)作圍繞原點(diǎn)的光滑曲線 La，由題設(shè)知(y)dx 2xydy(y)dx 2xydy2x2 + y4' l24l32x2 + y4所以,q ®(y)dx+2xydy 叮 ®(y)dx + 2xydy 即耳申(y)dx + 2xydy 0L12x2 y4l22x2 y4' C2 x2 y4解 因?yàn)閷τ野肫矫鎥 0內(nèi)任意分段光滑簡單閉曲線C，有恤)d：+2xydy=0,所以空=冬從而有C 2 x yy x(y)(2x2 y4)-4y3

18、 (y) 2y5_4x2y222472(2x y )(2x y )所以，有 23(y)x2十y如(y) 4y3(P(y) = 2y5-4x2y，比較兩邊x的同次幕系數(shù)得Y(y) = -2y屮(y)4®(y)=2y2，由第一式得(y) = -y2 c，代入第二式得c = 0，于是,(y)二2 解 設(shè)D為正向閉曲線La：2x2 y1所圍區(qū)域，由(1)(y)dx 2xydy =:L 2 x 2 y4_利用Green公式和對稱性,®(y)dx +2xydy2x2 y4- l,2x2 y4，(儼 2xydy曲呱 2xydy4ydxdy=0.La 2x yLaD例 5.計(jì)算曲線積分 I = Jl(1 + xe2y )dx + (x2e2y - 1)dy，其中 L 為(x - 2)2 + y2 = 4 在第一象限沿逆時針方向的半圓弧。分析 本題若直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算是比較繁的。我們可以先看，以決定L、L、:x : y是否用格林公式或其他的方法計(jì)算。PDPQ解 記= 1 xe2y，Q = x2e2y1.則由于 一二2xe2y一，可見所給積分與路cyex徑無關(guān)?，F(xiàn)取Lj ： y =0， x從4變到0 ;則有I = JI xe2y)dx (x2e2y - 1)dy=L (1 xe2y)dx (x2e2y1)d