第十章積分的應(yīng)用(教師用)(秦)

1、第六章定積分的應(yīng)用267頁第一節(jié)：定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積直角坐標(biāo)系情形bb曲邊梯形的面積 A = f(x)dx,A = f2(x) _片(x)dxdd同理有 A 二 (y)dy, A 二：2(y) - ：i(y)dyLcc補(bǔ)例計(jì)算由兩拋物線y =x2和x二y2所圍圖形的面積解：交點(diǎn)(0，0)( 1，1)；積分變量 xW0,1 ,dA =(J7_x2)dx33/22 2 x 11(.x -x )dx = x20 =333若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程*=紗)曲邊梯形的面積b:A 二 f(x)dx 二 (t) (t)dt (：)=a( ：)=b)a極坐標(biāo)系情形設(shè)由曲線二護(hù)(二)，及射線

2、r -門- -圍成一曲邊扇形，求面積.這里，:)在:，訂上連續(xù)，且：0_0 面積元素dl ':)2，曲邊扇形的面積1 1 2A 篤D d-2 Jot例 計(jì)算阿基米德螺線J二ar(a .0)上相應(yīng)于二從0變到2二的一段弧與極軸所圍圖形的面積。解. f 兀a22 a2H32兀42 3解 Ad 0 a ：.02233r-z2空間曲面的面積：曲面z=f(x,y)時(shí)，曲面面積 A=1 (：z)2 CZ)2dxdy ;J V &cyDxy其中Dxy是曲面在xoy平面上的投影區(qū)域若曲面方程 x=g y, z時(shí)，曲面面積是若曲面方程 y =h z,x時(shí)，曲面面積空間立體的體積(x, , R2

3、x2)一般的：y =yHx) . y =y2(x) a ：x ： b繞平仃于y軸的直線y =c旋轉(zhuǎn):體積元素,V =JIh rV0 富 x3r x h:hrdx 2【0 =h233精品文檔1、平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)A(x)表示過x且垂直于 x軸的截面面積，dV = A(x)dxb立體體積V二 A(x)dxJa2、旋轉(zhuǎn)體的體積一般地，由連續(xù) 曲線y = f(x)、直線 x =a,x =b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？ 取積分變量為 x,x三a,b，在a,b上取小區(qū) 間x,x dxdv“f(x)2dx 旋轉(zhuǎn)體的體積為 V jrf (x)2dx ab2b2?(

4、yi(x) c) dx 兀 a(y2(x) c) dxy = (x), y = y2 (x) a ： x : b 繞平行 y 軸直線 y = 0 旋轉(zhuǎn)：b 2b 2V = jt yi( x)dx 兀y2 (x)dx類似地，由連續(xù)曲線x= (y)、直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸d旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為V (y)2dyd2x=®(y),c Ey蘭d繞平行于y軸的直線x=d 一周：V =叫®(y) -d dy _c補(bǔ)例 連接坐標(biāo)原點(diǎn) O及點(diǎn)P( h,r)的直線、直線x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積

5、.” ，、r解 直線op方程為y = X ,取積分變量為x, x：=0, h，在上取小區(qū)間x, x，dx, hr 2dV二二 x dx，圓錐體的體積h補(bǔ)例 求曲線y=：4-x2及y=0所圍成的圖形繞直線 x=3旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積解：取積分變量為 y, y三0,4，體積元素為2 2 2 2 dV 二二 PM - QM dy=:(3 .4-y) -二(3-. 4 - y) dy=12二.4 ydy,V =12，i , 4 ydy =64二3空間立體的體積V ： hi dv： 11 Z2 x,y 一可 x, y 4 Q D其中V為1 的體積，D為11在xoy平面上的投影區(qū)域，且z1 x,y _z_z

6、2x,y 三：曲線弧長直角坐標(biāo)情形：設(shè)曲線弧為y = f (x), (a _ x _b)，其中f (x)在a,b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，取小區(qū)間x,x+dx,以對(duì)應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長；弧微元ds = (dx )2 (dy )2 = 1 - y 2 dx ； 弧長 s ：打1 亠 y 2 dx參數(shù)方程情形曲線弧為*二器訃)(a <P)，其中半(t),屮(t)在a, B上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) y = (t),ds =(dx)2 (dy)4 ：2(tF2(t)( dt)2H(t)e2(t)dt 弧長s 二一 2(t)宀 2(t)dt極坐標(biāo)情形：曲線弧為r =r("(u“：.)，其中rO)在

7、:, 一：上有連續(xù)導(dǎo)數(shù).* 日黑 C°s?(。繞邛)所以 ds =f(dx)2 +(dy)2 = Jr2(日)+r 勺日)d 日y =r(H)sin HT弧長 s= 'r2(芥r2G)drI =X(t),R 同理，空間曲線弧為 y =y(t),( : _t _ ：)，的弧長為 s= - x2(t) - y 2(t) - z2(t)dtz =z(t)次補(bǔ)充例子求極坐標(biāo)系下曲線r =a sin3(a . 0)(0 _二_ 3二)的長.3解:-3a(矚)21a( s iG3oc217T-R3:-22一.s = r2) - r 2(v)dr 二fat3' 23(sin ) d

8、 a032=aIS6 亠a2(sin二)4(cos二)2dv一3習(xí)題10 1163頁1求下列各曲線所圍成的圖形的面積:1 2 2y二x2及x22y =8，(兩部分都要計(jì)算)。聯(lián)立:y*,# +y2 =8.4x 丄2 c=> +x =8二 <4；：22, r2：8-x2dx- 2 丄 x2dx2 2而：l 8 x2 dx-24_.8cos2tdt =4 1. (1 . cos2t)dt =2 .亠43x.& = 2，亠4 622,4廠 24=2,S2 =二(2、2) -Si =6 二3-1(1)y ，與直線y二x及x二2。x3213S (x )dx ln 2.1x2(2) y

9、 = I n x, y軸，與直線y =ln a, y =ln b(b a 0)。=eyIn bIn aIn bS eydy ln a(3) y 二x 與直線 y 二x 及 y 二 2x。_ 2=x = (1,1),(0,0),=x,聯(lián)立：yly1S = o(2x -x)dx 亠 j (2x -x2)dx =2x N(2,4)= 2x,2 x 1.："231)2_31=a2 2_. (1 亠cos2v)d v -二 ajL2求下列各曲線所圍成的圖形的面積：2(1) r =2acos n= A2_.(2acos n)2d n2 U?(2)r 二2a(2 cost),A二丄22 2=16i

10、a +8a sin 82 222 22a(2 cos2d 二- 2a2(4 4cos = cos2 "dr0 二-2a22二 1 C0S2f. “2d V -18 二a .022 2、22, 22、2 2 2(3) (x y ) 2a (x -y ), x y _a .解：聯(lián)立，P2"/COS細(xì)二0=蘭P=a,6豈衛(wèi)H31S =4S =4 1 $2a2cos2知-4 1 $a2dv -2a2sin6 -2a 6=2a2 3 _2a2a2(J3 ')2634求拋物線x2 =2y與圓x2 - y2 4x =0所圍的面積。解：聯(lián)立x =2. x =0, y =2； y =

11、0.2.22 _(x -2)2d(x -2)(或由幾何意義可直接得2 2 二 22I 4x -x dx 二 04163頁5求錐面被柱面z2 =2x所割下部份的面積解：對(duì)z由 z；2x：xy2 消z 得 D:：zxx x2 y2A =16& 21 (: )2ex(立)2d；16:yDR：x2 此RR2 丄2=16 dx0 0RrCx22dy 二16R .V=jL：，1 (N)2 (N)2d、! ! ：F2dxdy163頁6求圓柱面x2 y2 =R2及x2 z2 =R2所圍立體的表面積解；如圖，a在xoy面上的投影區(qū)域Dxy：0乞xy遼R,x_0,y_0 ;由對(duì)稱性知， 所 求 面 積16

12、3頁7求由曲面x2 y2 =az和z =2a -； x2 y2 (a 0)所圍立體的表面積。x2 -ty 2 _r2解：聯(lián)立 x2 y2 =2a2 -a x2 y2:r2 ar -2a2 =0r =a,z =a, D :x2 +y2 蘭a2.sp +xy2 d x dyTna2,d * x +ySSFJ D-1 . 4x2 4y22 dxdy(極坐標(biāo)) aa22 a 12 4r 4r8 廠0 ：1 /4d 子(¥")a2毛24-.1 tdt a2 -(1 t)2043t(55-1)S =S1 S2 =才(6、. 2 - 5.5 -1)163頁8求底面半徑為R的圓，垂直于底面

13、上一條固定直徑的所有截面都是* y等邊三角形的離體的體積。解：圓：x2 y2 = R2，任取一點(diǎn)x，截面積:A(x) =2y (2y)2 _y21 =2. 3(R2 _x2)丄2 2RV = A(x)dx孑 3(R2 _x2)dx=¥ R3163 頁 9 (1)3=x ,x=2, y=0所圍圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，求二旋轉(zhuǎn)體的體積。Vx =2 二 y2dx,6二 x dx128 二-7,Vy = 0i(22 箱)dy =¥163 頁 9 ( 2)101,y =10繞 y 軸。10V 10ydy10(10y10)dy 二 5二y2 00 -5iy2 102 10 +90

14、兀=95 兀2 2163 頁 9(3)x (y -5) =16 繞 x 軸。y1 .16 _x：/0 f J162dx 4 42 ,y2=5_ 16°2,V=2 二(5 亠 16_x2)2dx_2二(5_16_x2)2dxxsint-21-.640 兀 J cos2tdt40兀，_ +吐=160江1 -ten 22 2 163 頁 9 ( 4)2 2 2把x3 y =a3繞x軸旋轉(zhuǎn)，求體積。（與155頁例9重復(fù)）。解: x =acos3t,y =asin3t ；a 20.V =2 0 ry2dx =2 'Wi2 sin6 t3acos2t(sint)dt2sin 7t(1 s

15、in2 t)dt2法2,由：x32 y =(a33a 2a V =2 0 :y dx =27. 0 (a3 -x3)2 dx2 3-X3)24 22 4a2 -3a'x' 3a3x2x )dx32=TI1052 2 210求由曲面z =x y及z=8x2-y所圍成立體的體積。解：聯(lián)立得 D : x2 y<4rryV 二8 2(x - y )dxdy (極坐標(biāo))D2 二 2 2 2=f v (8 2r )rdr =:4r4r c0 =8二211用定積分的元素法證明圓錐臺(tái)體公式:1 2 2 r(R Rr r)r Rr Rr R證明：作圖： kAB 二- -,AB直線方程：y-

16、R 二(x-0), y=R，xhhhr - R 2A(x)Y(Rx)2 ,h丄r R 2V =叫(R+x) dx二 hr -R0h(R Rx)2dr Rx0 hhh3(r _R)r _R(5x)3'h (R r _R)3 _R3=丄'h r3 _R3h(R2 - Rr r2) 3(r -R)3 r -R3163頁12證明：0遼a遼x玄b,0遼y遼f(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積：bV =2 - | xf (x)dx。a解 :任取一點(diǎn)x ,則其旋轉(zhuǎn)周長為2二x ,設(shè)給定x 一增量x ,則有bV =2 二 x f(x) . x，所以；V =2二xf(x)dx.axR+rR-rTr

17、r注；用習(xí)題19的方法可求得同心圓環(huán)的體積：r22，x -R =trV =2 2，i x. r -(x -R) dx = 4 - (t(奇)r).-_r. r, 2 r2 -t2dt(幾何意義)=4 :R r =2 :R 二 r2-T2 2r -t dtr= 4r:.r163頁13求曲線y =ln(12 1-x)上相應(yīng)于0沙違的一段弧的長。S=0 曲+y2(x)dx=0 J112 22q 丄/ 2x .2. f 1 +x1 .(心2)dx = .0212 1 1 )(x 1 _Ex1I ： ii x |2 x 一 1 :0 Pdx0=dx11 In2補(bǔ)充1:求對(duì)數(shù)螺旋線=a及射線v -二,v

18、-二所圍圖形的面積。2a"三eo2A2 5V1是直線y=2a與擺線所圍區(qū)域繞 y=2a所旋轉(zhuǎn)的體積。-411山二門9題圖 J-.二I亠 f N *'(xL*b -aOa x dx b x-二a32-a(1 - cost) a(1 -cost)dt3a231- -3T20=8二2a3 -二2a3 =7二2a3.補(bǔ)充3:求x2 y二a繞x - b (b 0)旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。V J a2y2 -<Q2dy -二 0 士a2 -y2 b2dy=4b 二a2 _y2dy 二8b 二a2 -y2 dy y wsint 亠-2"28b "|2 a2 cos

19、2tdt 二2a2b»2(幾何意義)2 Jia22JlVi = o 二(2a -y) dx =。二2a 補(bǔ)充4:計(jì)算y=12(3_x)上相應(yīng)于1乞x3的一段弧的長。3S 1 - y (dt(x)dx1 丄(丄 r：；x)2dx丄(丄-x)2dxi1 4.x14 x3311_1k3_1_4=-(一 +M)dx =(亦 +_x2) 3 =代 二 +_(3*% _1)1 2 jx*3*3 py 3補(bǔ)充5:求對(duì)數(shù)螺線r =ear自v -0到v - '的一段弧的長。S = 0 r2(T -r 2(7i)dv - e2aa2e2aTd j-，.1 a2 0 eaPr =aL(ea 

20、9;_1)練習(xí)冊(cè)：(x)dxIn2.Inb=I n x二 ey1求下列各曲線所圍成的圖形的面積:4123a2tsin 2td (sin 2t).頁).積分限0到一2畳3的取法見法 2A =4A1 =4=12a2 o2 sin4tdt -12a2=4 i ,asin3 * Itdacos3t =12a2 2 sin41cos2 tdt-衛(wèi)p248,ex102 sin 6 tdt12a23 1 二 5 3 1 422 642 28Ina(2) y =1 nx,y 軸，與直線 y =1 na, y=lnb(b a 0)。In b.33.(3) x =acos t, y =asin t;(與 155

21、頁例 9 重復(fù))。° 二.332 4.22sin2 2t 1 -cos2t,.a sin tda cos t =-3a | sin t cos tdt =-3a qdtx軸上方之間的圖形所圍2求位于曲線y=e1 （1） y -與直線y=x及x =2。 3a2二 1 -cos4t下方，該曲線位于切線的左方以及成的面積:0解:曲線y =ex在給定點(diǎn)（x0,e“）的切線為ye* =ex° （xx。）,切線過原點(diǎn)（0,3求心形線r =a(1 yosv),與圓r =a所圍圖形的公共部分的面積。S =2(® S2),®' aa-0x解:S = J (x -I

22、n x)dx =(三-xln x +x) a '=a|i丄U_(aU) In(a|) +aln a =a| -(a|)I門3|)為1門 a. 2.4212 n_ n -a (1 cos v) d v22 22-(1 - 2 cos t1 cos2 Rd J=?(3 亠2cos v -1 cosdt1 =2 2 22=a (3 二-2).24-(- - 2sin v - - sin 2v) 22422 3 22S =2(Si S2) =2( a - a a ) =a84一2).4試確定a的值，使曲線y =ln x與三直線y =x,x =a,和x =a 1(a >0)所圍成圖形的面積

23、最小。令:S (a) =1 一1働ln(a 01) 0ln a =1 |ln =0a_1得:展)丄a =0,曰(丄1)=，a =a|fleeee彳點(diǎn)一1Te1由曲線y=x2,y=丄,及x =2所圍成圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積xy =f (x), y =g(x)及直線x=a,x=b所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積為b 22af(x)g "MX.yAy= f (x)3由曲線y二 x,x 0,1繞x軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體，求其體積。dx1 XO2X 2xy 二 a(a 0)與直線 y 二 a,y =2a及x =0圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。2、/r2a a .2/ 12a2”、丄

24、 J 兀a解：v =兀 dy=Tia ()a =陽()+= y cos41 sin2 t 亠9a2 sin4 tcos2 tdty2a a 21 已知函數(shù) y(x)=t2dt,其定義域是t'3,T3V(x)=(3x2,y(x) 3所表示曲線的全長L出;丫3并寫出求解過程。3解：要y(x)有意義，須被積函數(shù)連續(xù)，而顯然t2豈3,所以-3乞3,故積分上限x只能在被積函數(shù)連續(xù)區(qū)間上變化，即- .<-.3,顯然y (x) = ； 3 x2 , L =1 y2(x)dx_：x=2sin324c os tdt =2-7： 3加34jr.S 二=4-y 2(t)dt =4 J 9a二 12a2

25、2 2sin tcos tdt 二 12a2 sintcostdt =6asin2t 孑 =6a332計(jì)算星形線x=acost,y=asin t的全長。3求心形線r =a(輕cos|的全長。由對(duì)稱性：S =2 (丁) r 2(v)d 二=2. 22.(1 cosv)(-asin：) dv注 :不能如此計(jì)算：(如圖1 ) ds = r陽卿所以：S =怡(1 ”co督習(xí)=a |'o( 1 +co脅雷=2 督事實(shí)上(如圖cosdr -8asin -12 21cos2 d v _ 4ar(r d)2 )99ds = (rd <i)- (dr)2閭）2d|Hr2-(r )2dr老練習(xí)冊(cè)17

26、頁 二重積分的應(yīng)用1求錐面z =Jx2Ry2被柱面z2 =2x所割下部份的面A積.Dxy ：0 X2 y2 2x,2求平面=1被三坐標(biāo)軸所割出的有限部分的面積。a b ccb，2 2TFd dxdy功元素dWWa 72dr=kqH7b=kq(b)解:Z =c(1 丄 _丄),Zx =, Zy =a ba2 r i 222 dxdy :a b' 2 2- Jx c c 11=1ab (兒何丿意義) a b b c c a .a2b2第二節(jié)積分學(xué)在物理上的應(yīng)用164頁一、液體的壓力在水深為h處的壓強(qiáng)為p = Jgh, J，是水的密度若一面積為A的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一側(cè)所

27、受的水壓力為P = phA 二變力所作的功b變力做功為W二F(x)dx.補(bǔ)例1把一個(gè)帶+去電量的點(diǎn)電荷放在 r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場.這 個(gè)電場對(duì)周圍的電荷有作用力.由物理學(xué)知道，若一單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為r的地方，則電場對(duì)它的作用力為F二k-(k常數(shù))，當(dāng)這單位正r2電荷在電場中從r=a處沿r軸移動(dòng)到r=b處時(shí)，計(jì)算電場力 F對(duì)它所作的功. 解積分變量r三a,b5w0功微元oarx + dx51x問要把池內(nèi)的q o若將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處W二：=qdr二kqJ，嶼a r2r a補(bǔ)例 一圓柱形蓄水池高為 5米，底半徑為3米，池內(nèi)盛滿了水 水全部吸出，需作多少功？解 坐標(biāo)如圖

28、：為積分變量 x三0,5,2dw =gxdm(x) =9.8x 二 3 dx =88.2xdx288.2 二 xdx=882 專0 ： 3642(千焦)2物體沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功質(zhì)點(diǎn)受到變力：F x,y =P x,y i Qx, y j的作用，沿曲線 L所作的功;dw =P(x,y )dx+Qx,y Jdy ; ( P(x, y dx+Qx, y三引力(不講)四質(zhì)量：曲線或曲面的質(zhì)量：M ： I !(x,y)ds, M ： i ：(x,y,z)ds, M ： ii !(x,y,z)dSZ平面薄片的質(zhì)量 M -x,y d；，(x,y)為面密度.D空間物體的質(zhì)量 M =：? x, y, z d

29、v, ：?(x, y, z)為體密度.Q重心平面薄片的重心x,y:11 X： X,y deI I ' :ix,y dey x, y dey =-；T(x,y)面D密度空間物體的重心坐標(biāo)x,y,z :設(shè)i :ix, y,z為體密度函數(shù)Iiix!4x,y, ZdvIII y ix, y, zdvm z!qx,y,zdvx， y， z =in ：-:i：x, y,zdvhi ：-i：x,y,zdvhi ：i：x,y,zdvQQQ當(dāng)密度為常量時(shí)(即均勻的)，則重心稱為形心.可類似地給出形心坐標(biāo)公式(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(不講)練習(xí)冊(cè)13某閘門的邊緣線為y? =2乂,0蘭x蘭2,鉛直沉入水中，底邊在水面

30、下且與水面平行，而頂點(diǎn)恰好在水平面，試求其側(cè)壓力，若將壓力加倍，則此閘門應(yīng)降至何深度？圖253168h32 8166-，h = ,h = -1.2(m) 535 355h 2x或：F2 = . 2g x、x -hdx、hx 応!B=2g 2 0(2t3 416 8h 32 8 ,_h 二5 35 35<2ot2h)td (t2 h)|ht2)dt 切虧 £ h)| 0普卜")洛32Hg16,h 二；=1.2(m)dS = 2xdx,dF2 = g . 2(x - h)dx_2_. x =i _F2 - 2g o(x h) * xdxL#2=2g 2 (t4 - ht2

31、)dt =2g法2:（建立坐標(biāo)系如圖 3）則有二廠邁22=2 2g o( t_ 一535 - h)tdt253053516 8h=32,8h J= g(2(2t2ht2)0 =gpQ(亜她 J0) =2R,h=6m(m)535 3554水壩中有一直立的矩形閘門， 寬10米，深6米，閘門上邊緣平行于水面, 試求（1）水面在閘門頂上 8米時(shí)閘門所受的壓力。（2）若欲使所受壓力加倍, 則水面應(yīng)升高多少米？圖2解：1) dS =10dx, dF =g10xdxFi =10g14xdx =10g2=10g(14 8)(14 - 8)= 30g 22 =660g =6648(KN)2)F2 =10g 山乂

32、 dx =5gx2 6 h =5g6(6 2h) =30g (6 - 2h)= 2F1 =1320g, 6 2h =44,h =19(m)所以，水面應(yīng)升高：h _8 =19 _8 =11(m).1已知彈簧的彈性恢復(fù)力與彈簧的伸長量成正比，某彈簧伸長量為0.5cm時(shí)，彈性恢復(fù)力為 0.75kg，試問欲使彈簧伸長 6cm,需作功多少？解：f =ks,又：0.75=k而Ek=50,所以：f=150s0.06 2W = #50sds =75s0.06 =0.27kg m =0.27X9.8 =2.646(J).2半徑為r的半球形水池，其中盛滿了水，當(dāng)抽水所作的功為將全部水抽完所作功的一半時(shí)，問水面下降

33、的高度h為多少?解：對(duì)應(yīng)于x,x+dx那一層薄水的體積微元為功微元為 dW =gxdm =(r2 -x2)dx,( =1)，故快速練習(xí)題精選x°9.8 2(5 x)xdj44001、 由曲線y=_2和直線x=1,x=2,y=-1所圍成的圖形繞直線 y =-1旋轉(zhuǎn)所得2 2 旋轉(zhuǎn)體體積的定積分的表達(dá)式是（不算積分值）_. V =兀（今+1）0103 174頁2有一矩形閘門，形狀尺寸如圖，水面超過門頂力。 解：dp =x 1 2dx, p = 2xdx 9.8 , p =9.8x2174頁3 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為 R, 水dx-2、由相交于點(diǎn)X1,y1及

34、X2 ,y2（其中X1: x2 ）的兩曲線y = f x宀0 ,y二gx .0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積 V是：A （ A）習(xí)題10 2 174 頁174頁1有一等腰梯形閘門， 其兩底長為10m和6m,高為20m,較長的底邊與水 平面相齊，計(jì)算其一側(cè)所受的水壓力。5-311AB:y4(x20w京 2"的比重為，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力.解 建立坐標(biāo)系如圖；積分變量0, R，取小區(qū)間x,x dx，小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似相等 p二:gx,小矩形片的面積為 2 R2 -x2dx ,小矩形片的壓力元 素為dP -、gxdS（x） =2igx.R2 -/dx，端面上所受的壓力帀

35、x，xdp =g 1 2y xdx=g 2(5 )xdx,9.8 =14373(kN)。2m,求閘門所受的水壓=205.8(N)10xP=jxjR2- 212R 22 22-x dx 二-Tg (R -x )2d(R -x )、222 32 R 2 ：?g 3j；g§(R -x ) 20學(xué) R .174頁4邊長為a和b的矩形薄板，與液面成角斜沉液內(nèi)，長邊平行于液面而位于深h處，(a .b)液體密度為，求薄板每面所受的壓力。b. bdp = a(xsin很亠h)dx， p = a ° xsin 二dxa ° h)dxab21= a sin abh ab(2h bsi

36、n： )22174頁5直徑為20cm，高為80 cm的圓筒內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N cm2的蒸汽,設(shè)溫度保持不變，要事蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功?由 pvrk得k =10 (二 102 80) =80000二，設(shè)蒸汽高 X 時(shí)，壓強(qiáng) p(x)，則:p(x)(二 102 x) =80000： p(x)二型側(cè)=二 102 p(x)dxx4080 二102 趣dx =8000011 nx80=70005ln 2(N cm) =805 1 n2(N m) =05ln2(J) x40174頁6 一物體按規(guī)律x=ct2作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比, 計(jì)算物體由x=0移至x=a時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所

37、作的功。124V(t) =x(t) =3ct2, f - -kv - -9kc2t4(k -0),而t ¥)3” f - -9kc3x3,于是,克服媒質(zhì) c2 4阻力所作功的功元素：d - -9kc3xdx，2 427W = f 9kc3x3dx =9kc3 3x? 9 -2 72r 3 3 o kc3a3.7精品文檔174頁7有一錐形貯水池， 深15m,口徑20m,盛滿水，今以唧筒將水吸盡， 要作 多少功？1002 2 2 2AB:y0(x15)：=y=10x， dW =xry dx =二 x(10 x) dx，0153315221540 24 3W恵x(10 _x)2dx =恵(

38、100x _x2(x3)dx=fl(50x2 43 +lx4 )05 =1875#噸米)£7726.7(千焦)990174頁8半徑為r的球沉入水中，球上部與水面相切，球比重與水相同，將球從水中取出，需作多少功？2 2 2 22r0dV(x) =7y (x)dx =:r (x r) dx, dW = g(2r x)二2xr x dxW =g 二4xr -4x2r - x3dx 二g 2x2r0法2如圖建立坐標(biāo)系，有:rW =gr:-_r(r -x(奇)(r22-x )dx =2gr：r/ 3(rrx2)dx =4r43174頁9設(shè)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在 M(x,y)處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點(diǎn),2 2此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn) A(a,0)沿橢圓一-1按逆時(shí)針a2b2方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(0, b),求力F所作的功W.解:OM =x iy j,0M 卜 x2 : y2r22 T T TF =k<x2+y2, F/MO =-(x i +y j)由假設(shè)有：F -k(xi y j),其中k 0是比數(shù)。.