應(yīng)用F-展開法求解Hirota-Satsuma方----------程組的精確行波解

1、應(yīng)用F-展開法求解Hirota-Satsuma方 程組的精確行波解紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）摘 要在本文中引入一個(gè)輔助方程，通過這個(gè)輔助方程來構(gòu)造Hirota-Satsuma方程組的精確解，利用這個(gè)輔助方程的解，獲得了Hirota-Satsuma方程組的各種行波解，包括周期解，孤立波解，扭子波解，緊孤立波解等.關(guān)鍵詞：Hirota-Satsuma方程組；F-展開法；行波解；周期解；孤立波解； 扭子波解；緊孤立波解ABSTRACTIn this paper, a auxiliary equation is introduced. By using this auxiliary equation

2、, the exact solutions of Hirota-Satsuma equations are established .that is, different kinds of exact traveling wave solutions of Hirota-Satsuma equations are obtained by use of solution of this auxiliary equation ,these exact solutions include periodic wave solutions, solitary wave solutions,kink wa

3、ve solutions and compacton wave solutions.Keywords: Hirota-Satsuma equations; F-expansion method; traveling wave solutions; periodic solutions; solitary wave solutions; kink wave solutions;compacton wave solutions目 錄第一章 緒論11.1 研究現(xiàn)狀11.2 研究方程11.3 研究?jī)?nèi)容1第二章 F-展開法3第三章 求解方程組53.1 一般形式的精確解53.2 函數(shù)的行波解7第四章 小

4、結(jié)36參考文獻(xiàn)37致謝38紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）第1章 緒論1.1 研究現(xiàn)狀 非線性科學(xué)是近30年來在綜合各門以非線性為特征的科學(xué)研究基礎(chǔ)上形成的，是繼量子力學(xué)，相對(duì)論之后20世紀(jì)自然科學(xué)的重大發(fā)現(xiàn). 最近,出現(xiàn)了許多求非線性發(fā)展方程精確解的新方法,如:齊次平衡 ,雙曲正切函數(shù)展開, 橢圓函數(shù)展開 , F-展開 等. 它們各自對(duì)于某一類方程求某一種形式的行波精確解是十分有效的.其中橢圓函數(shù)展開法 , F-展開法對(duì)于求非線性發(fā)展方程的 橢圓函數(shù)解是十分有效的.對(duì)于Hirota-Satsuma方程人們一直通過各種方法進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)非線性發(fā)展方程( 組) 的精確孤立波解在數(shù)學(xué)物理問題研究中起著

5、重要的作用.孤立波精確解除了自身的物理意義之外還可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理方程解的定性研究、鑒別數(shù)值方法和近似方法的有效性. 但是由于非線性發(fā)展方程的復(fù)雜性,畢業(yè)設(shè)計(jì)論文代做平臺(tái) 580畢業(yè)設(shè)計(jì)網(wǎng) 是專業(yè)代做團(tuán)隊(duì) 也有大量畢業(yè)設(shè)計(jì)成品提供參考 QQ3449649974 對(duì)它的求解研究還是非常困難的. 這些方法各有其優(yōu)劣點(diǎn), 只適用于各自的特殊類型的方程( 組)的求解,求解非線性數(shù)學(xué)物理方程( 組) 的還沒有系統(tǒng)而有效的方法.所幸的是孤子理論中蘊(yùn)涵著很多求解精確解的有效方法，如反散射法(IST)7-9,Hirota雙線性法10，Painleve有限展開法11-12，延拓法及Lie群法13等.但目前科學(xué)理

6、論和技術(shù)的發(fā)展迫切需要研究有效的求解方法.所以求非線性數(shù)學(xué)物理偏微分方程的精確解是人們探索的課題,需要研究有效的求解方法.目前，非線性科學(xué)已成為當(dāng)代研究的焦點(diǎn).1.2 研究方程(1)非線性Hirota-Satsuma方程組14 (1-1)1.3 研究?jī)?nèi)容本文主要是針對(duì)非線性耦合方程組（1.1）的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)輔助方程，通過采用齊次平衡法、F-展開法及輔助方程的解來得到方程組(1.1）的行波解，并利用數(shù)學(xué)軟件Maple得到行波解的幾個(gè)典型波形圖.論文主要分為三個(gè)章節(jié)來寫：第一章 主要寫研究此問題的背景，研究方程的由來及論文的大體情況； 第二章 主要介紹論文用到的概念及研究方法； 第三章 論文研究

7、的全過程及得到的結(jié)果； 第四章 論文小結(jié).1紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）第2章 F展開法 F-展開法是齊次平衡原則的新應(yīng)用，可視為橢圓函數(shù)、三角函數(shù)以及雙曲正切函數(shù)展開法的概括.考慮非線性波方程(PDE) (2-1)為其變?cè)亩囗?xiàng)式，其中包含有非線性項(xiàng)和高階偏導(dǎo)數(shù)尋求它的行波解為 (2-2)其中為非零常數(shù)，是任意實(shí)常數(shù).(2.1) 經(jīng)(2.2) 行波變化為 . (2-3) 依據(jù)F 展開法，首先，假設(shè)(2.3) 的解u() 具體形式為 (2-4)其中 為待定常數(shù)，且函數(shù)滿足如下的一階常微分方程 (2-5)其中A, B , C 為待定常數(shù). 然后，利用齊次平衡原則 ，確定(2-4) 式中的n ，

8、使得(2-4) 式可以平衡(2-3)中的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng). 將確定了n 的(2-4) 式代入(2-3) 式，求出使(2-3) 成立的各個(gè)待定常數(shù). 再將求出的常數(shù)代入（2-4）式，這樣在形式上就得到了（2-3） 式的F-展開解(2-4) . 最后，根據(jù)表1 F 函數(shù)就可以取成相應(yīng)的 橢圓函數(shù)，從而就得到了（2-3）式的精確行波解.表一方程與之相應(yīng)的橢圓函數(shù)解的關(guān)系15:（其中=）No NO12345678,A0,A0,A0,0,A0,A0,0,A0,A0,c0A09 10111213141516,A0,C0A0,A0,=0,A0,=0,A0,A0,B=0,A=0 ,C0,A=B=033第

9、3章 求解方程組 本文的主要工作是采用F-展開法、齊次平衡法及輔助方程法來解如下Hirota-Satsuma 方程組 (3-1) 3.1 一般形式的精確解為了尋求方程組(3.1)的精確孤立波解，我們可設(shè) ， ， ， (3-2)其中待定，把(3.1)式代入方程組(3.0）可得下列常微分方程組 (3-3) 現(xiàn)假設(shè)能表示成有限級(jí)數(shù) (3-4)這里是待定常數(shù)，而滿足一階非線性常微分方程 (3-5)根據(jù)改進(jìn)的F展開法和齊次平衡法，我們假設(shè)可以表示如下： (3-6) 將(3-6)代入方程(3-3)，并利用(3-5)式，將方程(3-3)化為的多項(xiàng)式,消去。令多項(xiàng)式的系數(shù)為零，得到一個(gè)超代數(shù)方程組 （3-7）

10、 （3-8） (3-9) (3-10) (3-11) (3-12) (3-13) (3-14) (3-15) (3-16) (3-17) (3-18) 求解代數(shù)方程組(3-7)-(3-18)，取以下四種情況的解組： 情形： （3-19） 情形 ： (3-20)情形： (3-21) 情形： (3-22) 3.2 函數(shù)的行波解 通過運(yùn)用方程(3-3)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的關(guān)系表，分別把16個(gè)解帶入四種情形可得到以下一系列的解.對(duì)于情形I： (3-23) (3-24) (3-25) (3-26) (3-27) (3-28) (3-29) (3-30) (3-31) (3-32) (3-33) (3-34)

11、(3-35) (3-36) (3-37) (3-38) (3-39) (3-40) (3-41) (3-42) (3-43) (3-44) (3-45) (3-46) （3-47） （3-48） (3-49) (3-50) (3-51) （3-52） （3-53） （3-54） (3-55) （3-56） （3-57） （3-58）對(duì)于情形II ： (3-59) (3-60) (3-61) (3-62) (3-63) (3-64) (3-65) (3-66) (3-67) (3-68) (3-69） (3-70)(3-71) (3-72) (3-73)(3-74)(3-75) (3-76) (

12、3-77) (3-78) (3-79) (3-80) (3-81) (3-82) (3-83) (3-84) (3-85) (3-86) (3-87) (3-88) (3-89)(3-90) (3-91) (3-92) (3-93) (3-94)(3-95) (3-96) (3-97) (3-98) (3-99) (3-100) (3-101) (3-102) (3-103)(3-104) 對(duì)于情形 ： (3-105) (3-106) (3-107) (3-108) (3-109) (3-110) (3-111) (3-112) (3-113) (3-114) (3-115) (3-116)

13、對(duì)于情形 ： (3-117) （3-118） （3-119） （3-120） （3-121） （3-122） （3-123） （3-124） （3-125） （3-126） （3-127） （3-128） （3-129） （3-130） （3-131） （3-132） （3-133） （3-134） （3-135） （3-136） （3-137） （3-138） （3-139） （3-140） （3-141） (3-142) （3-143） （3-144） （3-145） （3-146） （3-147） （3-148）借助maple軟件，取適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以畫出原方程在不同解形式下的圖形，為了更

14、形象和對(duì)比，分別畫出了三維圖和對(duì)應(yīng)的二維圖.如下： 3-1-1 三維波形圖 3-1-2 二維波形圖 圖3-1.孤立行波解（3-22)的三維圖和二維圖 其中，（a）是孤立行波解（3-22)在參數(shù)條件 的三維圖，（b）是孤立行波解（3-22）在參數(shù)條件的二維圖. 3-2-1 三維波形圖 3-2-2 二維波形圖 圖3-2.孤立行波解（3-24）的三維圖和二維圖其中，（a）是孤立行波解（3-24）在參數(shù)條件 的三維圖，（b）是孤立行波解（3-24）在參數(shù)條件的二維圖. 3-3-1 三維波形圖 3-3-2 二維波形圖 圖3-3.周期行波解（3-54）的三維圖和二維圖其中，（a）是周期行波解（3-54）在

15、參數(shù)條件 的三維圖，（b）是周期行波解（3-54）在參數(shù)條件 的二維圖. 3-4-1 三維波形圖 3-4-2 二維波形圖 圖3-4.周期行波解（3-56）的三維圖和二維圖其中，（a）是周期行波解（3-56）在參數(shù)條件 的三維圖，（b）是周期行波解（3-56）在參數(shù)條件 的二維圖. 3-5-1三維波形圖 3-5-2 二維波形圖 圖3-5.緊孤立波解（3-28）的三維圖和二維圖其中，（a）是緊孤立波解（3-28）在參數(shù)條件 的三維圖，（b）是緊孤立波解（3-28）在參數(shù)條件 的二維圖。 3-6-1 三維波形圖 3-6-2 二維波形圖 圖3-6.緊孤立波解（3-29）的三維圖和二維圖其中，（a）是緊

16、孤立波解（3-29）在參數(shù)條件 的三維圖，（b）是緊孤立波解（3-29）在參數(shù)條件 的二維圖. 3-7-1 三維波形圖 3-7-2 二維波形圖 圖3-7.扭子波解（3-40）的三維圖和二維圖其中，（a）是扭子波解（3-40）在參數(shù)條件的三維圖，（b）是扭子波解（3-40）在參數(shù)條件 的二維圖. 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）第四章 小 結(jié)本文通過構(gòu)造輔助方程將求解非線性偏微分方程組的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程組的問題，F(xiàn)-展開法從而求出了非線性方程組的大量橢圓函數(shù)的周期解.利用數(shù)學(xué)軟件Maple一系列波形圖. 文章中獲得的結(jié)果，與現(xiàn)有文獻(xiàn)14中的結(jié)果相比，在解的形式上是不相同的.我認(rèn)為，本文的結(jié)果在

17、廣義Hirota-Satsuma方程精確求解方面，起到了一定彌補(bǔ)性的作用，并具有一定的應(yīng)用前景，豐富了文獻(xiàn)14中的內(nèi)容.參考文獻(xiàn)1 Wang Mingliang ,Zhou Yubin ,Li Zhibin. Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physicsJ.Phys.Lett.A.,1996,216:67-75.2 Fan E. Extended tanh2function method and it s applicat

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19、 F-expansion method and new exact solutions of Konopelchenko-Dubrovsky equationJ.Chaos,Solitons and Fractals,2005,25:601-610.6 Zhou Yubin ,Wang Mingliang ,Wang Yueming. Periodic wave solutions toa coupled KdV equations with variable coefficientsJ. Phys.Lett.A.,2003,308 :31-36.7 何進(jìn)春，黃念寧.關(guān)于KdV方程的孤立波解J

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